Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali TEMA Geometria Analítica: Abordagens Didáticas & Aplicações Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali OBJETIVOS Apresentar abordagens nem sempre lembradas dos temas selecionados e Propor abordagens didáticas, que facilitem aos alunos a compreensão dos temas. Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali CONTEÚDOS ABORDADOS Vetores Sistema Cartesiano Produto Escalar Produto Vetorial Produto Misto Reta Plano Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

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Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Definição formal Noção Intuitiva Interpretação que interessa: Vetor “Vehere = Transportar” condutor , portador, ... O vetor v transporta qualquer ponto A para um novo ponto B: v = AB O vetor é dinâmico, (não é uma flecha!) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Identificando Vetores Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

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Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PROBLEMA Dados os pontos A e B, até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que o seu comprimento quadruplique de valor? Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Resolver assim: C = A + 4 AB ou C = B + 3 AB e não assim: AC = 4AB ou C - A = 4 (B - A), etc. Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PROBLEMA Representar o vetor com origem no ponto Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali + = Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PROBLEMA Dados: A - vértice de um paralelepípedo B, C e D - vértices adjacentes a A Determinar: A’, sendo AA’ uma diagonal do paralelepípedo. Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

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Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali TRANSLAÇÃO A translação é determinada por um vetor Tv : p p P Tv(P) = P + v É a isometria mais simples Se v = (a, b), para cada P(x, y) tem-se Tv (P) = ( x + a, y + b) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

e transforma Oxy em O’x’y’ Tv leva “r” numa reta paralela Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali ) 4 , 5 ( v = A = (2,0)  e  A’= (2,0) + (5,4) = (7,4)  e’ B = (0,3)  e  B’ = (0,3) + (5,4) = (5,7)  e’ Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

S = PP’ / P  X e P’ = Tv (P) No sistema Oxyz, se v = (a,b,c), então P(x, y, z)  P’ ( x + a, y + b, z + c) Cilindro S de base X e geratriz v: Se X é polígono, então S é prisma. Se X é paralelogramo, então S é paralelepípedo. Exemplos: S = PP’ / P  X e P’ = Tv (P) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

A sala de aula e os oito octantes. SISTEMA CARTESIANO A sala de aula e os oito octantes. Independente do sistema ortonormal igualmente orientado, o vetor é o mesmo! Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

PRODUTO ESCALAR Sejam: Importância: idéia de medida Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PRODUTO ESCALAR MEDIDA: módulo, distância, ângulo, ortogonalidade, bases ortogonais e ortonormais, projeções. APLICAÇÕES: Trabalho; Tensão; Energia: Dimensionamento de pára-choque de automóvel; Fabricação de freios; Laminação. Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PRODUTO VETORIAL Seja v = (x, y, z) um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores dados: Então: ou Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Resolvendo o sistema pela regra de Cramer: Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Portanto Para z = , tem-se: v = v1 x v2 que é o PRODUTO VETORIAL de v1 e v2, isto é, v = v1 x v2 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PRODUTO VETORIAL Qual é o significado do número | u  v | ? Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO Dados: u = (a, b) e v = (c, d) Então: área (u, v) =  ad – bc , isto é, Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO Reta por (c, d) e paralela a u: y = d + b/a (x – c) Logo, v’ = ( 0, d – b/a . c) Ora, área (u, v) = área (u, v’) (mesma base e mesma altura) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

ÁREA DO PARALELOGRAMO NO PLANO que por sua vez é a área do retângulo cuja base é definida pelo vetor u’ = (a, 0) e a altura pelo vetor v’. Portanto, a área deste retângulo é: | a | |d-b/a . c| = |a (d-b/a . c| = |ad - bc| Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

ISOMORFISMO entre R2 e o plano xy do R3 ) , b a ( u = r Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PRODUTO VETORIAL APLICAÇÕES: Vetor normal ao plano Bases ortogonais Determinação de campos vetoriais normais unitários (cálculo de área de superfície) Plano tangente Geometria Diferencial Física – Torque Campo magnético - força eletromotriz (ortogonal) Aceleração de Coriólis (embreagem hidráulica) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PRODUTO MISTO APLICAÇÕES: 1. Coplanaridade: (u, v, w) = 0 (a) LD (b) Nulidade do determinante (propriedade única) 2. Não coplanaridade: (u, v, w)  0 (a) LI (b) volume: V = (u, v, w) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali RETA Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali RETA 4 y x 2 = + A figura interpreta geometricamente a transformação do sistema no sistema O ponto de interseção é mantido. Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali RETA A reta e uma variável Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali PLANO O plano e duas variáveis Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Sistemas Lineares Duas equações e três incógnitas (só existem três possibilidades) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Os planos 1 e 2 coincidem 1= 2 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Os planos 1 e 2 são paralelos 1 2 1 2 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali A interseção entre 1 e 2 é uma reta 2 1 1 2 = r Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Interseção de dois planos Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Sistemas Lineares Três equações e três incógnitas Existem oito posições possíveis dos planos 1, 2 e 3 , em relação uns aos outros. Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali 1. Os três planos coincidem 1=  2 =  3 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali 2. Dois planos coincidem e são paralelos ao terceiro 3  1= 2 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali Provão 2001 - Questão 07 O número de soluções do sistema de equações: 3 é  1= 2 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinito Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali 3. Dois planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta 3 1= 2 r: 1  3 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

4. Os três planos são paralelos entre si 3 2 1 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali 5. Dois planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas 3 2 1 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

6. Os três planos têm uma reta em comum 2 3 1 r = 1 2 3 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

7. Os 3 planos se intersectam dois a dois segundo três retas paralelas 2 1 3 Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali

8. Os 3 planos têm um ponto em comum 3 2 P s = 1 3 1 r = 1 2 P (-3, 6, -2) Professor: Paulo Winterle - FAMAT/PUCRS - Elaborado por: Lorí Viali