Circuitos Elétricos II Aula 2: Transformada de Laplace (T.L.) - revisão Prof. Humberto Mendes Mazzini Departamento de Engenharia Elétrica

Objetivos: Saber calcular a transformada de Laplace de uma função usando sua definição, a tabela de transformadas de Laplace e/ou uma tabela de transformadas operacionais. - Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transformadas de Laplace. Entender e saber como usar o teorema do valor inicial e o teorema do valor final.

Transformada de Laplace Desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827)

T.L. - Introdução A T. L. de certa maneira generaliza a Transformada de Fourier, pois baseia-se na representação de sinais no domínio da frequência em função de “s”, que é um complexo s = σ + jω (em vez de apenas “jω” na Transformada de Fourier).

T.L. - Vantagens - As Transformadas de Laplace fornecem mais informação sobre aqueles sinais e sistemas que também podem ser analisados pela Transformada de Fourier, - podem ser aplicadas em contextos em que aTransformada de Fourier não pode, como por exemplo na análise de Sistemas instáveis.

Definição da T.L. Considere um sinal contínuo x(t) : x(t) ∈ C {conjunto dos números complexos} ou seja, o sinal x(t) pode ter valores complexos, i.e., valores com parte real e com parte imaginária. A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por: permite expressar o sinal x(t) como: a equação acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para x(t) em que x(t) para t<0 e é a definição de T.L. adotada aqui (maior aplicação em sistemas dinâmicos).

Exemplos (1) Determine a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:

Exemplos (2)

Exemplos (3)

Exemplos (4)

Exemplos (5)

Exemplos (6)

Exemplos (7)

Generalização

Propriedades da Transformada de Laplace (1) Linearidade: Se F1(s) e F2(s) são, respectivamente, as trasformadas de Laplace of f1(t) e f2(t), então:

Propriedades da Transformada de Laplace (2) Mudança de escala: Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:

Propriedades da Transformada de Laplace (3) Deslocamento no tempo: Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:

Propriedades da Transformada de Laplace (4) Deslocamento na frequência: se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:

Propriedades da Transformada de Laplace (5) Derivadas: Se F (s) for the Transformada de Laplace de f (t), então a Transformada de Laplace de sua derivada é:

Propriedades da Transformada de Laplace (6) Integrais: Se F (s) for a Transformada de Laplace de f (t), então a Transformada de Laplace de sua integral é:

Propriedades da Transformada de Laplace (7) Valores inicial e final

Valores inicial e final - exemplo

FIM