Formulação Variacional para vigas

Viga : o comprimento é bem maior que as dimensões da seção transversal. Interesse no estudo de vigas: reside em ações de movimento chamadas ações de flexão, ou seja, deslocamentos transversais na direção do eixo y associados a rotações das seções transversais em torno do eixo z.

Dois modelos: Euler-Bernoulli e Timoshenko. Diferença Euler-Bernoulli não considera a deformação de cisalhamento presente nas seções transversais, ao passo que o modelo de Timoshenko irá considerar tal deformação.

Eixos de referência para uma viga Definição da Cinemática Hipóteses: seções permanecem planas, indeformadas e ortogonais ao eixo longitudinal x da viga ( como em barra)

Em cada seção ocorrerá um deslocamento vertical v(x) e uma rotação em z, que só dependem da coordenada x. Devido a esse deslocamento, ocorrerá também um deslocamento axial u(x), não existindo um deslocamento na direção z. Δu = deslocamento na direção x Δv= deslocamento na direção y Estes deslocamentos estão expressos na figura.

Coloque um referencial no ponto escolhido P`=(0, y,0) P”= (-Δx, y-Δv, 0) Logo o deslocamento será dado por P”-P Δu = -Δx tgα = Δx/ y-Δv = -Δu/ y-Δv = -u(x)/ y-Δv no triângulo maior tgα = Δv/Δx no triangulo menor.

Logo, igualando as duas equações temos que: Δv/Δx = -u(x)/ y-Δv U(x)= -y (Δv/Δx) + (Δv*Δv/Δx) Mas Δv*Δv/Δx é desprezível para Δv pequeno. Aplicando-se o limite para Δx tendendo a zero teremos u(x) = -y (dv(x)/d(x))

Sendo assim, é possível definir o campo vetorial u(x), que descreve o deslocamento de uma viga. Portanto, a cinemática (V) para uma viga será definida como V={u I u1= -y*dv(x)/dx , u2 = v(x), u3=0}

Rotação para a viga sob a ação de um momento fletor positivo dv(x)/dx = θz(x) >0

Análise da Deformação Assim como ocorre em barras, existe uma deformação específica longitudinal, dada por εxx. No caso de barra, εxx=du(x)/dx Foi demonstrado que u(x)= -ydx(x)/dx Logo a deformação em vigas será dada por εxx.= - y*dv2(x)/dx2

Para a componente em y da deformação, temos um caso análogo ao da barra, onde o operador que relaciona a cinemática à deformação é a derivada de primeira ordem. εyy=dv(x)/dx Se toda a seção sofrer a mesma variação transversal v(x), εyy será 0, como se pode comprovar. Só existirá translação do corpo.

Movimento de corpos rígidos Já analisamos o caso de εyy para v(x) = cte. Vamos analisar agora para εXX. Sabemos que εxx= - y*dv2(x)/dx2 Para um corpo rígido a deformação longitudinal será 0 e portanto teremos que - y*dv2(x)/dx2 = 0 , o que implica em dv(x)/dx = cte.

θz(x) = dv(x)/dx = cte . Todo o corpo sofre a mesma rotação em z. O subconjunto dos movimentos rígidos pode ser definido como :

Potência Interna Devemos lembrar que a potência interna relaciona os esforços internos (estado de tensão) com as deformações. Como desconsidera-se a tensão de cisalhamento, a única componente de deformação será εXX. Sendo assim, a Potência Interna será dada por:

Lembre-se que o sinal negativo é uma mera convenção. Substituindo a deformação εXX, teremos: E abrindo a integral de volume em termos do comprimento e da área.

Denominaremos a integral entre parênteses de momento fletor Mz Essa integral pode ser escrita como

A Potência Interna em termos de momento ficaria sendo: Integra-se duas vezes por partes:

Observe que Lembrando que θz(x) = dv(x)/dx , temos: Expandido temos que

Aplicação do PPV Sabemos que para o equilíbrio, Pi = Pe. Logo: Logo, deverá haver o seguinte correlação

Caracterização dos Esforços Externos Observando a expressão final para potência interna, observamos que deve existir uma densidade de força distribuída, além de forças cortantes e momentos fletores em ambas as extremidades, para que o corpo permaneça em equilíbrio. Vo, VL Forças Cortantes nas extremidades Mo, ML Momentos Fletores nas extremidades q(x)  carregamento transversal distribuído

Substituindo esses esforços na equação do PPV e rearranjando teremos: O que implica em:

Exercício Prático 1 : Determinar as equações de força cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

Exercício Prático 2 : Determinar as equações de força cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

Sabemos que σxx = E εxx e que substituindo a deformação teremos Aplicação da Equação Construtiva Sabemos que σxx = E εxx e que substituindo a deformação teremos Sendo o momento fletor dado por

Pode-se fazer a substituição e se obter A integral representa o momento de inércia de área. Sendo assim, teremos que

Substituindo essa equação na equação básica para viga obtida por formulação variacional, teremos que: 1a Integral Força Cortante 2a Integral Momento Fletor 3a Integral Rotação em relação a z 4a Integral Flecha da viga

As restrições cinemáticas ( espaço Kinv )

Relação extremamente importantes

Convenções de Sinais para Forças e Momentos.

A linha que passa pelo centróide da viga e determina um estado nulo de tensão é chamada de linha neutra.

Dimensionamento de Viga Determinar dimensões para que a viga permaneça na fase elástica. Determinar os diagramas pela equação diferencial. Determinar Mzmax pelo diagrama e a coordenada ymax Aplicar a expressão

Wz = Módulo de resistência a flexão Wz = Iz/ymax Dimensionamento calcula-se Iz e depois determina-se a seção. Retângulo Iz = (b*h3)/12 Seção Circular = (π *d3/64) Perfil I : Calcular o momento de Inércia Verificação da viga 

Exercício Prático 1: Determinar as equações de força cortante, momento, rotação e flecha para a viga da figura abaixo. Q0 =100N/m 200N/m L , Iz 100N

Exercício Prático 2: Determinar a) equações de força cortante, momento, rotação e flecha b) reações de apoio c)dimensão mínima B para que os requisitos de tensão e flecha sejam respeitados. σ= 200N/mm2 E=2x106N/mm2, q0 = 10.000 N/m, L= 5m, vmax= L/1000 , viga com formato Bx3B. Redimensione para uma seção circular.

Exercício Prático 3: Considerações sobre vigas com ou sem rótulas Exercício Prático 3: Considerações sobre vigas com ou sem rótulas. Viga bi-engastada com carregamento distribuído qo. A primeira viga não possui rótula e a segunda possui na distancia L/2. (Olhar 6.4 na apostila)