Estudo dos triângulos

Definição Dado três pontos A, B e C não-colineares, chama-se triângulo ABC a figura plana constituída pela reunião dos segmentos AB, AC e BC e pelos pontos interiores à região que eles determinam. B A C

Elementos principais A figura mostra o triângulo ABC. Nele, destacamos os vértices A, B e C  os lados e suas medidas: AB = c, AC = b e BC = a a c os ângulos internos A, B e C. A C b ângulo externo ()

Classificação dos triângulos

Quanto à medida de seus lados Triângulo escaleno B a c A C b As medidas dos três lados são diferentes (a ≠ b, b ≠ c e a ≠ c) As medidas dos três ângulo são diferentes A ≠ B ≠ C.

Quanto à medida de seus lados Triângulo isósceles A x x B C Pelo menos dois de seus lados são iguais (AB = AC = x). o lado BC não-congruente aos outros, é chamado de base. os ângulos B e C são os ângulos da base e o ângulo A é o ângulo no vértice.

Quanto à medida de seus lados Triângulo eqüilátero A x x B C x Todos os lados são iguais (AB = AC = BC = x). os ângulos A, B e C, também, são todos iguais (60º).

Quanto à medida de seus ângulos internos Triângulo acutângulo B A C As medidas dos três ângulos internos são agudos (A < 90º, B < 90º e C < 90º)

Quanto à medida de seus ângulos internos Triângulo retângulo C A B A medida de um de seus ângulos internos é reto. (A = 90º) O lado BC é chamado de hipotenusa; os outros dois são chamados catetos.

Quanto à medida de seus ângulos internos Triângulo obtusângulo C B A A medida de um de seus ângulos internos é obtuso. (A > 90º)

Segmentos notáveis do triângulo

Mediana Une o vértice ao ponto médio do lado oposto. A BM = CM ⇒ AM é mediana B C M M é o ponto médio do segmento BC.

Altura Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é perpendicular à reta suporte desse lado. A AH é perpendicular a BC ⇒ AH é altura B C H

Bissetriz interna Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. A AS é bissetriz B C S

Mediatriz de um Segmento

Mediatriz Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio. m AM = BM ⇒ A B M A reta m é mediatriz

Propriedades relativas aos triângulos isósceles e eqüilátero

Triângulo isósceles A x x B C M a altura AM relativa à base é também mediana e bissetriz interna.

Triângulo eqüilátero A P N B C M Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP).