Cilindros

Tipos de Cilindro Cilindro Oblíquo Geratriz – Qualquer segmentos de extremidades nos pontos das circunferências das bases e paralelo as bases. Geratriz, obliqua a base

Tipos de Cilindro Cilindro Reto Geratriz, perpendicular a base

Área da Base 𝑨 𝑩 =𝝅 𝒓 𝟐

Área da Lateral 𝑨 𝒍 =𝒃.𝒉 𝑨 𝒍 =𝟐𝝅𝒓.𝒉

Área Total 𝐀 𝐓 =𝟐. 𝐀 𝐁 + 𝐀 𝐥 𝐀 𝐁 =𝛑 𝐫 𝟐 𝐀 𝐥 =𝟐𝛑𝐫.𝐡 𝐀 𝐓 =𝟐.𝛑 𝐫 𝟐 +𝟐𝛑𝐫.𝐡 𝐀 𝐓 =𝟐.𝛑r(r+h)

Volume do Cilindro 𝑽= 𝑨 𝑩 .𝒉 𝑽=𝝅 𝒓 𝟐 𝒉 h 𝑨 𝑩

Secção Meridional Em um cilindro Oblíquo Em um cilindro Reto

Cilindro Reto Cilindro Reto Cilindro Equilátero 𝒈 = 𝒉 = 𝟐𝒓

(UF-RN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da água no copo será de aproximadamente: Dado: 𝝅=𝟑,𝟏𝟒 8,5 cm 8,0 cm 7,5 cm 9,0 cm Vol. 9 cubos: 𝟗. 𝟑 𝟑 =𝟐𝟒𝟑 𝒄 𝒎 3 Vol. Do Cilindro: 𝝅𝒉 𝒓 𝟐 𝟑 𝟐 .𝟑,𝟏𝟒.𝒉⇒𝟐𝟖,𝟐𝟔.𝒉 𝟐𝟒𝟑=𝟐𝟖,𝟐𝟔.𝒉⇒𝒉= 𝟐𝟒𝟑 𝟐𝟖,𝟐𝟔 𝒉 = 𝟖,𝟓 𝒄𝒎

(Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo. 𝐕 𝐓 = 𝐕 𝟏 + 𝐕 𝟐 𝐕 𝐓 =𝟑𝟎+𝟒𝟐 𝐕 𝐓 =𝟕𝟐 𝐦 3 𝐕 𝐓 =𝛑𝐡 𝐫 𝟐 𝟕𝟐=𝟏𝟐𝛑 𝐫 𝟐 𝐫 𝟐 = 𝟕𝟐 𝟏𝟐𝝅 𝒓= 𝟔 𝛑 𝟒𝟐=𝝅 𝟔 𝛑 𝟐 𝒉 𝟒𝟐=𝝅 𝟔 𝛑 𝒉 𝟒𝟐=𝟔𝐡 𝐡= 𝟒𝟐 𝟔 𝒉=𝟕𝒎

(USF-SP) Um cilindro circular reto, de volume 𝟐𝟎𝛑 𝐜𝐦³, tem altura de 𝟓𝐜𝐦. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é igual a: 10π 12π 15π 18π 20π Volume 𝐕=𝛑 𝐫 2 𝐡 ⇒𝟐𝟎𝛑=𝟓𝛑 𝐫 2 𝒓 𝟐 = 𝟐𝟎𝝅 𝟓𝝅 ⇒𝒓= 𝟒 ⇒ 𝐫=𝟐 Área Lateral 𝑨 𝒍 =𝟐𝛑𝐫𝐡 =𝟐𝛑.𝟐.𝟓 𝑨 𝒍 =𝟐𝟎 𝛑 𝐜𝐦 𝟐

Cone

Elementos do Cone V é Vértice R é Raio da base h é Altura do cone g é geratriz G segmento que vai do vértice a um ponto da circunferência.

Tipos de Cone Oblíquo Reto

Revolução do Cone 𝒈 𝟐 = 𝒉 𝟐 + 𝒓 𝟐

Área da Base do Cone 𝑨 𝒃 =𝝅 𝒓 𝟐

Área Lateral do Cone 𝑨 𝒍 =𝝅𝒓𝒈 Área do Setor Circular Arco Área Círculo 𝟐𝝅𝒈 𝝅 𝒈 𝟐 Setor 𝟐𝝅r 𝑨 𝒍 𝑨 𝒍 = 𝟐𝝅r.𝝅 𝒈 𝟐 𝟐𝝅𝒈 𝑨 𝒍 =𝝅𝒓𝒈

Área Total do Cone 𝑨 𝑻 = 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝒍 𝑨 𝑩 =𝝅 𝒓 𝟐 𝑨 𝒍 =𝝅𝒓𝒈 𝑨 𝑻 =𝝅𝒓(𝒓+𝒈)

