Professora Assistente Observações de uma criança pequena trabalhando com blocos geométricos Construção do conhecimento geométrico Christina Sales, Ed.D Professora Assistente Universidade de Northern Iowa © Christina Sales

Nessa apresentação iremos Chamar atenção para os padrões de geometria do Conselho Nacional de Professores de Matemática (NCTM) que se aplicam a essa atividade; Experimentar uma atividade com mosaicos que envolve as crianças e fornece oportunidade para que elas construam conhecimento geométrico; Analisar uma pesquisa sobre essa atividade e observar o esforço das crianças enquanto constroem o conhecimento geométrico; Mostrar as conclusões mais importantes.

Pesquisa feita por Doug Clements e colegas… Crianças de cinco anos entram na escola com quase o mesmo conhecimento sobre as propriedades das formas do que quando elas saem ao terminarem o sexto ano! Clements, D. and Battista, M. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. A project of the National Council of Teachers of Mathematics. New York: Macmillan Publishing Company.

Pesquisa feita por Doug Clements e colegas… Parece que muitos estudantes entram em geometria, no Ensino Médio, sem ter o conhecimento básico necessário para compreender conceitos geométricos em níveis superiores. Clements, D. and Battista, M. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. A project of the National Council of Teachers of Mathematics. New York: Macmillan Publishing Company.

Princípios e parâmetros curriculares nacionais para matemática : O estudo da Geometria não diz respeito apenas a identificar e definir objetos … Enquanto identificar formas é importante, a construção e o compreensão dessas formas envolve muito mais que a simples memorização. Principles and standards for school mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Parâmetros curriculares nacionais para matemática: Analisar as características e propriedades de formas geométricas bidimensionais e tridimensionais… Reconhecer, organizar, nomear, construir, desenhar, comparar e classificar formas bidimensionais e tridimensionais; Descrever os atributos e as partes de formas bidimensionais e tridimensionais; Investigar e predizer os resultados da junção e separação de formas bidimensionais e tridimensionais. Principles and standards for school mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Parâmetros curriculares nacionais para matemática : Aplicar transformações e usar simetria… Reconhecer e aplicar deslocamentos, rotações (flips) e translações (turns); Reconhecer e criar formas que tenham simetria. Principles and standards for school mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Parâmetros curriculares nacionais para matemática : Usar vizualização, conhecimento espacial e modelagem geométrica para resolver problemas... Criar imagens mentais das formas geométricas usando memória espacial e vizualização espacial; Reconhecer e representar formas de diferentes perspectivas; Principles and standards for school mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Embora o Conselho Nacional de Professores de Matemática (NCTM) esteja agora defendendo a importância do conhecimento geométrico, ainda há poucas informações relacionadas às técnicas de ensino apropriadas para crianças pequenas.

Formas geométricas Eu tentei pensar em formas de como fazer com que as figuras geométricas intriguassem as crianças pequenas.

Eu comprei cartões com diferentes mosaicos e os deixei disponíveis para as crianças.

Eu montei tiras para incentivá-las a reconhecer, estender e criar seus próprios padrões.

Eu encontrei cartões com contornos de diferentes figuras geométricas sem as formas preenchidas.

A partir daí, me ocorreu desenhar contornos de diferentes polígonos.

Eu desenhei 150 contornos diferentes para serem preenchidos com diferentes formas geométricas.

As crianças os usaram como quebra-cabeças e se prenderam na atividade por longos períodos de tempo.

Vamos experimentar!

Vendo que as crianças estavam tão interessadas na atividade e pareciam estar aprendendo, eu decidi conduzir uma pesquisa para descobrir se elas estavam realmente aprendendo. E, se estavam, aprendendo o que?

Resultados dos prétestes e dos póstestes A diferença entre os métodos de proteste e pósteste é estatisticamente significativa t (13) = 6.68, p < .0001 Effect size 1.79 (o conhecimento das crianças, conforme estimado pelo POSI aumentou mais de 1 3/4 desvio padrão acima do meio) Como mencionado anteriormente, por conta do pequeno número de crianças no estudo, esses resultados não são generalizaveis para todas as crianças.

Os resultados do pré e pósteste mostraram que o conhecimento geométrico das crianças havia aumentado. Como isso aconteceu? Eu queria saber sobre os seus processos de aprendizagem.

Eu transcrevi o que as crianças disseram e documentei cada um de seus movimentos manuais com imagens no computador. Eu escolhi uma criança para estudar mais profundamente.

A Jornada de Noah

Quadro para microanálise Para analisar as ações das crianças, usei a teoria de Piaget sobre Inteligência e Conhecimento.

De acordo com Piaget Desenvolver inteligência e conhecimento envolve a construção de novas relações mentais. Piaget,1975/1985

Aspectos da Teoria de Piaget úteis no entendimento do processo de aprendizagem do Noah. Construção de relações mentais Processo de equilibração: Contradições Desequilíbrio O papel dos erros no aprendizado (Error-informed experimentation, DeVries, 2003) Reequilíbrio Afetividade

As molduras de Noah Noah trabalhou para preencher 258 molduras durante a pesquisa.

