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1 MATEMÁTICA Prof. Leonardo

2 CICLO TRIGONOMÉTRICO 1. Arcos e ângulos Considerando uma circunferência de centro O e raio R e dois pontos distintos A e B, os quais a dividem em duas partes. A B O X Os pontos A e B são as extremidades do arco AXB. O ângulo AOB é chamado de ângulo central, pois o seu vértice está no centro da circunferência. Temos que: med (AOB) = med (AXB)

3 2. Medidas de arcos e ângulos Para se medir arcos e ângulos usaremos as unidades grau e radiano. I.Grau: Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada um desses arcos mede 1º. II.Radiano: Um arco mede 1 radiano(rad) se o seu comprimento for igual ao raio da circunferência.

4 3. Comprimento de um arco Dado um arco de comprimento L cujo o ângulo central correspondente, EM RADIANOS, mede α, inscrito numa circunferência de raio R, temos que:

5 Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa usamos a relação:

6 Exemplos: 1.Transformar em radianos: a) 120º b) 315º

7 2. Transformar em graus:

8 3. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista?

9 4. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que o seu comprimento é 31,4 m.

10 5. Determine o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 45º numa circunferência de raio 60 cm.

11 6. Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?

12 3. As funções Seno, cosseno e Tangente no Ciclo trigonométrico É uma circunferência orientada de raio unitário (R = 1 u.c.) na qual se tem como sentido positivo o anti-horário e se escolhe um ponto A qualquer com origem dos arcos. Este ciclo será centrado no plano cartesiano de modo que o eixo das abcissas passe pelo ponto A. O ponto A terá como coordenadas o ponto(1, 0). Esses eixos vão dividir o ciclo em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. A(1,0) + _ B(0,1) A’(- 1,0) B’(0,- 1) 0 R = 1

13 Como o ciclo é dividido em 4 partes iguais, então cada parte vale 90º ou 1º Q 2º Q 3º Q4º Q 0º0º 90º 180º 270º 360º

14 4. Arcos côngruos Dois arcos são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma extremidade no ciclo trigonométrico. Por exemplo: 1. Considerando os arcos de 30º, 390º, 750º, - 330º, - 690º. Todos eles tem a mesma origem e a mesma extremidade. Portanto, eles são côngruos. Eles diferem entre si de um número inteiro de voltas completas, pois 30º + 360º = 390º, 30º º = 750º, 30º - 360º = - 330º 30º º = - 690º Então podemos representar o arco de 30º e todos os seus arcos côngruos pela expressão

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16 5. Determinação do quadrante. Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se encontram.

17 Exercícios: 1. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos abaixo:

18 2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:

19 3. Dados os arcos AB e AC, que medem respectivamente, 60º e 130º, dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de origem A cujas extremidades são os pontos médios dos arcos AB e AC.

20 4. Quais são os arcos positivos menores que 1500º e côngruos a 150º ?

21 FIM !!!


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