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DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs) Representação no.

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1 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs) Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs) Resposta Impulsional Definição; Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta impulsional: soma e integral de convolução; Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsional Sistema com e sem memória; Causalidade; Estabilidade; Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional. Equações Diferenciais e às Diferenças. Resolução de equações diferenciais e às diferenças; Diagrama de blocos. Modelo de Estado Definição; Transformações de semelhança; Diagonalização; Solução da equação de estado; Cálculo da matriz de transição; Resposta impulsional.

2 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs impulso unitário discreto resposta impulsional Resposta impulsional resposta no tempo do SLIT quando a entrada é um impulso unitário SLIT discreto impulso unitário de Dirac resposta impulsional SLIT contínuo SLIT Exemplo SLIT … …

3 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo SLIT discreto O SLIT é invariante no tempo O SLIT é linear Mas (soma de convolução)

4 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo Exemplo

5 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Propriedades da soma de convolução Comutativa: Associativa:

6 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Propriedades da soma de convolução SLITs em série A convolução é associativa A convolução é comutativa A convolução é associativa

7 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Propriedades da soma de convolução Distributiva em relação à adição: SLITs em paralelo A convolução é distributiva

8 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo SLIT contínuo integral de convolução O integral de convolução é: comutativo; associativo; distributivo em relação à adição.

9 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo Exemplo e e -

10 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs presente da entrada passado da entrada futuro da entrada Propriedades dos SLITs 1. Memória Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. SLIT discreto sem memória SLIT contínuo sem memória

11 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Propriedades dos SLITs SLIT contínuo causal 2. Causalidade Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores. presente da entrada passado da entrada futuro da entrada SLIT discreto causal

12 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Propriedades dos SLITs 3. Estabilidade Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., SLIT discreto estável A resposta impulsional de um SLIT discreto estável é uma função absolutamente somável, i.e.

13 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Propriedades dos SLITs SLIT discreto estável Exemplo O SLIT é estável quando |a|<1 porque h(n) é absolutamente somável.

14 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Propriedades dos SLITs 3. Estabilidade A resposta impulsional de um SLIT contínuo estável é uma função absolutamente integrável, i.e. Exemplo O SLIT é estável quando >0 porque h(t) é absolutamente integrável.

15 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional SLIT discreto resposta ao escalão unitário Exemplo y(n)y(n) n … … y(n-1) … … h(n)h(n) n … …

16 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional SLIT contínuo resposta ao escalão unitário Exemplo

17 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Equações diferenciais Sistema de 1ª ordem

18 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações diferenciais Sistema contínuo Sinal de entrada: Modelo: Condição inicial:

19 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações diferenciais Solução homogénea Solução particular ? ? ?

20 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações diferenciais Solução homogénea ? equação característica

21 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações diferenciais Solução particular

22 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações diferenciais Solução particular

23 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações diferenciais Resposta completa ? Condição inicial + continuidade da solução

24 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs regime estacionário devido a x(t) devido a y 0 Resolução de equações diferenciais Resposta completa regime transitório

25 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações diferenciais rad/s; ;.

26 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Sistema contínuo de ordem N Condições iniciais: Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais: nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear Solução: mesma forma do sinal de entrada Equação característica

27 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Condições iniciais Sistema de 2ª ordem Equações às diferenças Sistema discreto Cálculo de para : etc

28 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações às diferenças Sistema discreto Sinal de entrada: Modelo: Condição inicial:

29 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações às diferenças Solução homogénea Solução particular ? ? Equação característica:

30 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Solução particular Resolução de equações às diferenças

31 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações às diferenças Resposta completa

32 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resolução de equações às diferenças

33 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Sistema discreto de ordem N Condições iniciais: Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais: nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear Solução: mesma forma do sinal de entrada Equação característica

34 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagrama de blocos

35 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagrama de blocos Forma directa IForma directa I

36 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagrama de blocos

37 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagrama de blocos Forma directa IIForma directa II

38 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Equações de estado: Modelo de Estado Variáveis de estado Equação de saída

39 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Modelo de Estado Equações de estado: Equação de saída: Vector de estado:

40 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagrama de blocos

41 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagrama de blocos Forma directa I

42 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagrama de blocos Forma directa II

43 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Equação de saída Modelo de Estado Equações de estado:

44 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Modelo de Estado Equação de saída: Vector de estado: Equações de estado:

45 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Modelo de Estado Equação de Estado Equação de Saída - matriz da dinâmica - matriz de entrada - matriz de saída constantes Sistema invariante no tempo

46 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Modelo de Estado Vector de estado

47 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Equação diferencial

48 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Equação diferencial

49 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Equação Diferencial vs. Modelo de Estado

50 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Modelo II Modelo I Transformação de semelhança não singular

51 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Transformação de semelhança

52 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Transformação de semelhança

53 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Transformação de semelhança

54 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Transformação de semelhança

55 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Transformação de semelhança

56 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagonalização Dada uma matriz da dinâmica A, qual a transformação de coordenadas, T, que conduz a uma matriz da dinâmica diagonal? Que condição deve satisfazer A para que exista uma transformação de coordenadas s(t)= Tz(t) com T não singular, tal que D=T -1 AT seja uma matriz diagonal?

57 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs A matriz A é diagonalizável sse for de estrutura simples, i.e., os vectores próprios de A são linearmente independentes. Diagonalização Valores próprios: Vectores próprios:

58 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs matriz de transformação de coordenadas Diagonalização vectores próprios linearmente independentes

59 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Diagonalização os valores próprios de A são todos distintos A é de estrutura simples sempre que: A é simétrica, i.e., A=A T

60 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Solução da equação de estado

61 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Solução da equação de estado ?

62 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Cálculo de A n é de estrutura simples? A é diagonalizável:

63 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Cálculo de A n

64 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Solução da equação de estado

65 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo do sistema

66 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo do sistema

67 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta impulsional Sistema inicialmente em repouso:

68 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Solução da equação de estado ?

69 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Cálculo de e At é de estrutura simples A é diagonalizável: com Expansão em série de Taylor de e At

70 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Solução da equação de estado

71 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo do sistema

72 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta no tempo do sistema

73 DEEC/ IST Isabel Lourtie Sistemas e Sinais SLITs Resposta impulsional Sistema inicialmente em repouso:


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