Jornada de Noah Dia 1

Quando Noah começou, ele escolheu as molduras com contorno igual ao das formas geométricas.

Moldura de um triângulo pequeno (Dia1, Moldura 1, 1 movimento)

(Dia 1, Moldura 2, 5 movimentos) Noah provavelmente já tem algum conhecimento sobre formas. It appears he quickly assimilates this activity into his prior mental relationships Moldura de cinco hexágonos (Dia 1, Moldura 2, 5 movimentos)

Noah provavelmente já sabia algo sobre formas antes do início do estudo. Parece que ele rapidamente assimilou essa atividade a relações mentais construídas anteriormente.

Molduras hexagonais As ações de Noah em relação às mulduras hexagonais indicaram que ele estava construíndo uma relação mental entre a forma da peça exagonal e a forma hexagonal da moldura.

(Dia 1, Moldura 2, 5 movimentos) Noah provavelmente já tem algum conhecimento sobre formas. It appears he quickly assimilates this activity into his prior mental relationships Moldura de cinco hexágonos (Dia 1, Moldura 2, 5 movimentos)

(Dia 1, Moldura 7, 5 movimentos) Noah provavelmente já conhece algo sobre formas Moldura de um hexágono grande (Dia 1, Moldura 7, 5 movimentos)

(Dia 1, Moldura 8, 1 movimento) Moldura de um hexágono pequeno (Dia 1, Moldura 8, 1 movimento)

(Dia 1, Moldura 10, 8 movimentos) Moldura de sete hexágonos (Dia 1, Moldura 10, 8 movimentos)

Noah demonstrou uma tendência a se concentrar (focar) em uma peça de cada vez. Uma vez que ele começava a usar uma forma, ele continuava a usá-la, independente de seus ângulos combinarem ou não com a moldura.

Concentrando-se nos Losangos Brancos. Noah passa 4 minutos e 11 segundos fazendo 27 movimentos e inserindo oito peças na moldura. Quando ele não consegue encaixá-las sem deixar lacunas, ele as retira da moldura e as deposita sobre a mesa. Moldura de um eneágono Dia 1, Moldura 13, 27 Movimentos)

Moldura de um eneágono Noah desloca o losango para o ângulo de 150˚, e continua a colocar losangos e quadrados dentro da moldura onde eles cabem, sem se dar conta dos espaços “muito pequenos” que ele está criando lá dentro.

Concentrando-se nos Losangos Brancos Noah passa 4 minutos e 11 segundos fazendo 27 movimentos e inserindo oito peças na moldura. Quando ele não consegue encaixá-los sem deixar lacunas, ele os retira da moldura e os deposita sobre a mesa Moldura de um eneágono (Dia1, Moldura 13, 27 Movimentos)

Moldura de um eneágono Quando ele não consegue fazer as peças caberem, ele as retira da moldura e as deposita em cima da mesa.

Dia 2 “Eu quero fazer o diamante” disse Noah. Ele insere um quadrado, o gira, e depois o remove. Ele insere um losango branco no ângulo de 60˚, e depois outro. Quando não há mais espaço para outro do lado esquerdo, ele continua para o lado direito, e segue adicionando losangos brancos.

Moldura de um Losango (Diamante) Eu pensei que as molduras com apenas 60˚ e 120˚ seriam mais fáceis—mas não são se voce começa com losangos brancos ou quadrados. Noah is now centering on the white (tan) rhombuses. Moldura de um Losango (Dia 2, Moldura 27, 44 Movimentos)

Moldura de um Losango (Diamante) Noah insere 1 losango branco no ângulo de 60˚ e outro no ângulo que resta, de 30˚.

Moldura de um Losango (Diamante) Quando uma peça é muito grande para caber em um ângulo, Noah sabe que ela não pertence à moldura. No entanto, se uma peça cabe em um ângulo e dentro da área da moldura, ele parece acreditar que essa forma pertence à moldura.

Moldura de um Losango (Diamante) Noah não só parece acreditar nisso, como parece que ele é apegado emocionalmente a essa ideia.

Moldura de um Losango (Diamante) Ele força os losangos brancos nos espaços mesmo quando o espaço não é suficiente para eles.

Moldura de um Losango (Diamante) Once again, it is not until he experiences a jolt (a contradiction to his expectations—the blue rhombus protruding outside the frame that he can decenter and think about another block. When he decenters, he observes the shape of the space and since he has already constructed a mental relationship between the shape of the triangle spaace and the triangle pattern block, he selects a triangle and slips it in. He then changes his centration from blue rhombuses to triangles and fill the remaining spaces with triangles. Moldura de um Losango (Dia 2, Moldura 27, 44 Movimentos)

Moldura de um Losango (Diamante) Não ocrre ao Noah que ele pode estar usando os peças errados—ele simplismente pensa que o problema é com a moldura e/ ou os peças. Moldura de um Losango (Dia 2, Moldura 27, 44 Movimentos) Depois de 4 minutos e 19 segundos, Noah olha para a moldura e diz: “Ei, nenhum peça vai caber”. Ele tira todos os losangos da moldura, os põe na mesa e procura outra moldura.

