TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Transformações Trigonométricas.

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2 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Transformações Trigonométricas

3 QIII α = 210° ? Redução ao 1º Q. Redução ao 1º Q.0° 90° 180° 270° 360° QUANTO FALTA? FALTA? QUANTO PASSA? PASSA? QUANTO FALTA? FALTA? sen 210°= - sen 30°= - 1/2 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

4 Redução ao 1° quadrante Reduzir ao primeiro quadrante significa encontrar os valores simétricos aos ângulos dos demais quadrantes. Quando dizemos que cos225° = - cos45°, estamos dizendo que ambos tem o mesmo valor porque são simétricos, mas com sinais diferentes porque estão em quadrantes opostos. Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

5 Redução ao 1º quadrante Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

6 Exercícios Calcule: a) sen 210° a) cos 225° b) tg 4π/3 c) sen 300° d) cos 315° e) tg 765° = tg (45° + 2*360°) = tg 45° = 1 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

7 Exercícios Calcule: a) sen 19π/4 a) cos 1980° a) tg 19π/2 = sen (855°) = sen (135° + 2∙360°) = sen 135° = sen 45° = √2/2 = cos (180° + 5 ∙ 360°) = cos 180° = - 1 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

8 Sen 105° ? Cos 15°? 105° = 60° + 45° Sen (60° + 45°) = ? 15° = 45° - 30° Cos (45° - 30°) = ?

9 cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° + cos 30° ? Cos 30° Cos 45° Cos 75° 0,26 0,71 0,9

10 sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a Transformações trigonométricas (válidas também para arcos duplos) “” “ senta a, coça b. senta b, coça a. ” “” “ coça a, coça b. senta a, senta b ao contrário. ” cos (a ± b) = cos a · cos b sen b · sen a ± tg (a ± b) = tg a ± tg b 1 tg a · tg b ± “ ” “ Tem gente que ama, tem gente que beija. Humm... Tem gente que ama e beija em baixo, ao contrário. ” Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

11 AB C D E F  β sen (+β) = DFAD= DE + EF AD=DEAD+BCAD

12  Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β sen (+β) = DFAD= DE + EF AD=DEAD+BCAD 90° -  

13  Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β sen (+β) = DFAD= DE + EF AD=DEAD+BCAD cos  = DEDC => DE = DC · sen  = DC · cos  AD sen  = BCAC => BC = AC · sen  + AC · sen  AD

14  Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β sen (+β) = DFAD= DE + EF AD=DEAD+BCAD = DC · cos  AD+ AC · sen  AD = cos β · sen  +

15  Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β sen (+β) = DFAD= DE + EF AD=DEAD+BCAD = DC · cos  AD+ AC · sen  AD = cos β · sen  + sen β · sen  sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a

16 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β cos (+β) = AFAD= AB + BF AD=ABAD+CEAD

17 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β cos (+β) = AFAD= AB + BF AD=ABAD+CEAD cos  = ABAC => AB = AC · cos  = AC · cos  AD sen  = CEDC => CE = DC · sen  + DC · sen  AD

18 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β cos (+β) = AFAD= AB + BF AD=ABAD+CEAD= AC · cos  AD + DC · sen  AD = cos β · cos 

19 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com AB C D E F  β cos (+β) = AFAD= AB + BF AD=ABAD+CEAD= AC · cos  AD + DC · sen  AD = cos β · cos  + sen β · sen  cos (a ± b) = cos a · cos b sen b · sen a ±

20 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com tg (+β) = sen (+β) cos (+β) = sen  cos β + sen β cos  cos  cos β – sen  sen β Dividir numerador e denominador por: cos  cos β = sen  cos β + sen β cos  cos  cos β cos  cos β – sen  sen β cos  cos β = sen  cos β + sen β cos  cos  cos β cos  cos β cos  cos β – sen  sen β cos  cos β cos  cos β sen  + sen β cos  cos β 1 – sen  · sen β cos  cos β cos  cos β = = tg a ± tg b 1 tg a · tg b ±

21 Determine: a) sen 105° b) sen 15° c) cos 105° d) cos 15° e) tg 75° f) tg 15° Exercícios Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

22 Exercícios

23 Exercícios

24 REFERÊNCIAS IEZZI, Gelson; [et al.]. Matemática: ciência e aplicações, 2: ensino médio. São Paulo: Saraiva, 2010. SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria. Matemática: ensino médio, 2. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa: ensino médio, vol. único. São Paulo: FTD, 2002.