Volume do Cone 𝑽= 𝝅𝒉 𝒓 𝟐 𝟑

Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 𝟐𝟖,𝟐𝟔 𝐦 𝟐 , considerando 𝛑= 𝟑,𝟏𝟒, a altura h será igual a: 𝟑 𝐦 𝟒 𝐦 𝟓 𝐦 𝟗 𝐦 𝟏𝟔 𝐦 𝑨 𝑩 =𝝅 𝒓 𝟐 𝝅 𝒓 𝟐 =𝟐𝟖,𝟐𝟔 𝒓 𝟐 = 𝟐𝟖,𝟐𝟔 𝟑,𝟏𝟒 𝒓= 𝟗 ⇒𝒓=𝟑𝒎 𝒈 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒉 𝟐 𝒉 𝟐 = 𝒈 𝟐 − 𝒓 𝟐 𝒉 𝟐 = 𝟓 𝟐 − 𝟑 𝟐 𝒉 𝟐 =𝟐𝟓−𝟗 𝒉= 𝟏𝟔 ⇒𝒉=𝟒 𝒎 Aplicando Pitágoras

(UFPA 2011 ) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando 𝛑= 𝟑,𝟏𝟒, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente. 18 20 22 24 26 Nessa questão, temos um tronco de cone e não um cone. Alguns livros fornecem uma fórmula para o calculo do volume de qualquer tronco de cone, mas vamos fazer o calculo sem o uso da tal fórmula.

𝑽 𝑨 = 𝑽 𝑩 + 𝑽 𝑫 ⇒ 𝑽 𝑫 = 𝑽 𝑨 − 𝑽 𝑩 Temos o cone A e um menor, o cone B, resultado do secção, ou corte de A. O que sobrou é o tronco do cone D, deste modo podemos dizer:

𝟐𝟕+𝒙 𝒙 = 𝟏𝟕 𝟏𝟒 𝟑𝟕𝟖+𝟏𝟒𝒙=𝟏𝟕𝒙 𝟏𝟕𝒙−𝟏𝟒𝒙=𝟑𝟕𝟖 𝒙= 𝟑𝟕𝟖 𝟑 𝒙=𝟏𝟐𝟔 𝒄𝒎 Assim, para calcular resolver esta questão, teremos de imaginar este tronco, como a parte retirada. Regra de Três Agora que já sabemos o valor de X, temos

Basta calcularmos o volume de cada cone e subtrair para achar o volume do cone

Volume do Cone Maior ( 𝑽 𝑨 ) 𝑽 𝑨 = 𝟏𝟓𝟑𝝅 𝒓 𝟐 𝟑 𝑽 𝑨 = 𝟏𝟓𝟑.𝟑,𝟏𝟒. 𝟏𝟕 𝟐 𝟑 𝑽 𝑨 =𝟒𝟔𝟑𝟎𝟑,𝟗𝟑 𝒄𝒎³

Volume do Cone Menor ( 𝑽 𝑩 ) 𝑽 𝑩 = 𝟏𝟐𝟔𝝅 𝒓 𝟐 𝟑 𝑽 𝑩 = 𝟏𝟐𝟔.𝟑,𝟏𝟒. 𝟏𝟒 𝟐 𝟑 𝑽 𝑩 =𝟐𝟓𝟖𝟔𝟏,𝟓𝟗 𝒄𝒎³

Volume do Tronco ( 𝑽 𝑫 ) 𝑽 𝑫 = 𝑽 𝑨 − 𝑽 𝑩 𝑽 𝑫 =𝟒𝟔𝟑𝟎𝟑,𝟗𝟑−𝟐𝟓𝟖𝟔𝟏,𝟓𝟗 𝑽 𝑫 =𝟐𝟎𝟒𝟒𝟐,𝟑𝟒 𝐜𝐦³ 𝟏𝒄 𝒎 3 =𝟏𝒎𝒍 𝟐𝟎𝟒𝟒𝟐,𝟑𝟒 𝐜 𝐦 3 =𝟐𝟎𝟒𝟒𝟐,𝟑𝟒 𝐦𝐥 Porem, o enunciado quer a resposta em litros. Deste modo

(UFPA 2011 ) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando 𝛑= 𝟑,𝟏𝟒, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente. 18 20 22 24 26 𝟏𝑳=𝟏𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐥 𝒙 =𝟐𝟎𝟒𝟒𝟐,𝟑𝟒 𝐦𝐥 𝒙= 𝟐𝟎𝟒𝟒𝟐,𝟑𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒙=𝟐𝟎,𝟒𝟒𝑳 Nessa questão, temos um tronco de cone e não um cone. Alguns livros fornecem uma fórmula para o calculo do volume de qualquer tronco de cone, mas vamos fazer o calculo sem o uso da tal fórmula.

