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Gradiente Gradiente Divergente Divergente Rotacional Rotacional Propriedades Propriedades Aplicações Aplicações.

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Apresentação em tema: "Gradiente Gradiente Divergente Divergente Rotacional Rotacional Propriedades Propriedades Aplicações Aplicações."— Transcrição da apresentação:

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2 Gradiente Gradiente Divergente Divergente Rotacional Rotacional Propriedades Propriedades Aplicações Aplicações

3 Gradiente: O gradiente de uma função escalar é um vetor cujo módulo é a derivada direcional máxima no ponto considerado e cujo sentido é o sentido da derivada direcional máxima. Derivada direcional: É a taxa de variação da função em uma direção e sentido especificados. ds - deslocamento infinitesimal na direção e sentido ds - valor escalar de ds.

4 Considerando-se a função: x,y)=x 2 +y 2 A derivada direcional depende da direção e do sentido. Escolhendo-se dy/dx=-x 0 /y 0 Obtemos

5 Podemos escolher:dy/dx=y 0 /x 0 como: escolhemos então

6 Se derivarmos f( ) em relação a : igualando-se a derivada a zero, obtém-se o máximo ou mínimo:

7 Portanto a variação máxima da função: figura 1: figura2:

8 Símbolos do Gradiente: e grad A derivada direcional em termos de gradiente é dada por: A equação acima permite-nos definir o gradiente em qualquer sistema de coordenadas Coordenadas retangulares: Conseqüentemente:

9 Divergente: Definição: div F ou É o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o volume encerrado pela superfície tende a zero Integração Vetorial: - linha - superfície - volume Maiores Interesses: integral escalar de linha de um vetor integral escalar de superfície de um vetor integrais de volume de vetores e escalares Se F for um vetor a integral de linha é dada por:

10 Integral de linha ao longo de uma curva fechada Pode ou não ser zero Integral de Superfície e Superfície fechada Integral de Volume

11 Para coordenadas cartesianas. Divergente: Definição: div F ou

12 Rotacional: É o limite da razão entre a integral e o seu produto vetorial com a normal dirigida para fora, sobre uma superfície fechada, e o volume encerrado pela superfície quando o volume tende a zero. Em coordenadas retangulares:

13 O operador (nabla ou del) Relações importantes: Teorema de Stokes Teorema do Divergente Linearidade do Operador


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