Estatística Aula 06 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 06 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de Assis

CVDOT Aula 06 Medidas de Locação Média aritmética simples Média aritmética ponderada Mediana Moda CVDOT

Medidas de Locação (ou de tendência central) As medidas de locação mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a agrupar-se São utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto de dados observados Média aritmética simples É a mais importante medida de locação Média amostral Média populacional

Média Aritmética Simples Média Amostral Se n observações de uma amostra forem representadas por x1, x2,..., xn, a média amostral será: Média Populacional Quando a população tiver um número finito de observações (N), a média populacional será:

Média Aritmética Simples Exemplo 1 Resultados 26 27 25 34 28 29 24 17 Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à compressão apresentados

Média Aritmética Simples Exemplo 2 Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à compressão apresentados no exemplo 1 da aula 4

Média Aritmética Simples Exemplo 3 Abaixo estão listadas as medidas das quantidades de chumbo (em microgramas por metro cúbico, ou mg/m3) no ar. A Agência de Proteção Ambiental americana estabeleceu um padrão de qualidade do ar para o chumbo: 1,5 mg/m3. As medidas registradas abaixo foram registradas no local do Edifício 5 do Word Trade Center, em dias diferentes, logo após a destruição causada pelos ataques terroristas de 11 de setembro de 2001. Após os desmoronamento dos dois edifícios do Word Trade Center, houve muita preocupação sobre a qualidade do ar. Ache a média para esta amostra de medidas de níveis de chumbo no ar. 5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

Média aritmética ponderada Medidas de Locação Média aritmética ponderada Em algumas situações, os números que queremos sintetizar têm graus de importância (pesos) diferentes A média aritmética ponderada dos números x1, x2,..., xn, com pesos p1, p2,..., pn, será: Exemplos: após a prova final, utiliza-se da média aritmética ponderada para o cálculo da média semestral do aluno O coeficiente de rendimento de um aluno da Ufal é calculado por esta média. Os pesos são as cargas horárias semestrais das disciplinas

Média para dados agrupados Medidas de Locação Média para dados agrupados Sempre que possível, as medidas estatísticas devem ser calculadas antes de os dados serem agrupados Muitas vezes só conhecemos os dados provenientes da distribuição de freqüência Considere que, em cada classe, todos os valores são iguais ao ponto médio da classe  em cada uma delas, o ponto médio se repete f vezes xi – Ponto médio da i-ésima classe, ni – Frequência da i-ésima classe k – Número de classes Soma de todos os valores amostrais Número total de valores amostrais

Média para dados agrupados Exemplo 4 Calcular o valor médio da resistência do concreto cujos dados estão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 – aula 04)

Média para dados agrupados Exemplo 4

Média para dados agrupados Comparação – Exemplos 2 e 4

Medidas de Locação Mediana Medida da tendência central, que divide os dados em duas partes iguais (valor do “meio” do conjunto) Se o número de observações for ímpar, a mediana será o valor central das observações colocada em ordem crescente Se o número de observações for par, a mediana será a média entre os dois valores centrais das observações colocadas em ordem crescente Cálculo da Mediana

Lembrando da média: 1,538 mg/m3 Mediana Exemplo 6 Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar. 5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10 Colocando os resultados em ordem crescente: 0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 5,40 Cálculo da mediana: Lembrando da média: 1,538 mg/m3

Agora e média muda: 0,838 mg/m3 Mediana Exemplo 7 Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar, substituindo o valor 5,40 mg/m3 pelo valor 1,20 mg/m3 1,20 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10 Colocando os resultados em ordem crescente: 0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 1,20 Cálculo da mediana: Agora e média muda: 0,838 mg/m3

Comparação entre média e mediana Comparação entre os exemplos 6 e 7 Caso 1 Resultados ordenados 0,42 0,48 0,73 1,10 5,40 Resultados ordenados 0,42 0,48 0,73 1,10 1,20 Caso 2

Comparação entre média e mediana A mediana é a mesma (0,915) em ambos os casos O exemplo ilustra os seguintes fatos: A média é muito sensível a valores extremos A mediana não sofre muito com a presença de alguns valores muito altos ou muito baixos

Mediana para dados agrupados Medidas de Locação Mediana para dados agrupados O algoritmo para cálculo da mediana pressupõe que as observações estejam em ordem crescente e igualmente espaçadas dentro de cada classe Nesses casos, a mediana pode ser obtida por interpolação linear Exemplo 8 Determinar a mediana dos resultados de resistência à compressão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04)

Mediana para Dados Agrupados Exemplo 8 Como existem 40 dados, a mediana é o 20º elemento, e pertence à terceira classe (ver N2 e N3) Para determinar o 20º elemento, interpolaremos, obtendo:

Mediana para Dados Agrupados Exemplo 8 Classe da mediana 24 20 x 15 x = 2,22 56 60

Medidas de Locação Moda É o valor da observação que ocorre com a maior freqüência No caso de dados agrupados, é o ponto média da classe de maior freqüência A média é uma medida mais adequada ao caso de dados agrupados. Nesse caso, a classe de maior freqüência se chama classe modal No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem utilidade como elemento representativo ou sintetizador do conjunto

Moda Exemplo 9 Determinar a classe modal e a moda dos resultados de resistência à compressão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04) Classe modal: Moda: 58

Resumo para dados não agrupados Medidas de Locação Resumo para dados não agrupados Fonte: Mario F. Triola. Introdução à estatística (2005)

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