Pirâmide

Elementos da Pirâmide Vértice Aresta Lateral Face Lateral Vértice da Base Aresta da Base

Classificação da Pirâmide Tetraedro Pirâmide Pentagonal Pirâmide Quadrangular Pirâmide Hexagonal Toda pirâmide triangular, recebe o nome de Tetraedro

Área Lateral da Pirâmide 𝐀 𝒍 =𝐧 𝒂𝒈 𝟐 n = Número de Arestas a = Aresta da Base g = Apótema da Pirâmide g a

Área da Base 𝐚 p = Apótema do polígono da base 𝐀 𝐁 =𝐩. 𝐚 𝐩 p = Semiperímetro 𝐩= 𝐧𝐋 𝟐 P = semiperímetro a = Apótema do polígono da base

Área Total da Pirâmide 𝐀 𝐁 =𝐩. 𝐚 𝐩 𝐀 𝒍 =𝐧 𝒂𝒈 𝟐 𝐀 𝐓 = 𝑨 𝒍 + 𝑨 𝑩 𝐀 𝐓 =𝐧 𝐚𝐠 𝟐 +𝐩 𝐚 𝐩

Volume da Pirâmide 𝑽= 𝑨 𝑩 𝒉 𝟑

(UNIV) As faces laterais de uma pirâmide hexagonal regular são triângulos isósceles com área de 12cm² cada. A área lateral do sólido vale: 𝟑𝟔 𝐜𝐦² 𝟒𝟖 𝐜𝐦² 𝟓𝟒 𝐜𝐦² 𝟕𝟐 𝐜𝐦² 𝟏𝟎𝟖 𝐜𝐦² 𝟏𝟐 𝐗 𝟔 = 𝟕𝟐𝐜𝐦² Basta termos atenção e interpretar a questão. Basta multiplicar a área dada, pelos lados do hexágono (6),ou seja:

(OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será: O triplo da do prisma. O dobro da do prisma. O triplo da metade da do prisma. O dobro da terça parte da do prisma. n.d.a Volume da Pirâmide = 𝑨 𝑩 𝒉 𝟏 𝟑 Volume do Prisma = 𝑨 𝑩 . 𝒉 𝟐 Nosso caso = 𝟐 𝑨 𝑩 𝒉 𝟏 𝟑 𝟐 𝑨 𝑩 𝒉 𝟏 𝟑 = 𝑨 𝑩 . 𝒉 𝟐 𝒉 𝟐 = 𝟑 𝒉 𝟏 𝟐

Esfera

Área da Superfície da Esfera 𝑨 𝒔 =𝟒𝝅 𝒓 𝟐 Será o resultado da rotação de uma semicircunferência em seu próprio eixo de toração

Volume da Esfera 𝑽 𝒆 = 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑

Considere uma laranja como uma esfera composta de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8cm de diâmetro, qual é o volume aproximado de cada gomo? Considere 𝝅=𝟑 19 cm 20 cm 21 cm 22 cm 23 cm 𝑽 𝒆 = 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑 𝐕 𝒍 = 𝟒 𝟑 𝝅 𝟒 𝟑 𝐕 𝒈 = 𝑽 𝒍 𝟏𝟐 𝐕 𝒈 = 𝟒 𝟒 𝝅 𝟑 𝟏𝟐 𝐕 𝒈 = 𝟒 𝟒 𝝅 𝟑 . 𝟏 𝟏𝟐 𝐕 𝒈 = 𝟒 𝟒 𝝅 𝟑 . 𝟏 𝟒.𝟑 𝐕 𝒈 = 𝟒 𝟑 .𝟑 𝟑.𝟑 𝐕 𝒈 =𝟐𝟏, 𝟑𝟑 cm

 Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r. Qual é o raio R do cilindro? Volume da Esfera 𝑽 𝒆 = 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑 Vol. da Esfera 1 𝐕 𝟏 = 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑 Vol. da Esfera 2 𝐕 𝟐 = 𝟒 𝟑 𝝅 𝟖𝒓 𝟑 Soma dos Volumes 𝑽 𝑻 = 𝐕 𝟏 + 𝐕 𝟐 𝑽 𝑻 = 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑 𝟏+𝟖 𝑽 𝑻 =𝟏𝟐𝝅 𝒓 𝟑 Raio do Cilindro 𝑽 𝒄 = 𝑽 𝑻 𝝅𝒉 𝑹 𝟐 =𝟏𝟐𝝅 𝒓 𝟑 ∴𝒉=𝟑𝒓 𝑹 𝟐 = 𝟏𝟐𝝅 𝒓 𝟑 𝟑𝝅𝒓 𝑹= 𝟒 𝒓 𝟐 𝑹=𝟐𝒓