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2º trimestre Caroline de Souza Tidra Informática, manhã Professora: Aline de Bona IFRS Campus Osório Agosto de 2011.

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1 2º trimestre Caroline de Souza Tidra Informática, manhã Professora: Aline de Bona IFRS Campus Osório Agosto de 2011

2 Sumário Introdução Conteúdos do trimestre Desenvolvimento de todos conteúdos Exercício favorito Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau Correção da Prova Pbworks Sujestão Curiosidade Poesia Matemática Auto-Avaliação Turma Conclusão Mensagem final

3 Introdução No portfólio deste trimestre estarei apresentando um pouco de cada conteúdo aprendido. Ao passar dos slides você verá exemplos, atividades, prova e definições que foram feitos em aula ou em horários extra com a professora Aline de Bona.

4 Conteúdos do trimestre O que são funções polinomiais? Função Polinomial de 1º grau Função Afim Função Linear Função Identidade Função Constante Determinação à partir do gráfico Função de 1º grau crescente ou decrescente Zeros da função Estudo do sinal da função de 1° grau Função Polinomial de 2º grau Concavidade da parábola Zeros de uma função quadrática Vértice da parábola Conjunto imagem da função quadrática Valor mínimo e valor máximo da função quadrática Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Estudo do sinal da função quadrática

5 Desenvolvimento O que é funções polinomiais? Função polinomial, é uma função com mais ou no mínimo um termo onde cada termo tem uma variável independente com o grau zero ou maior que um. Sendo o grau o expoente da variável, e o grau da função polinomial é maior grau dos termos e este define a representação gráfica. Ex: y = x³ + 1 – Grau da função = 3, pois é o expoente y = 2x + 4 – Grau da função = 1 P.S: Definição feita em sala de aula com a turma toda!

6 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Função polinomial do 1º grau tem a sua forma f(x) = ax +b a b com a e b, sendo números reais e a 0 (caso a = 0 tem-se f(x) = b, que representa a função constante). Os números Representados por a e b são chamados coeficientes, enquanto x é a variável independente. Então, são função polinomiais do 1º grau: Exemplo FunçãoCoeficientes f(x) = 2x + 20a = 2 e b = 20 f(x) = 10xa = 10 e b = 0 f(x) = -3x + 4a = -3 e b = 4

7 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Exemplo: Uma fábrica de bolsas tem o custo fixo mensal de R$ 5 000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela deverá fabricar e vender mensalmente x bolsas. a) Qual o valor de x? x = 450 unidades vendidas para ter 4 mil de lucro mensal. b) Qual o valor do x para ocorrer prejuízo no mês? Se vender 249 unidades ou menos já terá prejuízo. x = quantidade de bolsas custo fixo mensal = 5 mil custo unitário = 25 reais preço unitário = 45 reais lucro mensal = 4 mil x = ? l(x) = 45.x – 25x – 500 l(x) = 20x – = 20x 9000 = 20x 9000/20 = x x = = 20x – /20 x = 250

8 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Função Afim Função Afim No caso de a 0 e b 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de Afim. Exemplos: f(x) = x + 8 (a = 1 e b = 8)f(x) = ½x – 4 (a = ½ e b = -4) Chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais, tais que f(x)= ax + b para todo x R. Na função afim, nota-se: - O gráfico da função afim é f(x) = ax + b é uma reta. - D = R e Im = R. - Sendo o gráfico da função uma reta, basta considerarmos dois pontos (x, y) do plano cartesiano para construirmos o gráfico.

9 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Função Linear Função Linear No caso de b = 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de linear. Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 2x: Podemos observar o gráfico da função linear f(x) = ax é uma reta que contém a origem (0, 0) do sistema cartesiano. Para construir esse gráfico basta determinar apenas mais um ponto (x, y) do plano cartesiano e fazer a reta. x2x = y

10 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Função Identidade Função Identidade No caso de a = 1 e b = 0, a função polinomial do 1° grau recebe o nome de função identidade. Se construirmos, um gráfico da função f(x) = x: Podemos observar que: - D = R e Im = R - O gráfico identidade é uma reta que divide o 1° e o 3º quadrante. xx = y

11 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Função Constante Função Constante No caso a = 0 e b R, a função é expressa por f(x) = b e recebe o nome de função constante. Exemplo: f(x) = 3 Se construirmos, um gráfico da função f(x) = 3: D = R Im = {3} O gráfico da função f(x) = b é sempre uma reta paralela ao eixo x. Se: b > 0 a reta fica acima do eixo x. b = 0 a reta fica sobre o eixo x. b < a reta fica abaixo do eixo x.

12 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Função Constante Função Constante Exemplo: O gráfico mostra a relação entre o espaço S percorrido e o tempo t gasto um motorista em uma viagem. No eixo horizontal está representado o tempo (t), em horas, gasto no percurso e no eixo vertical a distância (S) percorrida, em quilômetros. Observando o gráfico, você poderia dizer que esse motorista ficou parado em algum momento da viagem? Caso a resposta seja afirmativa, quantas horas esse motorista permaneceu parado? Sim, o motorista ficou parado entre 2 e 5 horas, ou seja, permaneceu no mesmo lugar por 3 horas.

13 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Determinação à partir do gráfico Determinação à partir do gráfico Resolver a função f(x) = ax + b cujo gráfico seguinte: y = 1 1 = a + b y = 7 7 = 3a + b Sistema -a –b = -1 3a +b = 7 2a = 6 a = 3 a + b = 1 3a + b = 7 { para determinar a e b: Logo: a função procurada é f(x) = 3x - 2 a + b = b = 1 b = 1 – 3 b = -2

14 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Função de 1º grau crescente ou decrescente Função de 1º grau crescente ou decrescente Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos: f(2) = 3 f(4) = 7 Considerando dois valores do domínio D (2 e 4), temos: f(2) = -7 f(4) = -13 Quando os valores de x aumentam e os de y também a função é crescente. Quando os valores de x aumentam e os de y diminuem a função é decrescente, ou x diminui e y aumenta também é decrescente. Regra para qualquer função: x1>x2 e y1>y2 função crescente x1>x2 e y1f(4) a função é decrescente

15 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Zeros da função Zeros da função Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é, f(x) = 0. Exemplo: Calcular o zero da função f(x) = -3x + 5 f(x) = -3x + 5 = 0 -3x = -5 3x = 5 x = 5/3 Logo: zero da função dada é x = 5/3

16 Desenvolvimento Função Polinomial de 1º grau Estudo do sinal da função de 1° grau Estudo do sinal da função de 1° grau Lista 01/08: O estudo do sinal de uma função y = (f) significa determinar para que os valores x do domínio da função a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula. Em outras palavras, estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temo f(x)>0, f(x)<0 ou f(x) = 0. Ou seja, estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva.

17 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Função Polinomial do 2º grau Função Polinomial do 2º grau Função Polinomial do 2º grau pode também ser chamada de função quadrática. A função é dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0. O gráfico de uma função do 2º grau é uma curava aberta chamada parábola, pois toda que contém o x² o gráfico é em forma de parábola.

18 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Concavidade da parábola Concavidade da parábola Concavidade de uma parábola é a abertura para cima ou para baixo. Exemplos: f(x) = x² - 2x – 3, temos a = 1>0 f(x) = 2x², temos a = 2>0 Em ambos, a parábola tem concavidade para cima. f(x) = -x² + 2x – 3, temos a = -1<0 f(x) = -2x² + 1x -4, temos a = =2<0 Em ambos, a parábola tem a concavidade para baixo.

19 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Zeros de uma função quadrática Zeros de uma função quadrática Zeros ou raízes da função é os valores de x que anulam a função, ou seja, que à torna f(x) = 0. dois zeros desiguais a) Se >0 a função y = ax² + bx + c tem dois zeros desiguais (x 1 e x 2 ). zero real duplo b) Se = 0 a função y = ax² + bx + c tem um zero real duplo (x 1 = x 2 ). não tem zero real c) Se <0 a função y = ax² + bx + c não tem zero real. d) A soma das raízes é dada por: x ¹ + x ² = -b/a e) O produto das raízes é dada por: x ¹. x²= c/a Exemplo: 1) Determine a equação x² - 4x – 5 = 0 = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(-5) = 36>0 (a função tem dois zeros reais diferentes) x = -b ± = -(-4) ± 36 = 4 ± 6 2a 2.(1) Logo: os zeros da função y = x² + 4x – 5 são x¹ = 5 e x² = -1. { x¹ = 5 x² = -1

20 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Zeros de uma função quadrática Zeros de uma função quadrática 2) A função f(x) = x² -2x + 3k tem dois zeros iguais. Nestas condições, determine os valores reais de k. A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que = 0. = b² - 4ac = (-2)² - 4.(1).(30k) = 4 – 12k 4 – 12k = 0 -12k = -4 12k = 4 k = 4/12 k =1/3 Logo: k = 1/3

21 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Vértice da parábola Vértice da parábola O vértice da parábola de uma função é o ponto máximo quando a parábola está para baixo e é o ponto mínimo quando a parábola está para baixo. A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são (abscissa) e (ordenada). Fórmula para calcular o vértice

22 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Conjunto imagem da função quadrática Conjunto imagem da função quadrática Para obter o conjunto imagem de uma função quadrática podemos aplicar as coordenadas do vértice. Exemplo: Determinar o conjunto imagem da função f(x) = x² - 3x +2. f(x) = x2 – 3x + 2 = 1 > 0 = 3/2 = - ¼ a = 1 > 0 Logo: Im = {y R | y -¼}

23 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Valor mínimo e valor máximo da função quadrática Valor mínimo e valor máximo da função quadrática Exemplo: Exemplo: Determinar o valor de k de modo que a função f(x) = -x² - 2x + k tenha 2 como valor máximo. Yv = 2 f(x) = -x² - 2x – k Yv = 2 = -((-2)² - 4.(-1).k) 4.(-1) 2 = -(4 + 4k) 4 -8 = -4 -4k = -4k -4 = -4k k = -4/-4 k = 1 Obs: Em uma parábola a concavidade é para cima ou para baixo, onde no ponto máximo ou mínimo vértice. está localizado o vértice.

24 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente. Concavidade voltada para cima: Decrescente do –infinito (-) ao vértice Crescente do vértice ao infinito () Concavidade voltada para baixo: Crescente do –infinito (-) ao vértice Decrescente do vértice ao infinito ()

25 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Crescimento e decrescimento de uma função quadrática Exemplo: Para que valores da função f(x) = x² - 2x – 3 é: a) crescente? b) decrescente? f(x) = x² - 2x – 3 a = 1>0 (valor mínimo) = = 16>0 (zeros desiguais) X v = -b = 2 = 1 2a 2 Y v = - = - 16 = -4 4a 4 Logo: a) f(x) é crescente para x 1 b) f(x) decrescente para x 1 vértice decrescente crescente V (1, -4)

26 Desenvolvimento Função Polinomial do 2º grau Estudo do sinal da função quadrática Estudo do sinal da função quadrática Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio quadrático. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o gráfico da função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O exemplo seguinte nos mostra tais possibilidades. As raízes da função polinomial y = x² - 3x - 4 são x = -1 e x = 4

27 Exercício favorito *-* Observe o gráfico e responda as perguntas abaixo: a) Determine os intervalos em que a função é: - crescente: [-2, 1] e [2, 3] - decrescente: [3, 4] b) O que ocorre com a função no intervalo [1, 2]? No intervalo [1, 2] fica em repouso.

28 Diferenças entre funções de 1° grau e 2° grau Para identificar o tipo de função que é tratado em provas ou trabalhos, destacam-se duas característica predominantes: 1ª) Fórmulas: Função de 1º grau f(x) = ax + b Função de 2º grau f(x) = ax² + bx + c 2º Gráficos Função de 1º grau sempre é uma reta. Função de 2º grau sempre é uma parábola, pois o a é elevado ao quadrado. (ax²) Parábola Reta FP de 2º grau FP de 1º grau Obs: Obs: Tive uma pequena dificuldade em perceber as diferenças entre as funções, e isso foi a causa de vários erros. Então coloquei no Portfólio as diferenças, para aprender mais e lembrar!

29 Correção da Prova 2 1) f(0) = 6 c f(1) = 2 f(-2) = 20 f(x) = ax² + bx + c a. 1² + b = 2 a + b = -4. (2) a. (-2)² + b. (-2) + 6 = 20 4a - 2b = 14 2a + 2b = -8 a + b = -4 4a - 2b = b = -4 6a = 6 b = -5 f(x) = x² - 5x + 6 a x² - 5x + 6 = 0 Bhaskara {2, 3} b V (-b/2a, -Δ/4a) Bhaskara = ((-5)²/2*1, -((-5)² - 4*1*6)/4*1) c a =1 parábola U d Im [-1/4, +) e É crescente do [2,5 +) f Obs: Foi difícil desenhar esse gráfico no paint! Não aprendi a usar o Graphmatica!

30 Correção da Prova 2 2) h(t) = 5t (8 - t) = 40t - 5t² = -5t² + 40t Bhaskara: a = -5, b = 40, c = 0 a h(3) = -5. 3² = = 75 m b 60 = -5t² + 40t 5t² - 40t - 60 = 0 (Bhaskara : t 1 = 2 segundos, t 2 = 6 segundos) c ( -40/2*(-5), -(40² - 4*(-5)*0)/4*(-5) ) V = 4,80 A máx = 80m no t = 4 seg. 3) f(x) = x² - 3x + k a = 1, b = -3, c = k a Δ > 0 9/4>k b Δ = 0 c Δ < 0 9/4 > 4k - 9/4 > k 9 - 4k = 0 9 = 4k 4) Y v = 4 -Δ = -(b² - 4ac) = 4 4ª 4a -((-4)² - 4*(-1)*k) = 4 4. (-1) 4 + k = 4 k = 0

31 Correção da Prova 2 5) P = 2b + 2h = 120 cm A = b * h h = ( b)/2 h = 60 - b A = bx (60 - b) A = 60b - b² Y v = -Δ = -(60² - 4*(-1)*0) 4a 4*(-1) A = 900 cm -4 6) V (3, -4) f(2) = 0 (x 1 + x 2 )/2 = 3 (2 + x 2 ) = x 2 = 6 x 2 = x 2 = 4 a f(x) > 0 : [-, 2) V (4, + ) b f(x) = 0 : {2, 4} c f(x) < 0 : (2, 4) 7) O resumo fiz na prova, não escreverei aqui, já que o portfólio em si mesmo responde essa questão : ) b b hh

32 Pbworks: carolsouza.pbworks.com Mantenho meu Pbworks organizado e possivelmente atualizado. Nesse trimestre pelo o acúmulo de trabalhos, provas e tarefas à fazer, não postei duas das listas dadas, mas postarei logo, mesmo que atrasadas :)

33 Sugestão Depois de dadas as listas de exercícios temos prazo para postá-las no Pbworks. Depois de postadas as listas não sabemos se está certo o modo de desenvolvimento da função, pois ás vezes a função já vem com o resultado. Minha sugestão é que as listas fossem corrigidas uma à uma, depois de algumas semanas da postagem, nos estudos orientados para não ficar dúvidas sobre as questões feitas e temos certeza se está certa ou errada.

34 Curiosidade Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos? Carl Friedrich Gauss ( ) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática". Vejam abaixo a resolução proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade): 101, 101, 101,..., 101, 101, x Portanto = (100x101)/2= 5050! Achei bem legal essa curiosidade e então decidi postar aqui no portfólio!

35 Poesia Matemática Às folhas tantas do livro matemático, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides. Fez de sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito. "Quem és tu?", indagou ele em ânsia radical. "Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa. "E de falarem descobriram que eram (o que em aritmética corresponde a almas irmãs)primos entre si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas sinoidaisnos jardins da quarta dimensão. Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana e os exegetas do Universo Finito. Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz.

36 Poesia Matemática E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos. E foram felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum freqüentador de círculos concêntricos,viciosos. Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo,uma unidade. Era o triângulo, tanto chamado amoroso. Desse problema ela era uma fração, a mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade como aliás em qualquer sociedade. Poesia Matemática de Millôr Fernandes

37 Auto-Avaliação Nesse trimestre meu rendimento escolar matemático não foi dos melhores. Tive e ainda tenho muitas dificuldades, e dúvidas na aprendizagem das funções polinomiais, tanto de 1º grau como a de 2º grau. Tenho indo nos estudos orientados de matemática para assim aprender mais, e isso já me ajuda bastante. Gostaria de novamente alcançar a média 7, pois, reconheço que não me esforcei o suficiente para alcançar mais. Mas, isso já está mudando, depois que levei um susto ao ver minha nota. Pretendo tomar meus horários vagos à me dedicar em cumprir todas as tarefas à fazer, principalmente as de matemática. Trimestre que vem vou apresentar o artigo científico, já tenho bastantes idéias e já comecei a ler o artigo sobre a energia. Me dedicarei mais e vou estar presente em todas as aulas extras de matemática. Sei que preciso melhorar e tenho absoluta certeza que vou me esforçar para isso.

38 Turma, Informática- manhã Vou levar pra sempre uma lembrança de cada um. Adoro-os

39 Conclusão O meu portfólio ficou bem simples, coloquei o que achei de mais importante nesse trimestre e algumas coisas que ao passar dos dias gostei como curiosidades, a poesia e o exercício favorito.

40 Mensagem final Ninguém pode ser perfeito. Mas todos podem ser melhores. Bob Esponja


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