8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 4 8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs 8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

8. EDO’s 8.3.1. INTRODUÇÃO Se para calcular , usamos apenas , então dizemos que o Método é de Passo Um ou de Passo Simples. Porém se usarmos mais valores teremos um Método de Passo Múltiplo. Para PVI’s de primeira ordem temos que é uma aproximação inicial para a solução. Problema auto-iniciante. Para Métodos de Passos Múltiplos deve-mos ter estratégias para as aprox. iniciais.

8. EDO’s 8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth Considere a EDO Suponha que exista uma única solução do problema no intervalo de interesse. Suponha que conhecemos aproximações para em e que

8. EDO’s 8.3.2. Métodos de Adams-Bashforth Os procedimentos do tipo Adams-Bashforth consistem em integrar a EDO de , ou seja, e resolver a integral por quadratura numérica.

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Se aproximarmos a integral utilizando então temos um método explícito. Vamos aproximar por um polinômio de grau , que interpola em

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Se escolhermos a função será aproximada por . Chamando onde as formas de Lagrange são dadas por

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Então:

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Fazendo a mudança de variáveis temos que Segue que:

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Através da mudança de variáveis

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Enfim,

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Enfim, Neste ponto fica claro que temos um método de passos múltiplos explícito, pois para calcular

8. EDO’s 8.3.3. Métodos de Adams-Bashforth Explícitos Sobre os erros do Método de Adams-Bashforth Explícito Da teoria de interpolação, quando interpola- mos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5.

8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Se aproximarmos a integral utilizando então temos um método implícito. Vamos aproximar por um polinômio , onde , que interpola em

8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos onde:

8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos De modo análogo, fazendo temos que Segue que:

8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Através da mudança de variáveis Enfim, que é um método de passos múltiplos implícito.

8. EDO’s 8.3.4. Métodos de Adams-Bashforth Implícitos Sobre os erros do Método de Adams-Bashforth Implícito Da teoria de interpolação, quando interpola- mos f por um polinômio de grau m=3, o erro cometido é localmente de grau 5.

8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo Exemplo 1: Para o PVI dado, estime . PVI: Pelo Método de Runge-Kutta com: 1ª ordem 2ª ordem 3ª ordem 4ª ordem Com h=0.25 Com h=1

8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo Exemplo 1: Para o PVI dado, estime . PVI: Utilizando e os quatro dados iniciais

8. EDO’s 8.3.5. Métodos de Adams-Bashforth -Exemplo 0.0 1000 40 0.2 1008.0321 40.321284 0.4 1016.1287 40.645148 0.6 1024.2903 40.971612 0.8 1032.517487 41.30069948 1032.5175 1.0 1040.810756 1040.810774 Roxo: 4 dados iniciais Laranja: Valores calculados