Trabalho e energia de deformação Capítulo 11 Trabalho e energia de deformação

Unidade (SI): Joule (J)=Nm Trabalho de uma força Trabalho infinitesimal: Trabalho ao longo da trajetória : Unidade (SI): Joule (J)=Nm  1 2  x y

Os deslocamentos na direção da força são proporcionais a ela: Trabalho de aplicação de força sobre corpos de material linear elástico   Os deslocamentos na direção da força são proporcionais a ela: F2 F1 u2 u1 x y

Trabalho de aplicação das forças:   Trabalho de aplicação de força sobre corpos de material linear elástico Trabalho de aplicação das forças:

Trabalho de uma força já aplicada   Trabalho de uma força já aplicada: F2 F1 u2 u1 x y

Trabalho de aplicação: Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado uniaxial de tensão Trabalho de aplicação: x u+du u x y dx dy

Trabalho de aplicação: Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado de cisalhamento puro Trabalho de aplicação: xy yxdy x y dx dy

Trabalho de aplicação y yx v+dv x dy xy v dx y u u+du x Trabalho interno de deformação sobre um elemento infinitesimal em estado plano de tensão Trabalho de aplicação x u+du u x y dx dy v v+dv y yx xy

Relação trabalho externo – energia de deformação  Hipóteses de aplicação da força: aplicação quase – estática dos esforços, ou seja, a variação de energia cinética desprezível; processo adiabático ; não há variação de energia térmica.  Da 1ª Lei da termodinâmica: U é a energia de deformação. We é o trabalho dos esforços externos

Relação trabalho externo – trabalho interno – energia de deformação Relação entre os trabalhos externo e interno: Relação entre trabalho interno e energia de deformação:

Densidade de energia Da lei de Hooke dy x dx y u u+du x Densidade de energia sobre elemento infinitesimal em estado uniaxial de tensão Densidade de energia Da lei de Hooke x u+du u x y dx dy

Densidade de energia Da lei de Hooke yxdy dy xy dx y x Densidade de energia de deformação sobre elemento infinitesimal em estado de cisalhamento puro Densidade de energia Da lei de Hooke xy yxdy x y dx dy

Densidade de energia: Da lei de Hooke; y yx v+dv x dy xy v dx y u Densidade de energia de deformação sobre elemento infinitesimal em estado plano de tensão Densidade de energia: Da lei de Hooke; x u+du u x y dx dy v v+dv y yx xy

Energia de deformação em uma barra axialmente carregada P L E, A

Energia de deformação em uma viga sob flexão pura Mz L E, I Mz A x y

Energia de deformação em uma eixo sob torção pura L T x

Trabalho virtual Trabalho virtual: é o trabalho realizado por uma força já aplicada para um deslocamento compatível qualquer  1 2  u* v*

Trabalho virtual sobre um elemento infinitesimal Trabalho virtual interno: x ûx +dûx ûx x y dx dy ûy ûy+dûy y yx xy

Trabalho virtual sobre um sólido Trabalho externo: Trabalho interno: F2 F3 F1 û1 û2 û3

Trabalho virtual sobre um sólido Equivalência entre We e Wi

Trabalho virtual sobre um sólido elástico linear Trabalho externo: Trabalho interno: F2 F3 F1 1  2  3

Trabalho virtual sobre um sólido elástico linear Equivalência entre We e Wi

Energia de deformação de um sólido elástico linear Energia de deformação para uma deformação qualquer compatível F2 F3 F1 1  2  3

Energia de deformação de um sólido elástico linear Condição de equilíbrio: Chega-se a equação idêntica à obtida pelo trabalho virtual

Método dos elementos finitos Representação aproximada Representação de  e 

Método dos elementos finitos Fazendo e obtém-se: K é matriz de rigidez  é a matriz coluna dos deslocamentos nodais F é a matriz coluna das forças nodais