Distribuição da Proporção Amostral

Apresentação em tema: "Distribuição da Proporção Amostral"— Transcrição da apresentação:

1 Distribuição da Proporção Amostral

2 Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido às flutuações casuais na amostragem (Variabilidade Amostral).

3 Distribuição Amostral da Proporção
p - prop. populacional p - prop. amostral População Amostra Plano de amostragem p p

4 Exemplo A população de um estudo é composta de 4 pessoas (N=4) e a variável de interesse é a proporção de pessoas altas (altura > 1,75m). N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m

5 Parâmetro N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m
Proporção populacional: 1/4 = 0,25

6 Exemplo Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), com reposição. Qual será a proporção amostral? Qual é a distribuição de probabilidades da proporção amostral?

7 Exemplo Amostra X 1 2 3 4

8 Exemplo Amostra X 1 2 3 4 p 0,5 1

9 Exemplo Amostra X 1 2 3 4 Total p 0,5 1 - Prob. 1/16 1

10 Distribuição Amostral da Proporção (com reposição)
9/16 6/16 1/16 1 P(p) p 0,5 Total

11 ( ) ( ) ( ) 9/16 6/16 1/16 1 P(p) p 0,5 Total P(X=0) = P(p=0)= 2
0,5 Total Binomial (n=2 , p=1/4) proporção = número de pessoas altas tamanho da amostra P(X=0) = P(p=0)= ( ) 2 (1/4)0.(3/4)(2-0) = 9/16 P(X=1)=P(p=0,5)= ( ) 2 1 (1/4)1.(3/4)(2-1) = 6/16 P(X=2) = P(p=1)= ( ) 2 (1/4)2.(3/4)(2-2) = 1/16

12 Distribuição Amostral da Proporção (com reposição)
Valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da proporção.  p = E(p) = 0,25  p = raiz(0,09375) = 0,30619

13 Exercício Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), sem reposição. Qual é a distribuição de probabilidades da proporção amostral?

14 Exercício Amostra X 1 2 3 4 p 0,5 Amostra X 3 1 2 4 p 0,5 1

15 Exercício valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da proporção. 0,5 1 P(p) p Total p = E(p) = 0,25 p = raiz(0,0625) = 0,25

16 9/16 6/16 1/16 1 P(p) p 0,5 Total 0,5 1 P(p) p Total p = E(p) = 0,25
0,5 Total 0,5 1 P(p) p Total p = E(p) = 0,25 p = raiz(0,09375) = 0,30619 p = E(p) = 0,25 p = raiz(0,0625) = 0,25

17 Distribuição Amostral da Proporção Características
população infinita ou muito grande ou amostra com reposição  = p n p.(1-p)  = p N - 1 N - n n p.(1-p) população finita

18 Distribuição Amostral da Proporção Características
c) A distribuição das proporções amostrais é binomial no caso de população infinita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal. d) A distribuição das proporções amostrais é hipergeométrica no caso de população finita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal.

19 O histograma representa uma v.a. X com distribuição binomial
com n = 12 e p = 0,5 A curva normal segue uma v.a. Y com média μ = 12 × 0,5 = 6 e variância σ2 = 12 × 0,5 × 0,5 = 3.

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23 Pr(X = k) Pr(X ≤ k) Pr(X < k) Pr(X ≥ k) Pr(X > k).
(a) (b) (c) (d) (e) Pr(X = k) Pr(X ≤ k) Pr(X < k) Pr(X ≥ k) Pr(X > k). Pr (Y< k-0,5)

24 n.p=100.0,1=10 n.p.(1-p)=100.0,1.0,8=9

25 Solução alternativa usando proporção
𝑧= 0,125−0, ,1.0, =0,83  = p n p.(1-p)

26 2. Em uma sondagem, perguntou-se a 1
2. Em uma sondagem, perguntou-se a membros de determinado sindicato se eles haviam votado na última eleição para a direção do sindicato e 701 responderam afirmativamente. Os registros oficiais obtidos depois da eleição mostram que 61% dos membros aptos a votar de fato votaram. Calcule a probabilidade de que, dentre membros selecionados aleatoriamente, no mínimo 701 tenham votado, considerando que a verdadeira taxa de votantes seja de 61%. O que o resultado sugere? n.p=1002.0,61 n.p.(1-p)=1002.0,61.0,39

27 Exercício p=20/100 N Um lote com 100 peças apresenta 20 com defeitos. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples com 20 elementos apresentar menos que 40% de pecas defeituosas? p n

28  =  = Exercício p.(1-p) N - n p N - 1 n p Usar o fator de correção
 = p N - 1 N - n n p.(1-p)  = p 99 80 20 0,2.0,8 = 0,080403

29 Exercício P(p<0,4) P 0,2 0,4

30 Exercício Z 0,4 = = 2,49 0,4 - 0,2 0,080403 0,993613 Z 2,49

31 Exercício (para casa) Um banco informa que apenas 10% dos 5000 clientes possuem saldo médio acima de $500. Se uma amostra aleatória de 100 correntistas daquele banco for retirada, qual é a probabilidade de haver mais de 15 clientes na amostra com saldo acima de $500? População finita : Resp = 0,046479 População infinita: Resp = 0,047460