Probabilidade e Esperança Condicional Como definir apropriadamente FX(x | Y = y) e E(X | Y = y)? Duas situações: Y discreto Y contínuo

Caso Discreto

Propriedades P(XB) = Sy P(XB | Y=y) P(Y=y) FX(x) = P(X ≤ x) =SyP(X≤ x| Y=y) P(Y=y) FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) = St P(X≤ x| Y=t) P(Y=t) E(X) = Sy E(X|Y=y) P(Y=y) (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

Exemplo O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro l. Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que k homens visitem a academia?

Exemplo O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro l. O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média m. Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?

Caso Contínuo FX(x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).

Propriedades (caso contínuo) P(XB) =  P(XB | Y=y) fY(y)dy FX(x) = P(X ≤ x) = P(X≤ x| Y=y) fY(y)dy FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) = y- P(X≤ x| Y=t) fY(t)dt E(X) = E(X|Y=y) fY(y)dy (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

Caso contínuo Caso geral: Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:

Exemplo Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X? 1 1

Exemplo Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite. Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite? Qual é a probabilidade de que seja desligado depois das 22 horas? Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da novela e desligado depois?

Exemplo Se X e Y são independentes e têm densidades fX e fY, qual é a densidade de X+Y?

Exemplo Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?

Somas e médias de v.a. i.i.d. Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X1, X2, …, Xn , obter a distribuição de:

Somas e médias de v.a. i.i.d. Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de Sn e X Fácil calcular médias e variâncias

Somas e médias de v.a. i.i.d. Quando n, Var(X)  0 Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno de sua média m. É possível tornar esta afirmativa precisa?

Desigualdade de Markov Seja X uma variável aleatória tal que X  0 e EX = m. Então, para todo a>0:

Desigualdade de Chebyshev Seja X uma variável aleatória tal que EX = m e Var(X) = s2. Então, para todo d > 0:

Lei Fraca dos Grandes Números (Chebyshev, 1867) Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m e Var X1 = s2. Então, para todo d > 0,

Lei Forte dos Grandes Números (Kolmogorov, 1925) Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m. Então: Em consequência, para todo d > 0:

Observações Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1. Exemplos Jogo de São Petersburgo X~Cauchy (fX(x) = 1/(1+x2))

Teorema Central do Limite Estimativa para P(|X–m|d) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa. É possível refiná-la? Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a variância, de modo a ter média 0 e variância 1. Resultado: a distribuição da versão padronizada converge para uma distribuição fixa (a normal).

Teorema Central do Limite Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m e Var X1 = s2. A distribuição de converge para a normal padrão:

Noções de Simulação Teorema Fundamental Seja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f.d.a da v.a. X = F-1(U) é F.

Exemplos Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial l? Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3; 0,6)? Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 102)?

Para gerar v.a. normais Algoritmo de Box-Muller são normais e independentes

Método de aceitação/rejeição Seja f uma função de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ M, para todo x  [a, b] . Gerar U ~ U[a, b] e V ~ U [0, 1], independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

Método de aceitação/rejeição Método de aceitação/rejeitação MV U

Método de aceitação/rejeição Sejam f e g funções de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ Mg(x), para todo x  [a, b] . Gerar U ~ U[a, b] e V ~g, independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

Outros métodos Algoritmo de Metrópolis Importance Sampling (MacKay, cap. 29)