Eletricidade A - ENG04474 AULA IX

Senóides Período : T Freqüência: f = 1/T Freqüência Angular: w = 2p f Tempo necessário para se percorrer um ciclo Freqüência: f = 1/T Ciclos por segundo Freqüência Angular: w = 2p f Amplitude: VM Exemplo: Qual é a amplitude, a freqüência, o período e a freqüência angular da senóide abaixo

Fase Se quisermos expressar as senóides abaixo na forma v=VMsen(t+ ) quais são os valores de  para as três senóides, tomando uma senóide v=VPsen(t) como referência.

Fase em Atraso ou em Adianto x1(t) está adiantado em relação a x2(t) de q- x2(t) está atrasado em relação a x1(t) de q- Se fossemos desenhar estas curvas, qual das senóides passaria de negativo para positivo antes?

Circuitos RLC com Excitação Senoidal Resposta Transitória e de Regime Permanente Exemplo (RL - fonte senoidal) i(t) Vpcos(wt) Resposta Permanente A Amplitude da corrente depende da amplitude da fonte, de R, de L e da freqüência w da fonte Reposta Transitória ou Natural A corrente está defasada em atraso q radianos em relação a cossenóide da fonte

Circuitos RLC com Excitação Senoidal Exemplo - Forma de onda da Resposta Regime Transitório Regime Permanente V1(t) i(t) 50 100 150 200 250 300 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Forma de onda da Fonte V1(t) Forma de onda da Corrente i(t) q t

Circuitos RLC com Excitação Senoidal Em REGIME PERMANENTE todo Circuito RLC excitado com fontes senoidais de freqüência “w” terá todas as correntes e tensões em seus dispositivos possuindo forma de onda senoidal de freqüência “w” igual a das fontes defasadas q radianos em atraso ou adianto com relação as fontes q depende da estrutura e dos elementos do circuito amplitudes dependentes da freqüência w, da amplitude das fontes e dos valores dos dispositivos R, L e C Sabendo disso, seria possível obter a Resposta em Regime Permanente para Excitação Senoidal sem precisar resolver uma equação diferencial ???

Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal Para determinar uma tensão ou corrente em regime permanente, tudo o que precisamos saber é sua amplitude e sua fase em relação a senóide da fonte. A freqüência e a forma de onda já se sabe qual será. Usualmente, tensões ou correntes em regime permanente são obtidas de uma solução particular da equação diferencial do circuito. Vpsen(wt) Fonte AP sen( wt +  ) Tensão ou Corrente do circuito em RP CIRCUITO RLC Amplitude ? Fase ? Preciso escrever e resolver uma Equação diferencial!!??

Circuitos RLC - RP com Excitação Senoidal Boas Novas!!! Não é preciso escrever a equação diferencial do circuito nem ao menos resolve-la para se obter a amplitude e fase de uma tensão ou corrente em RP em um circuito com excitação senoidal. Ao invés disso usaremos o conceito de FASORES e IMPEDÂNCIAS COMPLEXAS Fasores e Impedâncias Complexas convertem um problema envolvendo equações diferenciais em um problema envolvendo equações algébricas

FASORES FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude e a fase de uma tensão ou corrente senoidal Domínio Tempo Domínio Freqüência

Melhor ver esses Números Complexos... Impedância Complexa A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão sobre um elemento R, L ou C (expressa como Fasor) e a corrente no elemento (expressa como Fasor) A impedância é um número complexo O valor da impedância normalmente depende da freqüência Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de correntes e correntes a partir de tensões Como? Melhor ver esses Números Complexos...

Números Complexos PR RP eixo imaginário y z q eixo real x x é a parte real y é a parte imaginária z é a amplitude ou magnitude q é a fase y z q eixo real x Coordenadas Polares: A = z  q Coordenadas Retangulares: A = x + jy PR RP

Representando Formas de Onda Senoidais como Fasores Fasor (domínio freqüencia) é um número complexo X = z  q = x + jy Um sinal senoidal é uma função do tempo x(t) = z cos (wt + q) Exemplo: Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores: X = -1 + j2 V = 104V - j60V A = -1mA - j3mA

Aritmética com Números Complexos Para se determinar FASORES de Tensão ou Corrente é necessário que saibamos proceder operações aritméticas básicas com números complexos: Soma Subtração Multiplicação Divisão Será que lembro disso? É melhor dar uma olhada!

(melhor na forma retangular) Soma e Subtração (melhor na forma retangular) Soma A = x + jy B = z + jw A + B = (x + z) + j(y + w) Subtração Subtração é mais facilmente feita em coordenadas retangulares A = x + jy B = z + jw A - B = (x - z) + j(y - w) eixo imag. eixo imag. A + B B A B A eixo real. A - B eixo real

Multiplicação e Divisão (melhor na forma polar) Multiplicação Multiplicação é mais facilmente feita em coordenadas polares A = AM  q B = BM  f A  B = (AM  BM)  (q + f) Divisão Divisão é mais faclmente feita em em coordenadas polares A = AM  q B = BM  f A / B = (AM / BM)  (q - f ) eixo imag. eixo imag. A  B B B A A eixo real eixo real A / B

Exponenciais Complexas Exponencial Complexa Uma senoide, função do tempo, pode ser representada como a parte real de uma exponencial complexa Exponenciais Complexas nos propiciam a ligação entre as funções senoidais do tempo e os fasores. Exponenciais Complexas tornam a análise de um circuito RLC em regime permanente para excitação senoidal um problema algébrico Exponenciais Complexas Funções Senoidais FASORES

Exponenciais Complexas Um número complexo (FASOR) A = z  q pode ser representado como: A = z  q = z ejq = z cos q + j z sen q A exponencial complexa básica é: ejwt = cos wt + j sen wt O que você obtêm ao multiplicar A por ejwt e tomar a parte real deste produto?

Exponenciais Complexas Aejwt = z ejq ejwt = z ej(wt+q) z ej(wt+q) = z cos (wt+q) + j z sen (wt+q) Re[Aejwt] = z cos (wt+q)

Senóides, Exponenciais Complexas e Fasores z cos (wt+q) Exponencial Complexa: Aejwt = z ej(wt+q) Fasor: A = z  q O que se ganha com tudo isso??? z cos (wt+q) = Re{z ej(wt+q)}= Re{Aejwt}

Relações entre os Fasores associados aos Bipolos de um Circuito Os Fasores nos pertimem expressar a relação entre tensão e corrente em Indutores e Capacitores de forma bastante semelhante a que usamos para expressar a relação entre tensão e corrente em Resistores. A exponencial complexa é a ferramenta matemática utilizada para obter tais relações. COMO???

Relação V-I Fasorial para o Capacitor v(t) + - i(t) Suponha que v(t) seja uma senóide: v(t) = VM cos(wt+q ) = Re[VM ej(wt+q)]= Re[Vejwt] Determine i(t):

Calculando a Corrente Representando na forma FASORIAL I i(t) + + V - + v(t) - A derivada na relação entre i(t) e v(t) (capacitor) torna-se uma multiplicação por jC na relação entre I e V

Exemplo Sendo: v(t) = 120V cos(377t + 30) C = 2mF Qual é a representação Fasorial de v(t) e i(t) e a expressão de i(t)? V=? I=? i(t)=? Quantos graus v(t) está defasado de i(t)? Quem está adiantado em relação a quem?

Relação V-I no Indutor + i(t) v(t) L - Representando na forma FASORIAL A derivada na relação entre v(t) e i(t) (indutor) torna-se uma multiplicação por jL na relação entre V e I

Exemplo Sendo: i(t) = 1mA cos(2p 9.15 107t + 30) L = 1mH Qual é a representação Fasorial de i(t) e v(t) e a expressão de v(t)? I=? V=? v(t)= ____cos(2p 9.15 107t + ____) Quantos graus v(t) está defasado de i(t)? Quem está adiantado em relação a quem?

Relação V-I no Resistor + i(t) v(t) R - Representando na forma FASORIAL I i(t) + V - + v(t) - A multiplicação por R na relação entre v(t) e i(t) torna-se uma multiplicação por R na relação entre V e I

Z é chamada de IMPEDÂNCIA A análise de um circuito com excitação senoidal, em regime permanente, usando FASORES, nos permite expressar as relações entre corrente e tensão nos elementos R, L e C com uma fórmula similar a utilizada na lei de Ohm. V = Z I Z é chamada de IMPEDÂNCIA Resistor Indutor Capacitor 1 V=RI V=jLI V= I jC 1 Z=R Z= jL Z= jC

Reflexões sobre IMPEDÂNCIA Impedância (geralmente) depende da freqüência Impedância (geralmente) é um número complexo Impedância NÃO É um FASOR (Porque?) O conceito de Impedância e Fasor nos permite analisar circuitos RLC lineares com excitação senoidal, em regime permanente, com as mesmas técnicas empregadas para analisar circuitos puramente resistivos. SERÁ mesmo que se pode? Para isso as leis de Kirchhoff deveriam ser respeitadas na operação com FASORES. Será que são?

Leis de Kirchhoff e Fasores Leis das Tensões nos Laços. - vn(t) + + v1(t) - - v2(t) + É equivalente!!

Leis de Kirchhoff e Fasores Lei das Correntes nos Nós i1(t) in(t) i2(t) É equivalente!!

Exemplo i1(t) i3(t) Sendo as correntes no Nó A i1(t), i2(t) e i3(t), onde i1(t) = 1A cos(2p 60 t + 30) i2(t) = 3A cos(2p 60 t + 60) Qual é a representação Fasorial de i1(t), i2(t) e i3(t)? I1=? I2=? I3= I1 + I2 = ? Qual é a expressão de i3(t)? i3(t)=____cos(2p 60 t + ____) i2(t)

Diagrama Fasorial Um diagrama fasorial é apenas um gráfico de vários fasores representados no plano complexo (usando os eixos real e imaginário) Um diagrama fasorial nos ajuda a visualizar as relações entre tensões e correntes em um circuito (suas amplitudes e defasagens) Exemplo: Eixo Imaginário - 1mF VC + I=2mA  40 1kW VR Freqüência = 60Hz I VR Eixo Real I = 2mA  40 VR = 2V  40 VC = 5.31V  -50 V = 5.67V  -29.37 V V VC VR Diagrama Fasorial

Análise de Circuitos RLC usando os conceitos de Fasor e Impedância Obs.: Este método de análise somente é válido para excitações senoidais, estando o circuito em regime permanente Exemplo - Determine vc(t) : FASORES + vR(t) - V1= 100º + vC(t) - IMPEDÂNCIAS  V1(t)=10 cos(377t) ZR= 20k ZC = 1/(j377.1.10-6) =-j2,65k  Divisor de Tensão + VC - 100º -j2,65k