Matemática – Unidade 2.

Apresentação em tema: "Matemática – Unidade 2."— Transcrição da apresentação:

1 Matemática – Unidade 2

2 Educação a Distância – EaD
Matemática Professor: Flávio Brustoloni

3 Matemática Cronograma: Turma ADG0096 Data Atividade 06/10 06/10 20/10
1º Encontro 06/10 1º Encontro 20/10 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 27/10 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 10/11 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

4 Objetivos desta Unidade:
Reconhecer relações entre grandezas variáveis dadas por gráficos, tabelas e fórmulas; Desenvolver o conceito de função; Reconhecer e definir função; Analisar e determinar o domínio, contradomínio e imagem de uma função; Construir, ler e interpretar gráficos de funções; Reconhecer quando uma função é sobrejetora, injetora e bijetora; Analisar gráficos para estabelecer crescimento, decrescimento e raízes de uma função; Reconhecer e definir função polinomial e função exponencial. 1/92

5 Unidade 2 A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
2/92

6 TÓPICO 1 Relações e Funções
3/92

7 (Estamos na página 69 da apostila)
1 Introdução Tópico 1 Iremos estudar em um caso particular de relações entre dois conjuntos A e B: são relações em que cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B. Uma relação que satisfaz a essa propriedade recebe o nome de função ou aplicação binária. (Estamos na página 69 da apostila) 4/92

8 (Estamos na página 69 da apostila)
1 Introdução Exemplo Conjunto das ESPOSAS Tópico 1 Cada item do conjunto B só pode relacionar-se com UM item do conjunto A, ou seja, cada MARIDO só poderá ter UMA ESPOSA e vice-versa. Conjunto dos MARIDOS B A (Estamos na página 69 da apostila) 5/92

9 (Estamos na página 69 da apostila)
2 O Conceito de Função Tópico 1 Considere o seguinte exemplo: Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1.200,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. (Estamos na página 69 da apostila) 6/92

10 (Estamos na página 70 da apostila)
2 O Conceito de Função Tópico 1 Como expressar, através de uma lei matemática, o salário mensal deste vendedor? Qual o salário do vendedor se, no período de um mês, ele vender produtos? (Estamos na página 70 da apostila) 7/92

11 2 O Conceito de Função S(q) = 1.200,00 + 0,08q y = 1.200,00 + 0,08x
Tópico 1 Salário Mensal = 1.200,00 + 0,08 . (total de vendas do mês) S(q) = 1.200,00 + 0,08q y = 1.200,00 + 0,08x (Estamos na página 70 da apostila) 8/92

12 (Estamos na página 70 da apostila)
2 O Conceito de Função Tópico 1 S e q expressam, respectivamente, as variáveis salário e quantidade vendida. A expressão S(q) simboliza que o salário depende da quantidade vendida, ou seja, q é variável independente e S é variável dependente. (Estamos na página 70 da apostila) 9/92

13 (Estamos na página 70 da apostila)
2 O Conceito de Função Tópico 1 O gráfico a seguir representa o comportamento de uma substância intravenosa em um paciente com câncer. O mesmo modelo se aplicaria à ingestão de uma bebida alcoólica ou de um entorpecente, porém com variações distintas de tempo. (Estamos na página 70 da apostila) 10/92

14 (Estamos na página 70 da apostila)
2 O Conceito de Função Tópico 1 (Estamos na página 70 da apostila) 11/92

15 (Estamos na página 71 da apostila)
2 O Conceito de Função Tópico 1 O comportamento desta função, denominada função exponencial, pode ser expresso algebricamente pela lei matemática: Q(t) = (1/2)t ou y = (1/2)x (Estamos na página 71 da apostila) 12/92

16 (Estamos na página 71 da apostila)
2 O Conceito de Função Tópico 1 Q e t expressam, respectivamente, as variáveis quantidade de substância e tempo em meses. Na expressão Q(t) simboliza que a quantidade de substância depende do tempo, logo, podemos classificar o tempo como variável independente e a quantidade de substância como variável dependente. (Estamos na página 71 da apostila) 13/92

17 (Estamos na página 72 da apostila)
3 Definição de Função Tópico 1 Função é um cálculo feito por meio de uma fórmula, regra ou lei algébrica, isto porque muitos fenômenos físicos podem ser melhor compreendidos se modelados matematicamente através de uma função. (Estamos na página 72 da apostila) 14/92

18 4 Domínio e Imagem de uma Função
Tópico 1 Quando estamos analisando uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente. (Estamos na página 72 da apostila) 15/92

19 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 a) f(x) = 3/x-2 a função foi definida no conjunto dos números reais; se x=2 teríamos 3/0, que não é definida nos reais; (Estamos na página 73 da apostila) 16/92

20 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 b) f(x) = x não existe a possibilidade de x<0, pois invalida a operação de raiz quadrada; (Estamos na página 73 da apostila) 17/92

21 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 c) f(x) = 2x sem nenhum tipo de restrição algébrica; (Estamos na página 73 da apostila) 18/92

22 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 Uma microempresa especializada em lanches investe R$ 1.500,00 em equipamentos e gasta mais R$ 1,50 para cada lanche produzido. A equação C(q) = ,50q representa esta situação algebricamente, onde C é a variável que expressa o custo em função da quantidade q de lanches. (Estamos na página 73 da apostila) 19/92

23 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 O domínio da função refere-se ao conjunto de possíveis valores atribuídos a q (quantidade de lanches produzida) que determinarão o custo C. Observe que q pressupõe um valor inteiro não negativo, ou simplesmente um númeral natural: (Estamos na página 73 da apostila) 20/92