Moldura de um Cone Alongado (Dia 2, Moldura 28, 27 Movimentos)

Dia 5

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Dia 5 Noah parece ter construído uma relação mental entre o ângulo de 60˚ do losango azul e os ângulos de 60˚ das molduras e entre o ângulo de 30˚ dos losangos brancos e o ângulo de 30˚ da moldura.

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Dia 5 Entretanto, é obvio que ele ainda não construiu uma relação mental entre o ângulo de 90˚ do quadrado e os ângulos de 90˚ dentro das molduras.

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 5, Moldura 44, 176 Movimentos)

Dia 7

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 7, Moldura 61, 43 Movimentos)

Noah insere dois quadrados, criando uma forma rectangular de três lados. Quando ele tenta inserir um losango azul, ele projeta-se para fora da moldura, então ele o remove. Quando ele insere um quadrado, ele cria outro ângulo de 90˚ acima.

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 7, Moldura 61, 43 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 7, Moldura 61, 43 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 7, Moldura 61, 43 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 7, Moldura 61, 43 Movimentos)

Moldura de um Octógono Alongado (Dia 7, Moldura 61, 43 Movimentos)

Moldura de um Cone Alongado Once again, it is not until he experiences a jolt (a contradiction to his expectations—the blue rhombus protruding outside the frame that he can decenter and think about another block. When he decenters, he observes the shape of the space and since he has already constructed a mental relationship between the shape of the triangle spaace and the triangle pattern block, he selects a triangle and slips it in. He then changes his centration from blue rhombuses to triangles and fill the remaining spaces with triangles. Moldura de um Cone Alongado (Dia 2, Moldura 28, 27 Movimentos)

Moldura de um Cone Alongado Once again, it is not until he experiences a jolt (a contradiction to his expectations—the blue rhombus protruding outside the frame that he can decenter and think about another block. When he decenters, he observes the shape of the space and since he has already constructed a mental relationship between the shape of the triangle spaace and the triangle pattern block, he selects a triangle and slips it in. He then changes his centration from blue rhombuses to triangles and fill the remaining spaces with triangles. Moldura de um Cone Alongado (Dia 7, Moldura 70, 25 Movimentos)

Moldura de um Cone Alongado Once again, it is not until he experiences a jolt (a contradiction to his expectations—the blue rhombus protruding outside the frame that he can decenter and think about another block. When he decenters, he observes the shape of the space and since he has already constructed a mental relationship between the shape of the triangle spaace and the triangle pattern block, he selects a triangle and slips it in. He then changes his centration from blue rhombuses to triangles and fill the remaining spaces with triangles. Moldura de um Cone Alongado (Dia 7, Moldura 70, 25 Movimentos)

Parâmetros curriculares nacionais para matemática: Analisar as características e propriedades de formas geométricas bidimensionais e tridimensionais... Reconhecer, nomear, construir, desenhar, comparar e classificar formas bidimensionais e tridimensionais; Descrever atributos e partes de formas bidimensionais e tridimensionais; Investigar e predizer os resultados da junção e separação de formas bidimensionais e tridimensionais. Principles and standards for school mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Parâmetros curriculares nacionais para matemática : Aplicar transformações e usar simetria… Reconhecer e aplicar deslocamentos, rotações e translações; Reconhecer e criar formas que tenham simetria. Principles and standards for school mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Parâmetros curriculares nacionais para matemática: Usar vizualização, conhecimento espacial e modelagem geométrica para resolver problemas Criar imagens mentais das formas geométricas usando a memória espacial e vizualização espacial; Reconhecer e representar formas em diferentes perspectivas; Principles and standards for school mathematics. (2000). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, Inc.

Características do Processo Construtivo de Noah As ações de Noah demonstram que ele compreende as relações entre as peças geométricas,

Características do Processo Construtivo de Noah Usou transformações (rotações, translações e deslocamentos) não só fisicamente como mentalmente e construiu conhecimento sobre ângulo, espaço e área.

Características do Processo Construtivo de Noah Em outras palavras, Noah construiu conhecimento sobre as propriedades das formas e suas relações.

Minha conclusão mais importante Eu ficava me perguntando por que Noah me pediu ajuda várias vezes e toda vez que eu tentava ajudar ele me ignorava ou dizia “Nãããão!”

Os erros tem um papel extremamente importante na construção do conhecimento geométrico.

Segundo Piaget O desenvolvimento do conhecimento e da inteligência supõe a construção de relações mentais. Portanto, quando as crianças constroem relações mentais sobre formas e espaços, elas também estão construindo inteligência!

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Christina Sales, Ed.D. Universidade do Northern Iowa Melhor forma de me encontrar: Endereço de casa: 165 Graceline Blvd. Waterloo, Iowa 50701 712-230-5104 (celular) cesjws@mchsi.com