3- Derivada das Funções Inversas Ensino Superior Cálculo 1 3- Derivada das Funções Inversas Amintas Paiva Afonso

Cálculo 1 - Derivadas Uma função é inversível se seu gráfico é interceptado por qualquer reta horizontal somente em um ponto. Assim f(x) = x3 é inversível, mas f(x) = x2 não é.

Simetria das funções inversas Cálculo 1 - Derivadas Simetria das funções inversas Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).

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Cálculo 1 - Derivadas Se f é inversível, para cada y do conjunto Imagem de f existe somente um número x no Domínio de f tal que f(x) = y. Assim, se f é inversível, existe uma nova função chamada a inversa de f tal que (x) = y se f(y) = x.

Cálculo 1 - Derivadas

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Cálculo 1 - Derivadas Interpretação geométrica das raízes de uma função raiz raiz Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) = 0.

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Cálculo 1 - Derivadas Teste da reta vertical Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.

4.1. Derivada da função inversa f-1(x) Cálculo 1 - Derivadas 4.1. Derivada da função inversa f-1(x) A inversa da função y(x) é a função x(y): Seja f inversível e sua inversa dada por f-1. Se f tem uma tangente de inclinação m  0 em (y, x), então a inclinação de f-1 em (x, y) é m-1. Como m = f´(y) e y = f-1(x), então m = f´(f-1(x)). Daí m’ = D f-1(x) = 1 / f’(f-1(x)).

4.1. Derivada da função inversa f-1(x) Cálculo 1 - Derivadas 4.1. Derivada da função inversa f-1(x) Exemplo: f(x) = y = x + 1  m = 1  y’ = 1 m = f´(y) = 1 e y = f-1(x) = x - 1 m’ = D f-1(x) = 1 / f’(f-1(x)) = 1

Cálculo 1 - Derivadas Derivada da função inversa Exemplo Se uma função derivável f tem inversa g, então g é também derivável e vale a seguinte igualdade: Exemplo Considere a função f(x)=3x2 + x –1 na vizinhança do ponto x = 2. Calcule a derivada da função inversa de f no ponto b = f(2) = 13. Derivando f(x), temos:

Cálculo 1 - Derivadas Se g indica a função inversa de f, então, pela regra da derivada da inversa, temos: A derivada de g no ponto f(2)=13 é:

Cálculo 1 - Derivadas Derivada de ordem superior No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas da derivada de uma função, mas de suas demais derivadas(das derivadas das derivadas). A derivada de uma função f é às vezes chamada de primeira derivada de f e é denotada por f ’. A derivada de f ‘ é chamada de segunda derivada de f e é denotada por f ’’. A derivada de f ‘ ‘ é chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f ’’’; e assim sucessivamente.

Cálculo 1 - Derivadas Notação de Leibniz Leibniz denotava a derivada da função f por . Se a função f é inversível, num dado intervalo, utilizamos a notação para designar a derivada da função inversa. Assim:

Cálculo 1 - Derivadas Exemplo Calcule a derivada da função inversa de f(x) = x3 + 4x2 – x no ponto f(1)=4. Seja y= x3 + 4x2 – x , então, Logo, a inversa de y é: Como f(1)=4, então:

Gottfried Wilhelm Leibiniz Cálculo 1 - Derivadas Gottfried Wilhelm Leibiniz

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE = 0 dk = 0 (k)´= 0 d(ku) = 0 (ku)´= 0 d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´ d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2 d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´ d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´ (u + v) = + +

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’ d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’ d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’ d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’ d(arctgu) = du/(1+u2) (arctgu)’ = u’/(1+u2)