Amintas engenharia

Unidade 5 – Produto Escalar e Produto Vetorial

Geometria Analítica

Ementa 1. Vetores 4.Distâncias 2. Reta 5. Cônicas 3. Plano 6. Superfícies

Uma base é formada por vetores que são L.I. Sejam u e v, vetores. Se u = kv  u, v são L.D  u, v não formam uma base. Sejam u, v e w, vetores. Se u = av + bw u, v e w são L.D u, v e w não formam uma base. As bases usuais, que são chamadas de bases canônicas E= {(1, 0), (0, 1)} E={(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}

|u| = (a2 + b2) |v | = (a2 + b2 + c2) 1.9 Módulo de um Vetor Módulo de um vetorComprimento de um vetor Dados os vetores u = (a, b) e v = (a, b, c) denota-se por módulo de u e módulo de v: |u| = (a2 + b2) |v | = (a2 + b2 + c2) Usando o teorema de Pitágoras, temos: a b u |u| = (a2 + b2)

Determinar o ângulo  entre esses vetores. 1.10 Produto Escalar de Vetores Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é: Determinar o ângulo  entre esses vetores. vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é: u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2  v u Propriedades I) u.v = |u||v|cos  II) Se u.v = 0  uv

1.11 Projeção de um Vetor Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 com v1 // u e v2  u. v2 v1 v u  v2 v1 v u  O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por: v1 = projuv projuv = v.u .u u.u

Notação do produto vetorial: u x v. O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em um vetor. Notação do produto vetorial: u x v. Ex: Calcule u x v sendo que u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) i j k u x v = a1 b1 c1 a2 b2 c2

O vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v. Observações u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o sentido do vetor resultante. u x v = 0 se e somente se u // v (vetores L.D.). O vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v. u u x v v v x u (u x v).u = 0 e (u x v).v = 0

Se  é o ângulo entre os vetores u e v então: |u x v| = |u||v| sen  O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais ao |u| e |v|. |u| |v|  |v| sen

2. Retas As retas são funções matemáticas escritas da seguinte forma: f(x) = ax +b Ex: Seja A  r e o ângulo de r com o eixo x, para a determinação da equação da reta usa-se (I). Equação fundamental Equação Geral Equação vetorial Equação paramétrica

I) Equação fundamental da reta Sejam os pontos A(x0, y0) e P(x, y)  r. A equação fundamental da reta é dada por: r: y - y0 = m(x - x0) m = tg ,  é o ângulo entre r e o eixo x. tg  = y - y0 x - x0 y - y0 = m(x - x0) A P x0 x y y0  Obs: AP = P - A é chamado de vetor diretor da reta

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