MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA 2007 Gilberto Weissmueller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INTRODUÇÃO As grandezas físicas, geralmente, dependem de mais de uma variável independente. Exemplos simples: A área de um retângulo de lados x e y, depende, tanto de x, quanto de y, pois O volume de um paralelepípedo de lados x, y e z O volume V de um gás ideal depende da temperatura T, do número de moles n e da pressão P:

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Definições Função de duas variáveis. Se a cada par ordenado (x,y) de valores das variáveis x e y, tomados dentro de um domínio de definição D, corresponde um valor bem definido da variável z, diz-se que z é uma função de duas variáveis independentes x e y, definidas no domínio D. Designa-se essa função como Domínio de definição. Chama-se domínio de definição da função z=f(x,y) ao conjunto de pares (x,y) para os quais a função está definida. Uma função de duas variáveis pode ser representada analiticamente, na forma de uma tabela ou ainda graficamente. X y 2 3 1 18 27 5 50 75 Os valores da função z são determinados numa tabela no cruzamento dos valores de x, indicados na primeira linha, com os de y na primeira coluna.

As curvas que delimitam o domínio são chamadas de fronteira. Os domínios de definição de uma função de duas variáveis constituem partes do plano xy; delimitadas por algumas curvas, ou podem ser o plano inteiro. As curvas que delimitam o domínio são chamadas de fronteira. x y z (x,y) Z=f(x,y) x y (x3,y3) (x2,y2) (xi,yi) (x1,y1) fronteira x y D fronteira y D x

z está definida para todos os valores (x,y); D é todo o plano D é a região delimitada pelo circulo de raio 2

O domínio de definição D de uma função de duas variáveis pode ser aberto ou fechado. Os pontos do domínio que não pertencem à fronteira são chamados de pontos interiores. Se o domínio de definição só contem pontos interiores ele é dito aberto; mas se também contem os pontos de fronteira, ele é dito fechado. Exemplos z está definida para: x y Portanto, para D é o semi plano acima da reta y=-x : aberto

D é a região delimitada pelo circulo de raio 2: fechado y R=2 D D é a região delimitada pelo circulo de raio 2: fechado x A representação geométrica de uma função z=f(x,y) é uma superfície no espaço tridimensional. Isto é, se um ponto P no espaço é representado pelas variaveis x, y e z, ou (x,y,z), o lugar geométrico de todos os pontos P assim definidos é a representação geométrica da função z=f(x,y). z Z=f(x,y) y x (x,y)

ACRÉSCIMOS DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS Uma função de duas ou mais variáveis sofrerá um acréscimo se variamos, de cada vez, cada uma das variáveis, mantendo as demais constantes, ou, se variamos todas as variáveis, ao mesmo tempo. Temos então dois tipos possíveis de acréscimos: parciais e total. Haverá tantos acréscimos parciais, quantas forem as variáveis independentes. Mas apenas um acréscimo total Uma função de duas variáveis, z=f(x,y), terá dois acréscimos parciais (acréscimo parcial em relação a x e acréscimo parcial em relação a y) e o acréscimo total.

Exemplos Note que, em geral: (x,y +y) (x+ x,y +y) Z=f(x,y +y) Z=f(x+ x,y +y) Z=f(x,y) Z=f(x+x,y) y y+y (x,y) (x,y +y) x x+x (x+x,y) Note que, em geral: (x+ x,y +y)

DERIVADAS PARCIAIS Definição: A derivada parcial de uma função z=f(x,y) é definida como o limite da relação entre o acréscimo parcial da função sobre o acréscimo da variável independente acrescida quando este tende a zero. Exemplos Haverá tantas derivadas parciais de uma função quantas forem as variáveis independentes. Pela definição, fica claro que valem todas as regras estudadas para a derivada de uma função de uma variável.

Interpretação das derivadas parciais Note que a derivada parcial com relação a x é a tangente do ângulo que a tangente à superfície faz com o eixo –x, o ângulo , mantido y constante. Similarmente, a derivada parcial com relação a y é a tangente do ângulo formado pela tangente à superfície e o eixo-y, o angulo , mantido x constante y x z   x y Derivadas Parciais de ordem superior As derivadas parciais de ordem superior são obtidas derivando-se as derivadas parciais de primeira ordem. Exemplos

DIFEENCIAL TOTAL Como vimos o acréscimo total da função é aquele que a função sofre quando variamos simultaneamente as variáveis independentes. Para uma função de duas variáveis, temos Se a função é contínua e suas derivadas parciais existem, podemos tentar exprimir o acréscimo total em termos dessas derivadas. Para tanto, somemos à expressão acima Note que no primeiro colchete temos a variação da função ao passar do ponto (x,y+ y) (x+x,y+ y),mantendo y constante, e no segundo a variação da função ao passa do ponto (x,y) para (x, y+ y), mantendo x constante. Podemos então aplicar o Teorema de Lagrange a esses dois termos.

Podemos então escrever o acréscimo total como Note que as derivadas parciais acima não são calculadas no ponto (x,y), mas respectivamente nos pontos

Lembrando que Usando este fato e o teorema de infinitésimos, podemos então escrever Substituindo estas expressões na expressão para o acréscimo total, teremos

No limite , quando x e  y tendem a zero, teremos: Para o caso de uma função de qualquer número de variáveis independentes, teremos A diferencial total de uma função de várias variáveis pode ser usada, por exemplo, para se calcular o erro cometido numa grandeza que depende de várias variáveis, em função dos erros cometidos nestas variáveis.

Exemplo: O erro cometido no cálculo de áreas e de volumes y x y x Para uma área S=xy, teremos Note que o erro cometido é equivalente ao acréscimo das áreas dos dois retângulos xdy e ydx, como mostrado na figura Para um volume V=xyz, teremos

CURVAS DE NÍVEL Vimos que uma função de duas variáveis z=f(x,y) representa uma superfície no espaço. A curva que se obtém para um mesmo valor de z, ou cota, desta superfície é chamada curva de nível. O conjunto dessas curvas obtidas para sucessivos valores de z corresponde às curvas de nível da superfície. A análise desse conjunto de curvas de uma superfície no espaço fornece informações sobre a própria superfície, ou seja, sobre sua topografia. Em outras palavras, as curvas de nível se uma superfície são os lugares geométricos da superfície que tem a mesma cota, como mostrado na figura abaixo. As curvas de nível são usadas em mapas para dar informação sobre a topografia (relevo) da região.

Exemplo Consideremos a função z=f(x,y) dada por A superfície no espaço defina por esta função é um parabolóide elíptico Para achar suas curvas de nível, temos que fazer z constante Vemos, portanto que as curvas de nível desta superfície são elipses, que são obtidas tomando-se diversos valores de c.