Teorema Fundamental da Trigonometria

Apresentação em tema: "Teorema Fundamental da Trigonometria"— Transcrição da apresentação:

1 Teorema Fundamental da Trigonometria

2 Demonstração ... cos sen 1 -1 sen θ θ )θ cos θ

3 Continuação... sen 1 1 sen θ )θ -1 cos cos θ -1

4 Continuação... )θ 1 sen θ cos θ
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos : C M P Q D

5 Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
)θ Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa

6 Continuação ... Seno de θ Cosseno de θ Tangente de θ Cossecante de θ
Cotangente de θ Secante de θ Cossecante de θ Tangente de θ Cosseno de θ Seno de θ Relação no Triângulo Retângulo Ente Trigonométrico

7 Na Circunferência Trigonométrica
sen tg tg θ sen θ )θ cos cos θ

8 Continuação ... cossec θ cotg cotg θ )θ secante θ

9 Arcos Notáveis sen tg cos 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60°
tg 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60° 135° 225° 315° 45° 30° 150° 210° 330°

10 Tabela de Entes Trigonométricos ...

11 Vamos pensar . . .

12 Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?
Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

13 2) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o cos a vale:
a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

14 3) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a tg a vale:
a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

15 4) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a cotg a vale:
a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

16 5) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que tg a .cotg a vale:
a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1

17 sen2 q + cos2 q = 1 portanto, 6) Se a = 3b, podemos dizer então, que
sen2 a + cos2 a vale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2 q + cos2 q = 1 portanto,

18 7) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que sec2a - 1 vale:
a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

19 8) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que cossec2a - 1 vale:
a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

20 9) Se sen a = b/c, então, calculando o valor de
chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1

21 Voltando a parte teórica

22 Seja um triângulo ABC qualquer
Lei dos Senos Seja um triângulo ABC qualquer ) ( A B C a c b temos :

23 Seja um triângulo ABC qualquer
Lei dos Cossenos Seja um triângulo ABC qualquer ) ( A B C a c b temos :

24 Continuação ... Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos : Sabe-se que cos 90° = 0, logo ... Temos, portanto ... Teorema de Pitágoras

25 Gráficos das funções trigonométricas
y x sen x 1 -1 • 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90°

26 Continuação ... • y cos x 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180°
-180° -90° 90°

27 Continuação ... y x tg x • 0° 360° -90° 90° 180° 270° 450° 540° 630°

28 Continuação ... • • • • • • • • • • • y cossec x 1 x -1 0° 540° 720°
450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° • 90° • • • • • • • •

29 Continuação ... • y sec x 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180°
-180° -90° 90°

30 Continuação ... y x cotg x 0° 360° 90° 180° 270° 450° 540° 630° 720° •

31 TRIGONOMETRIA APLICADA
• Modelo matemático que indica ao número de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana, “t” dias após 1º de janeiro. Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34

32 Continuação ... •Função de Fresnel, assim chamada em homenagem ao físico francês Augustin Fresnel ( ), famoso por seus trabalhos em ótica. Esta função foi primeiramente apresentada num trabalho sobre difração de ondas de luz de Fresnel, porém recentemente foi aplicado no planejamento de auto-estradas. Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 394

33 Continuação ... • Integração por Substituição trigonométrica
Demonstrando o Caso I ... C M P Q D

34 Trigonometria Algumas Aplicações

35 O exemplo clássico da Sombra
Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles: uma distância um ângulo Observe a seguir . . .

36 Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que:
temos que: portanto:

37 A inclinação de uma rampa
Exemplo 1 A inclinação de uma rampa

38 Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

39 Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação. Observemos: Comprimento total da rampa 6 metros 16,4 metros 2 metros q solo

40 Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
Temos em relação ao ângulo q: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a.

41 Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q
c.a. Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

42 Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen q = 0, , logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0, e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7, , que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!

43 Chegamos a conclusão que o comprimento total da rampa é 49,2 metros
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que q é válido para ambos 16,4 metros hip c.o. 6 metros q 2 metros c.a. q = 7° Como: Chegamos a conclusão que o comprimento total da rampa é 49,2 metros

44 Exemplo 2 Mecânica Geral ou Trigonometria?

45 Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos. Observemos os exemplos a seguir: Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

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52 Desafio !

53 Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )

54 Solução: Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

55 Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como

56 Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe: v = 0,2 m/s 17 metros para subir a árvore 17 metros para descer da árvore 30 metros De A até C ele percorreu = 64 metros

57 Obrigado pela participação de todos!!!
Infelizmente, terminou . . . Prof. Edson Arnaldo Mendes Prof. Paulo Alves Rodrigues