Análise do Lugar das Raízes. 6. 1. Introdução. 6. 2 Análise do Lugar das Raízes 6.1. Introdução 6.2. Gráfico do Lugar das Raízes 6.3. Regras Gerais para a Construção do Lugar das Raízes Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Introdução (1) Característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada: LOCALIZAÇÃO DOS PÓLOS de malha fechada Se o ganho for variável, os pólos dependerá do ganho escolhido O projetista deve saber como os pólos de malha fechada se movem no plano s na medida que o ganho de malha varia

Introdução (2) Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica. A determinação das raízes de uma equação de grau superior a 3 pode ser trabalhosa e pode não resolver, pois a medida que o ganho varia, as raízes mudam e os cálculos devem ser refeitos. Se somente o ajuste do ganho não for suficiente, será necessário a introdução de um compensador (Controle II).

Introdução (3) Método do Lugar das raízes (ou root locus) permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema

Gráfico do Lugar das Raízes Condições de Ângulo e de Módulo

Gráfico do Lugar das Raízes Condições de Ângulo e de Módulo Um lugar dos pontos no plano complexo que satisfaz somente a condição angular é o lugar das raízes. As raízes da equação característica que correspondem a um dado valor de ganho podem ser determinadas pela condição de módulo. Em muitos casos G(s)H(s) envolve um parâmetro de ganho K e a equação característica pode ser escrita como: O LUGAR DAS RAÍZES É O LUGAR DOS PÓLOS DE MALHA FECHADA QUANDO O GANHO K VARIA DE ZERO A INFINITO.

Gráfico do Lugar das Raízes Condições de Ângulo e de Módulo

Gráfico do Lugar das Raízes Condições de Ângulo e de Módulo

Gráfico do Lugar das Raízes Condições de Ângulo e de Módulo Pelo fato dos pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta, caso existam, situarem-se sempre simetricamente em relação ao eixo real, o lugar das raízes será sempre também simétrico ao eixo real. Portanto, será necessário apenas construir a metade superior do lugar das raízes e desenha a imagem espelhada da metade superior na metade inferior do plano s.

Exemplo 6.1. (0) 1 2

Exemplo 6.1. (1)

Exemplo 6.1. (2)

Exemplo 6.1. (3) Os pólos de malha aberta deste sistema são: s = 0, s = -1, s = -2 1 2

Exemplo 6.1. (4) 3 O LUGAR DAS RAÍZES EXISTIRÁ SOBRE O EIXO REAL NEGATIVO ENTRE 0 E -1 E ENTRE -2 E -∞. 4

Exemplo 6.1. (5)

Exemplo 6.1. (6)

Exemplo 6.1. (7)

Exemplo 6.1. (8)

Exemplo 6.1. (9)

Exemplo 6.1. (10)

Exemplo 6.1. (11)

Exemplo 6.1. (12)

Exemplo 6.1. (13)

Exemplo 6.1. (14)

Exemplo 6.1. (15)

Exemplo 6.1. (16)

Exemplo 6.1. (17)

Exemplo 6.1. (17)

Exemplo 6.2. (1)

Exemplo 6.2. (2)

Exemplo 6.2. (3)

Exemplo 6.2. (3) Está sobre o lugar das raízes Não Está sobre o lugar das raízes

Exemplo 6.2. (4)

Exemplo 6.4. (5)

Exemplo 6.4. (6)

Resumo das Regras Gerais Para a Construção do Lugar das Raízes Obter a equação característica: Modificar a equação de modo que o parâmetro de interesse apareça como fator de multiplicação (No caso de realimentação positiva, a condição de ângulo deve ser modificada)

Resumo de Regras (1) Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros (zeros finitos ou infinitos). O lugar das raízes são simétricos em relação ao eixo real Possui tantos ramos quantas forem as raízes da equação característica. O número de ramos é igual ao número de pólos.

Resumo de Regras (2) Os trechos do lugar das raízes no eixo real são determinados pelos pólos e zeros que se encontram sobre ele. Os pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta não têm nenhum efeito.

Resumo de Regras (3)

Resumo de Regras (4)

Resumo de Regras (5)

Resumo de Regras (6)

Resumo de Regras (7)

Resumo de Regras (8)

Resumo de Regras (9) Uso do critério de estabilidade de Routh fazendo s=jω na equação característica e igualando a zero tanto a parte imaginária quanto a parte real. Resolver para ω e K. o valor de ω corresponde as freqüências que cruzam o eixo imaginário e os valores de K determinam o respectivo ganho no ponto de cruzamento.

Resumo de Regras (10) Determinar os lugares das raízes numa ampla região nas proximidades do eixo jω e da origem.

Resumo de Regras (11) Um ponto particular sobre cada um dos ramos do lugar das raízes será um pólo de malha fechada, se o valor de K nesse ponto satisfizer a condição de módulo. Se necessário, o lugar das raízes pode ser graduado em função de K. O valor de K correspondente a um ponto s no lugar das raízes pode ser obtido como (condição de módulo):

Configurações Típicas de Pólos e Zeros e o Lugar das Raízes Correspondente (1)

Configurações Típicas de Pólos e Zeros e o Lugar das Raízes Correspondente (2)