Demonstração de e iπ +1=0 Por Thiago de Oliveira Alves (ToWo) – Rio das Flores –

Introdução - Representação de uma função em série de potência Observe a expressão abaixo. Ela representa a expansão da função f(x) em uma série de potência. Cada termo é composto de um coeficiente a n e de uma potência da variável x. O problema inicial para representar uma função em série de potência é encontrar os valores dos coeficientes a 0, a 1, a 2,..., a n, etc. Para isso, procederemos assim.

Fazendo derivações sucessivas assim por diante. Fazendo x = 0 f(0) = a 0 f’(0) = a 1 f”(0) = 2a 2 f’’’(0) = 6a 3 f (4) (0) = 24a 4 f (n) (0) = n!a n, de forma geral.

Podemos então concluir que os coeficiente desejados são da forma Daí podemos escrever f(x) na forma conhecida como “série de Maclaurin” e utilizar este resultado para representar, em série de potências, as funções que utilizaremos na demonstração, que são sen x, cos x e e x.

Para f(x) = cos x, temos f(x) = cos x f’(x) = -sen x f’’(x) = -cos x f’’’(x) = sen x f (4) (x) = cos x f (5) (x) = -sen x f (6) (x) = -cos x assim por diante. fazendo x = 0 f(0) = 1 f’(0) = 0 f’’(0) = -1 f’’’(0) = 0 f (4) (0) = 1 f (5) (0) = 0 f (6) (0) = -1 etc.

E de acordo com a série de Maclaurin

Para f(x) = sen x, temos f(x) = sen x f’(x) = cos x f’’(x) = -sen x f’’’(x) = -cos x f (4) (x) = sen x f (5) (x) = cos x f (6) (x) = -sen x assim por diante. fazendo x = 0 f(0) = 0 f’(0) = 1 f’’(0) = 0 f’’’(0) = -1 f (4) (0) = 0 f (5) (0) = 1 f (6) (0) = 0 etc.

E de acordo com a série de Maclaurin

Para f(x) = e x, temos f(x) = e x f’(x) = e x f’’(x) = e x f’’’(x) = e x f (4) (x) = e x f (5) (x) = e x f (6) (x) = e x assim por diante. fazendo x = 0 f(0) = 1 f’(0) = 1 f’’(0) = 1 f’’’(0) = 1 f (4) (0) = 1 f (5) (0) = 1 f (6) (0) = 1 etc.

Mais uma vez pela série de Maclaurin

Agora, a demonstração. considere o número complexo z = x + iy, sendo x, y, números reais e i = √-1. para x = 0, z = iy. agora expandiremos e iy em série de potências. resolvendo os parêntesis, com as potências de i.

reduzindo os termos semelhantes. e como primeira conclusão, temos que, para o caso particular de y = π e finalmente como queríamos demonstrar

Bibliografia e Sites GRANVILLE, W. A.; SMITH, P. F.; LONGLEY, W. R.. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Tradução de J. ABDELHAY. Editora Científica – Rio de Janeiro - RJ, Críticas, correções e sugestões: