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1 Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

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Apresentação em tema: "1 Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães"— Transcrição da apresentação:

1 1 Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

2 2 Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.

3 3 Matrizes especiais Diagonal principal e diagonal secundária

4 4 Matrizes especiais Diagonal principal e diagonal secundária

5 5 Matrizes especiais Matriz linha Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[ ], do tipo 1 x 4. Matriz coluna matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1.

6 6 Matrizes especiais Uma matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e de colunas. A ordem de uma matriz quadrada é o seu número de linhas (ou de colunas). Matriz quadrada Exemplos: matrizes 2 x 2 (2ª ordem), 3 x 3 (3ª ordem), n x n (n-ésima ordem). D =

7 7 Matrizes especiais Uma matriz nula possui zeros em todos os seus elementos. Matriz nula A = B =

8 8 Matrizes especiais Uma matriz identidade, denotada por I, é uma matriz quadrada onde sua diagonal principal é composta de 1's e todos os outros elementos são zero. Matriz identidade I =

9 9 Matrizes especiais A transposta de uma matriz é a matriz obtida pela troca das linhas pelas colunas da matriz original, de modo que a coluna j da matriz original passe a ser a linha j da matriz transposta e a linha i da matriz original passe a ser a coluna i da matriz transposta. Matriz transposta A= m x n A T = n x m

10 10 Matrizes especiais Uma matriz é dita simétrica se ela for igual à sua transposta. Matriz simétrica Uma matriz A, simétrica, é necessariamente quadrada e aij = aji. A = A T =

11 11 Matrizes especiais Uma matriz é dita anti-simétrica se ela for simétrica à sua transposta. A = - A T Matriz anti-simétrica Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são necessariamente nulos. A =A T = - A T =

12 12 Matrizes – cálculo de determinantes Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna. Matriz de 1ª ordem O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz. det A = | 1 | = 1 det B = | -5 | = -5

13 13 Matrizes – cálculo de determinantes Multiplicar os elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Matriz de 2ª ordem det A = a 11. a 22 – a 21. a 12

14 14 Matrizes – cálculo de determinantes Exemplo para matriz de 2ª ordem: det B = – 1. 2 = 0 – 2 = -2 det B = a 11. a 22 – a 21. a 12

15 15 Matrizes – cálculo de determinantes Dada a matriz A de ordem 3x3, o seu determinante será calculado da seguinte forma: Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus

16 16 Matrizes – cálculo de determinantes Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A: Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus

17 17 Matrizes – cálculo de determinantes Multiplicar os elementos conforme o esquema montado abaixo, sabendo-se que os produtos da direita conservam os sinais e os produtos da esquerda invertem os sinais. Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus Conserva o sinal Inverte o sinal

18 18 Matrizes – cálculo de determinantes Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A: Matriz de 3ª ordem - regra de Sarrus det A = (5.3.-1) + (0.4.0) + (1.-2.2) + [ - (1.3.0)] + [ - (5.4.2)] + [ - (0.-2.1)] det A = – 4 – 0 – det A = -59

19 19 Exercícios propostos Qual é a transposta para as matrizes A e B?

20 20 Exercícios propostos Calcule o determinante para as matrizes: Det AB = 0 Regra de Sarrus Det BA = 0

21 21 Matrizes – cálculo cofator Dada uma matriz A = (a ij ), quadrada de ordem n, n є N* e n≥2, denominamos cofator de a ij o produto de (-1) i+j pelo determinante D ij da matriz que se obtém quando se retira A a i-ésima linha e j-ésima coluna. O cofator a ij será indicado por C ij. C ij = (-1) i+j. D ij

22 22 Matrizes – cálculo cofator C ij = (-1) i+j. D ij C 11 = (-1) 1+1. D 11 Elimina-se 1ª linha e 1ª coluna e calcula-se o determinante da matriz para D 11.

23 23 Matrizes – cálculo cofator C ij = (-1) i+j. D ij C 23 = (-1) 2+3. D 23 Elimina-se 2ª linha e 3ª coluna e calcula-se o determinante da matriz para D 23.

24 24 Matrizes – cálculo cofator C 11 = (-1) 1+1. D 11 C 22 = (-1) 2+2. D 22 C 32 = (-1) 3+2. D 32 C 11 = -1 C 22 = 10 C 32 = -4

25 25 Memória de aula 1.O que é uma diagonal principal e secundária? 2.Quando uma matriz é nula? 3.O que é uma matriz identidade? 4.Como é calculado a transposta para uma matriz? 5.Conceitue e dê exemplo de uma matriz simétrica? 6.Conceitue e dê exemplo de uma matriz anti-simétrica? 7.Qual é o resultado do determinante para uma matriz de 1ª ordem? 8.Como é calculado o determinante para matriz de 2ª ordem? 9.Como é calculado o determinante para matriz de 3ª ordem?

26 26 Bibliografia indicada LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).http://www.ericolisboa.eng.br


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