Prof. Guilherme Jahnecke Weymar Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme Jahnecke Weymar AULA 02 Equações diferenciais de primeira ordem Fonte: Boyce, Bronson, Zill, diversos internet, Material Profª. Dr. Daniela Buske

ED 1ª ordem As equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem são equações que podem ser escritas como Vamos estudar equações de primeira ordem que podem ser escritas na forma (1.1) Uma solução (particular) de uma ED (1.1) em um intervalo I é uma função y(t) definida no intervalo I tal que a sua derivada y’(t) está definida no intervalo I e satisfaz a eq. (1.1) neste intervalo.

ED 1ª ordem O problema (1.2) é chamado problema de valor inicial (PVI). Uma solução do PVI (1.2) em um intervalo I é uma função y(t) que está definida neste intervalo, tal que a sua derivada também está definida neste intervalo e satisfaz (1.2)

ED 1ª ordem Quando resolvemos uma EDO de 1ª ordem normalmente obtemos uma família de soluções que dependem de uma constante arbitrária. Se toda solução particular puder ser obtida da família de soluções que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos que a família de soluções é a solução geral da equação.

ED 1ª ordem Exemplo: A equação pode ser resolvida por integração direta obtendo que é a solução geral da equação diferencial dada.

ED 1ª ordem Equações lineares de primeira ordem: As equações lineares de 1ª ordem são equações que podem ser escritas como 1º Caso: Equações em que p(t)=0: Se a função p(t)=0 a equação anterior torna-se (1.3) e é fácil de resolver integrando-se os dois lados. Assim a solução geral desta equação é dada por:

ED 1ª ordem Exemplo: A equação pode ser resolvida por integração direta obtendo que é a solução geral da equação diferencial dada.

ED 1ª ordem Equações lineares: (caso geral) A seguir veremos várias técnicas de se encontrar soluções de equações de 1ª ordem que se baseiam em transformar a eq. inicial em uma eq. do tipo (1.3). Equações lineares: (caso geral) Vamos considerar equações da forma (1.4) Vamos definir uma função auxiliar de forma que ao multiplicarmos a eq. por esta função a eq. resultante é do tipo (1.3) que já resolvemos anteriormente. Considere a função: Esta função é chamada fator integrante da equação linear. OBS.:Mostraremos adiante porque esta função deve ter esta forma.

ED 1ª ordem Observe que (1.5) Multiplicando-se (1.4) por , obtemos (1.6) que pode ser reescrita usando (1.5) como: mas o lado esquerdo desta equação é a derivada de um produto, assim: (1.7)

ED 1ª ordem A equação (1.7) é uma equação do tipo (1.3), i.e., em que e . . Assim a solução geral de (1.7) é: Como , dividindo-se a eq. anterior por obtemos que a solução geral de (1.4) é dada por

ED 1ª ordem Exemplo: Considere a equação (1.8) O fator integrante é: Multiplicando-se a equação acima por obtemos: O lado esquerdo é igual a derivada do produto . Logo a equação acima é equivalente a: Integrando-se obtemos: Explicitando y(t) temos que a solução geral da ED é: (1.8)

ED 1ª ordem Exemplo: Determinar o intervalo de validade da solução do PVI Observe que a equação é a mesma do exemplo anterior. Substituindo-se t = 2 e y = 3 em (1.8) obtemos E assim a solução do PVI é Observe que a solução deste PVI é válida no intervalo (0,∞). Se no lugar de y(2)=3 fosse y(-2)=3 a solução seria a mesma, mas o intervalo de validade da solução seria (-∞,0).

ED 1ª ordem Esboço do gráfico dos 2 exemplos anteriores:

ED 1ª ordem O gráfico dos 2 exemplos anteriores:

ED 1ª ordem Por que o fator integrante deve ser ? Vamos mostrar como podemos chegar ao fator integrante . O fator integrante deve ser uma função que satisfaz a equação diferencial Supondo-se , vamos multiplicar esta equação por obtendo: que pode ser escrita como que, pela regra da cadeia, é equivalente a

ED 1ª ordem que é uma equação do tipo (1.3) que pode ser resolvida simplesmente integrando-se ambos os membros obtendo: Aplicando-se a exponencial a ambos os membros obtemos: Como estamos interessados em apenas um fator integrante podemos tomar C=1 e assim:

Exercícios:

Exercícios: 04) Mostre que a equação linear 𝑦 ′ +𝑝(𝑡)𝑦=𝑞(𝑡) é equivalente a uma equação separável se: 𝑝 𝑡 =𝑎 e 𝑞 𝑡 =𝑏, para 𝑎,𝑏∈ℝ R: A equação é equivalente a 1 𝑏−𝑎𝑦 𝑦′=1 𝑝 𝑡 =𝑞(𝑡) R: A equação é equivalente a 1 1−𝑦 𝑦 ′ =𝑞 𝑡 𝑞(𝑡)=0 R: A equação é equivalente a 1 𝑦 𝑦 ′ =−𝑝(𝑡)

Exercícios: 01) Resolva as equações. 1+ 𝑥 2 𝑦 ′ −𝑥𝑦=0 𝑅: 𝑦=𝐶 (1+𝑥²) 1 2 𝑦 2 −1− 2𝑦+𝑥𝑦 𝑦 ′ =0 𝑅: 𝑦 2 −1 =𝐶 2+𝑥 𝑎𝑦 𝑥 2 +𝑏𝑦 𝑦 ′ −𝑥=0, para 𝑎,𝑏∈ℝ 𝑅: 𝑦 2 − 1 𝑎 𝑙𝑛 𝑎 𝑥 2 +𝑏 𝑎 𝑥 2 +𝑏 =𝐶 𝑎𝑥 2 +𝑏 1 2 𝑦 ′ −𝑥 𝑦 3 =0, para 𝑎,𝑏∈ℝ 𝑅: − 1 2 𝑦 −2 − 1 𝑎 𝑎 𝑥 2 +𝑏 1 2 =𝐶 𝑎𝑦 2 +𝑏 1 2 −𝑥𝑦 𝑦 ′ =0, para 𝑎,𝑏∈ℝ 𝑅: 1 𝑎 (𝑎 𝑦 2 +𝑏) 1 2 −𝑙𝑛 𝑥 =𝐶 𝑎 𝑦 2 +𝑏− 𝑥 2 𝑦 𝑦 ′ =0, para 𝑎,𝑏∈ℝ 𝑅: 1 2𝑎 𝑙𝑛 𝑎 𝑦 2 +𝑏 + 𝑥 −1 =𝐶