LEIS DE KEPLER

Os primeiros a descreverem sistemas planetários explicando os movimentos de corpos celestes foram os gregos. O mais famoso sistema planetário grego foi o de Cláudio Ptolomeu (100-170), que considerava a Terra como o centro do Universo (sistema geocêntrico). Segundo esse sistema, cada planeta descrevia uma órbita circular cujo centro descreveria outra órbita circular em torno da Terra.

Nicolau Copérnico (1473-1543), astrônomo polonês, criou uma nova concepção de Universo, considerando o Sol como seu centro (sistema heliocêntrico). Segundo esse sistema, cada planeta, inclusive a Terra, descrevia uma órbita circular em torno do Sol. Entretanto, o modelo de Copérnico não foi aceito pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), segundo o qual o Sol giraria em torno da Terra e os planetas em torno do Sol.

Ao morrer, Brahe cedeu suas observações a seu discípulo Johannes Kepler (1571-1630), que tentou, em vão, explicar o movimento dos astros por meio das mais variadas figuras geométricas. Baseado no heliocentrismo, em sua intuição e após inúmeras tentativas, ele chegou à conclusão de que os planetas seguiam uma órbita elíptica em torno do Sol e, após anos de estudo, enunciou três leis.

1.ª LEI DE KEPLER (LEI DAS ÓRBITAS) “As órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses nas quais ele ocupa um dos focos.” Numa elipse existem dois focos e a soma das distâncias aos focos é constante.

a + b = c + d a b Foco Foco d c ELIPSE

Velocidade Areolar  velocidade com que as áreas são descritas. 2.ª LEI DE KEPLER (LEI DAS ÁREAS) “A área descrita pelo raio vetor de um planeta (linha imaginária que liga o planeta ao Sol) é diretamente proporcional ao tempo gasto para descrevê-la.”A reta que une um planeta ao Sol vare áreas iguais em tempos iguais Velocidade Areolar  velocidade com que as áreas são descritas.

A1

A1

A1

A1

A1

A1

Velocidade Areolar = A t

A2 A1 Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao longo de sua órbita elíptica. Logo: A1 = A2 t1 t2

Sol planeta

Afélio  ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol

Periélio  ponto de maior proximidade entre o planeta e o Sol

Com isso, tem-se que a velocidade no periélio é maior que no afélio. Afélio = 29,3 km/s Periélio = 30,2 km/s

3.ª LEI DE KEPLER (LEI DOS PERÍODOS) “O quadrado do período da revolução de um planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio de sua elipse orbital.” Raio Médio  média aritmética entre as distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol. T2 = K R3

Mercúrio 88 5,8 x 107 4,0 x 10-20 Vênus 224,7 1,08 x 108 Terra 365,3 Planeta T (dias terrestres) R (km) T2/R3 Mercúrio 88 5,8 x 107 4,0 x 10-20 Vênus 224,7 1,08 x 108 Terra 365,3 1,5 x 108 Marte 687 2,3 x 108 Júpiter 4343,5 7,8 x 108 Saturno 10767,5 1,44 x 109 Urano 30660 2,9 x 109 Netuno 60152 4,5 x 109 Plutão 90666 6,0 x 109

As Leis de Kepler dão uma visão cinemática do sistema planetário. Do ponto de vista dinâmico, que tipo de força o Sol exerce sobre os planetas, obrigando-os a se moverem de acordo com as leis que Kepler descobrira? A resposta foi dada por Isaac Newton (1642-1727): FORÇA GRAVITACIONAL!!!!

LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL “Dois pontos materiais se atraem mutuamente com forças que têm a direção da reta que os une e cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto de suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa.” F = G . m1 . m2 d2

G = constante de gravitação universal = 6,67 x 10-11 (SI) m2 F m1 d

A densidade de um planeta influencia na sua velocidade de rotação Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal: Devido a sua enorme massa, o Sol tende a atrair os planetas em sua direção Quanto mais próximo do Sol, maior a velocidade do planeta para que possa escapar do campo de atração gravitacional do Sol A densidade de um planeta influencia na sua velocidade de rotação (quanto mais denso, mais lento)

Dedução da Terceira Lei de Kepler Supondo a órbita circular: Note que o período de revolução depende da massa M do corpo central e da distância do corpo em órbita em relação ao corpo central

Intensidade do campo gravitacional g na superfície

Intensidade do campo gravitacional g Em uma altitude h

Intensidade da aceleração da gravidade g em função da latitude De acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da Inércia, todo corpo tende a manter seu estado de movimento. Ou seja, se está em repouso tende a ficar em repouso, se em movimento, tende a manter seu vetor velocidade. Um corpo, na superfície terrestre encontra-se em movimento devido a rotação planetária. Se em repouso sobre a Linha do Equador, sua velocidade devido a rotação terrestre é:

Velocidade de um satélite em órbita circular em uma altitude h Órbitas Circulares Velocidade de um satélite em órbita circular em uma altitude h Velocidade de um satélite em órbita circular em uma altitude h em função da intensidade da aceleração da gravidade g da superfície

Órbita Circular Rasante

Órbita Geoestacionária

Energia Potencial Gravitacional U (r) = -G . m1 . m2 r