Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Resolução do Exame de 2ª Época Ano lectivo 1999/2000

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa I O esquema do sistema mecânico mola-massa-amortecedor representado na figura seguinte, apresenta k m b F x a seguinte equação diferencial: onde F é a entrada do sistema e o sistema apresenta as seguintes características físicas:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa a) Determine a função de transferência do sistema. Aplicando a transformada de Laplace:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa b) Sabendo que o sistema é de 2ª ordem, calcule as suas frequências e indique o ganho do sistema. Obs.: Tenha em atenção a função de transferência de um sistema de 2ª ordem. Frequência natural: Coeficiente de amortecimento: Frequência natural amortecida: Ganho:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa c) Considerando que o sistema é colocado em movimento por uma força em rampa, determine a resposta temporal resultante. Como a entrada é uma rampa:

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Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Aplicando a transformada de Laplace inversa:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa II Considerando que o sistema cuja função de transferência de malha aberta é dada por: Considere agora que no sistema foi introduzida uma realimentação unitária negativa e um compensador em avanço, com a seguinte função de transferência: rce + _

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Obtenha a função de transferência em anel fechado através do grafo de fluxo e da fórmula de ganho de Mason. Obs.: Poderá resolver este problema por outro método que conheça, mas a cotação da pergunta passará a valer metade. G c 1 G rc

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Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa III A função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte: a) Seguindo os procedimentos, esboce o gráfico do L.G.R. 1Número de ramos, zeros e pólos nº de zeros  m=1(s=-2) nº de pólos  n=3(s=-2+j; s=-2-j; s=-4) n>m  n=3 ramos 3Número de ramos para infinito nº de ramos para infinito  n-m=3-1=2

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa 4Assimptotas dos ramos para infinito k>0k<0 l=0 l=1 5Origem das assimptotas

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa 6Pontos de convergência/divergência Não há pontos de convergência ou divergência para. Existe, no entanto um ponto para em -1,245.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa k>0k<0 l=0 l=1 7Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos

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Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável. A equação característica, para o anel fechado, é:

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Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa IV Dada a função de transferência em anel aberto:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Algumas indicações úteis:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa a) Determine o ganho de Bode.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa b) Coloque a função de transferência na forma de Bode.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa c) Considerando K=10, construa o esboço do diagrama de Bode.

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Ganho:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Zero em 2:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Pólo duplo na origem:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Pólo em 4:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Pólo em 6:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa Adicionando todos os sinais:

Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear Copyright 2000, Jorge Lagoa d) Determine as margens de ganho e de fase, para K=10. Justifique. Do diagrama da alínea c), tira-se: m frequência de cruzamento de ganho é cerca de: 0,3 rad/sec. m margem de fase é aproximadamente: -180  -(-175  ) = -5  m a frequência de cruzamento de fase é cerca de: 2 rad/sec. m margem de ganho é aproximadamente: 30 db.