MSCC – Revisão de Probabilidade e Estatística Sidney Lucena PPGI/UNIRIO 2015.1

Revisão de Probabilidade e Estatística Sumário da Revisão Análise Combinatória Probabilidade Variáveis Aleatórias, Distribuições de Probabilidade Funções de Variáveis Aleatórias Medidas Estatísticas Intervalo de Confiança Na sequência, teremos Variáveis Aleatórias Multidimensionais Distribuição marginal e probabilidade condicional Correlação e Autocorrelação

Revisão P&E – Por quê? Apesar de óbvio, voltemos à ideia básica É preciso SUMARIZAR dados Mas também é preciso saber o que calcular e como calcular!!!! E é preciso representar e exibir estes dados Ferramentas nem sempre têm tudo que é necessário para isso É necessário conhecer bem os conceitos

Análise Combinatória Análise combinatória, a arte de contar (Stewart) É a parte da matemática que estuda métodos de contagem Importante para se calcular probabilidades! Exemplos: Quantos números cabem em 2 bytes? Ao se lançar os dados X e Y, em quantas combinações X terá valor maior que Y? Como fazer esta conta “sem contar”????

Análise Combinatória Princípio fundamental da contagem (ex.): Se X, Y e Z podem respectivamente assumir uma quantidade k, m e n de valores, então o número total de possíveis combinações é (k x m x n) E se eu quiser desprezar as combinações que se repetem independente de ordem??? P/ex., (3,5) e (5,3) contando como uma combinação Que cálculo seria este?? Vejamos os artefatos...

Análise Combinatória Arranjo

Análise Combinatória Arranjo c/ repetição

Análise Combinatória Permutação Um arranjo de itens, numa dada sequência ordenada, é dito ser uma permutação destes itens Ex: o conjunto ABC possui 6 permutações (3! = 6) ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 𝑛!= 𝑘=1 𝑛 𝑘 Ex.: o conjunto OXO possui 3 permutações (porque um símbolo aparece 2 vezes OXO, OOX, XOO 3!/(2!1!) = 3 Por quê????

Análise Combinatória Permutação Ex.: fila indiana com 8 pessoas 8! = 40320 Permutação circular PCn = (n – 1)! Por quê????? Ex.: Brincadeira de roda c/ 10 crianças 9! = 362880

Análise Combinatória Permutação c/ elementos repetidos

Análise Combinatória Combinação

Análise Combinatória Combinação Ex.: um jogador recebe 10 cartas de um baralho de 40 cartas Qual o número de combinações possíveis de cartas que será recebido?

Análise Combinatória Combinação Propriedades do coeficiente binomial:

Análise Combinatória Coeficientes multinomiais

Análise Combinatória Coeficientes multinomiais E quando as partições são iguais? Divide-se pelo número de permutações das partições

Análise Combinatória Coeficientes multinomiais E quando as partições são iguais? Ex.: De quantas maneiras podemos alocar 12 pessoas em 3 salas tendo cada grupo 4 pessoas?

Análise Combinatória Coeficientes multinomiais

Análise Combinatória Coeficientes multinomiais

Probabilidade Definições importantes:

Probabilidade Espaço amostral de experimento: Ex.: lançar 2 dados Ex. de evento: soma dos resultados ser par

Probabilidade

Probabilidade

Probabilidade

Probabilidade Probabilidade de um evento: Axiomas (verdades aceitas por todos):

Probabilidade Teoremas:

Probabilidade Teoremas:

Probabilidade Teoremas:

Probabilidade Probabilidade condicional:

Probabilidade Probabilidade condicional: Muito usada qdo há seq. de eventos relacionados entre si!

Probabilidade

Probabilidade Probabilidade condicional:

Probabilidade Probabilidade condicional:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Teorema de Bayes:

Probabilidade Eventos independentes:

Probabilidade Eventos independentes:

Probabilidade Eventos independentes:

Probabilidade Eventos independentes:

Variável Aleatória Variável que representa o resultado de uma função envolvendo experimentos aleatórios

Variável Aleatória Classificações:

Variável Aleatória Discreta

Variável Aleatória Discreta Função de Probabilidade de Massa (PMF): Probabilidade da var. aleat. X assumir um dado valor x : P [X = x] = p(x) A soma das probabilidades dos possíveis valores de X é 1:

Variável Aleatória Discreta Função de Distribuição Cumulativa (CDF): Probabilidade da v.a. X ser menor que a: P [X <= a] = F(a)

Variável Aleatória Discreta Medidas de Interesse:

Variável Aleatória Discreta Seja Y a v.a. representada nos gráficos anteriores:

Variável Aleatória Discreta Distribuições de Probabilidade mais comuns:

Variável Aleatória Discreta Distribuição de Bernoulli:

Variável Aleatória Discreta Distribuição de Bernoulli:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Binomial: Se a prob. de uma máquina dar defeito num lab. é p, qual a prob. de i máquinas darem defeito?

Variável Aleatória Discreta Distribuição Binomial:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Binomial: Exemplos:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Binomial: Exemplos:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Binomial: Exemplos:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Geométrica:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Geométrica:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Geométrica: Exemplos:

Variável Aleatória Discreta Distribuição Geométrica: Exemplos:

Variável Aleatória Discreta Distribuição de Poisson:

Variável Aleatória Discreta Distribuição de Poisson:

Variável Aleatória Discreta Distribuição de Poisson: Costuma ser usada para saber a probabilidade de um dado número de ocorrências de um evento num dado intervalo de tempo Ocorrências do evento devem ser aleatórias e independentes O valor médio de ocorrências é bem conhecido (lambda) Exemplo: Probabilidade do número de pessoas que entram num banco durante um certo intervalo de tempo ser igual a x

Variável Aleatória Discreta Distribuição de Poisson: Exemplos:

Variável Aleatória Discreta Distribuição de Poisson: Exemplos:

Variável Aleatória Discreta Aproximação entre as Distribuições de Poisson e Binomial:

Variável Aleatória Contínua Uma variável aleatória é dita contínua quando o conjunto de valores que ela pode assumir é incontável Exemplos:

Variável Aleatória Contínua Função Densidade de Probabilidade (PDF): Exemplo: P [a <= X <= b]

Variável Aleatória Contínua Probabilidade e Medidas de Interesse:

Variável Aleatória Contínua Distribuições de Probabilidade mais comuns:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Uniforme:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Uniforme:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Uniforme:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Uniforme:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Exponencial:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Exponencial:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Exponencial:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Exponencial:

Variável Aleatória Contínua Distribuição de Erlang: Corresponde a uma sequencia de n eventos com distribuição exponencial

Variável Aleatória Contínua Distribuição de Erlang:

Variável Aleatória Contínua Distribuição de Erlang:

Variável Aleatória Contínua Distribuição de Erlang: CDF (Função de Distribuição Cumulativa) p/ lambda = 0,5

Variável Aleatória Contínua Distribuição de Erlang: PDF para n = 5

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal: Exemplo para Dist. Normal Padrão:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal: Muito usada para representar variáveis aleatórias cuja distribuição não é conhecida Teorema do limite central: A média calculada para variáveis aleatórias independentes, que por sua vez se torna uma variável aleatória, possui distribuição normal Ex.: erros de medição tendem a apresentar uma distribuição próxima da normal

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua Distribuição Normal: