Distribuição Gama Qual é a distribuição do tempo em que ocorre a 3a chegada em um Processo de Poisson de taxa l?

Distribuição Gama A distribuição Gama com parâmetros a e l tem densidade f(x) = la xa–1e–lx/G(a), para x>0. No caso em que a é inteiro, G(a) = (a-1)! e X tem a distribuição da soma de a variáveis independentes com distribuição exponencial de parâmetro l.

Distribuição Normal A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade Notação: Z ~ N(0, 1) EZ = 0, Var Z = 1

Distribuição Normal Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros m (média) e s2 (variância) quando é da forma X = sZ + m, onde Z~N(0,1) Notação: X~N(m, s2)

Distribuição Normal Qual é a densidade da distribuição X~N(m, s2)? De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

Transformando uma v. a. A densidade de Y = g(X) é dada por onde x é tal que g( x) = y.

Transformando uma v.a. Caso particular: Se X tem densidade f, então Y = aX + b (a>0) tem densidade X= Y/2 X Y = 2X Y

Densidade da distribuição normal A densidade da v.a. X com distribuição normal N(m, s2) é

Exemplo As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85? Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

V. A. Multidimensionais Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes X = número de caras Y = número de transições Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1? x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 y 1 2 P(Y=y) 1/4 2/4

V. A. Multidimensionais Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y. Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

Distribuição Conjunta w X Y ccc 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk

Distribuição Conjunta w P X Y ccc 1/8 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk X Y 1 2 3

Distribuição Conjunta w P X Y ccc 1/8 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk X Y 1 2 3 1/8 - 2/8 P(X=2 e Y =1) = 2/8

Distribuição Conjunta A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).

Distribuição Conjunta X Y 1 2 3 1/8 - 2/8

Distribuição Conjunta X Y 1 2 3 1/8 - 1/4 2/8 1/2 3/8

Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn) Exemplo FX1(x1) = ?

Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn) Exemplo FX1(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)

Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1. Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi)

Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1. Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi) Contínuas Quando existe uma função de densidade f tal que Neste caso:

Exemplo Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y. Qual é a função de densidade? Qual é a probabilidade de que X seja menor que 1/2?

Propriedades Esperança de funções de v.a. multidimensionais E(g(X)) = Si g(xi) P(X=xi) (discreta) E(g(X)) = Rn g(x) fX(x) dx (contínua) Casos particulares: EX = R2 x fX,Y(x,y) dy dx E(X+Y) = R2 (x+y) fX,Y(x,y) dy dx = = R2 x fX,Y(x,y) dy dx + R2 y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY

Propriedades Em geral, E (XY)  EX EY Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.

Observação X, Y independentes  E(XY) = EX EY E(XY) = EX EY  X, Y independentes não correlacionadas

Covariância e Correlação Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = = E(XY) – EX EY r(X, Y) = Cov(X,Y)/s(X)s(Y) Teorema: –1 ≤ r(X, Y) ≤ 1

Exemplo As variáveis aleatórias X e Y têm distribuição conjunta de densidade fX,Y(x,y) = x+y, para 0 < x, y < 1 Quais são as distribuições marginais de X e Y? Qual é a covariância de X e Y? Qual é o coeficiente de correlação de X e Y? Qual é a distribuição condicional de X dado Y? X e Y são independentes?