24 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 a) f(x) = 3/x-2 a imagem consiste no conjunto de valores que f(x) pode assumir dados os valores atribuídos a x. Observe que f(x) pode assumir valores inteiros, positivos, negativos, mas jamais poderá ser zero, pois não existe um valor para o qual 3 possa ser dividido, resultando em quociente zero. (Estamos na página 74 da apostila) 21/92

25 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 b) f(x) = x assim como no domínio, todos os reais não negativos; (Estamos na página 74 da apostila) 22/92

26 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 c) f(x) = 2x sem nenhum tipo de restrição algébrica; (Estamos na página 73 da apostila) 18/92

27 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos
Tópico 1 Para o exemplo expresso por C(q) = ,50q, o domínio ficou restrito ao conjunto dos números naturais, pois se referia à quantidade de lanches produzidos. Já o conjunto imagem será os reais não negativos, visto que a produção de 9 lanches, por exemplo, irá gerar um custo de C(9) = ,50(9) = 1.513,50 (que não pertence aos números naturais). (Estamos na página 73 da apostila) 19/92

28 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora
Tópico 1 Uma função é dita injetora se é uma relação um a um, ou seja, se para cada elemento distinto do domínio, x A, está associado um elemento distinto da imagem, y B. (Estamos na página 75 da apostila) 20/92

29 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora
Tópico 1 a) f(x) = x + 1 Observe que f é injetora, pois a cada elemento do conjunto de entrada A está associado um elemento do conjunto de saída B. (Estamos na página 75 da apostila) 21/92

30 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora
Tópico 1 A f B -1 f 1 f 2 1 f 3 2 4 (Estamos na página 75 da apostila) 22/92

31 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora
Tópico 1 b) f(x) = x2 Esta aplicação não é injetora, pois dois valores distintos do conjunto de entrada estão associados a um mesmo valor do conjunto de saída. Por exemplo, para x=3 e para x=-3 temos que f(3) = f(-3) = 9. (Estamos na página 76 da apostila) 23/92

32 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 Uma função é dita sobrejetora se a imagem for constituída por todo o conjunto B, ou seja, todos os elementos de B estiverem envolvidos na relação. (Estamos na página 76 da apostila) 24/92

33 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 a) f(x) = x2 Observe que esta função é sobrejetora, pois o conjunto imagem é Im(f) = R, que é próprio conjunto B. (Estamos na página 76 da apostila) 25/92

34 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 A B f -2 4 f -1 1 f 1 (Estamos na página 76 da apostila) 26/92

35 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 b) f: Z Z, y = f(x) = x Observe que esta função é sobrejetora, pois para cada valor Z do domínio, há relacionada uma imagem de mesmo valor em Z. Assim, dizemos Im(f) = Z = B. (Estamos na página 76 da apostila) 27/92

36 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 Gráfico 1 - Representação Gráfica da Função (Estamos na página 77 da apostila) 28/92

37 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 c) f: R R, f(x) = 2x2 + 4x -1 Observe que ao tentarmos encontrar um valor de x para o qual f(x) = -4, obtemos uma equação do segundo grau completa que após resolvida não admite soluções reais: (Estamos na página 77 da apostila) 29/92

38 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 f(x) = 2x2 + 4x -1 (função 2º Grau) -4 = 2x2 + 4x -1 (equação 2º Grau) 2x2 + 4x +3 = 0 (equação 2º Grau completa) (Estamos na página 77 da apostila) 30/92

39 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 (Estamos na página 78 da apostila) 31/92

40 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 Não há solução, uma vez que R. (Estamos na página 78 da apostila) 32/92

41 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 Gráfico 2 - Representação Gráfica da Função (Estamos na página 78 da apostila) 33/92

42 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora
Tópico 1 Observe pelo gráfico que as coordenadas do ponto mínimo para o qual existe imagem é x = -1 que gera y = -3, que são as coordenadas do vértice desta curva denominada parábola, gerada pela função f(x) = 2x2 + 4x +3. Esta função não é classificada como sobrejetora. (Estamos na página 78 da apostila) 29/92

43 5 Classificação das Funções 5.3 Função Bijetora
Tópico 1 Uma função é dita bijetora se for, simultaneamente, injetora e sobrejetora, ou seja, se para diferentes valores de x A estiverem associados diferentes valores de y B e ainda se todos os elementos de B possuírem um elemento do domínio associado através de f. f(x) = 2x + 1 (Estamos na página 79 da apostila) 30/92

44 5 Classificação das Funções 5.3 Função Bijetora
Tópico 1 A B f 1 2 f 5 3 f 7 f(x) = 2x + 1 (Estamos na página 79 da apostila) 31/92

45 6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.1 Par Ordenado
Tópico 1 Sejam os conjuntos A e B (não vazios); chamamos de par ordenado dos elementos de A e B ao par (a, b), onde a A e b B, nesta ordem. A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9} (Estamos na página 80 da apostila) 32/92

46 6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.1 Par Ordenado
Tópico 1 A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9} ? (1, 2) é par ordenado de A e B, pois 1 A e 2 B. (4, 2) não é par ordenado de A e B, pois 4 A e 2 B. (8, 2) é par ordenado de A e B, pois 8 A e 2 B. (Estamos na página 80 da apostila) 33/92

47 (Estamos na página 81 da apostila)
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.2 Sistema Cartesiano Ortogonal Tópico 1 Ponto A(5,4) Quadrante II Quadrante I A Ponto C(-3,1) C Quadrante III Quadrante IV (Estamos na página 81 da apostila) 34/92

48 (Estamos na página 82 da apostila)
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano Tópico 1 a) f(x) = 3x x y=3x (x, y) -2 -6 (-2, -6) -1 -3 (-1, -3) (0, 0) 1 3 (1, 3) 2 6 (2, 6) 9 (3, 9) (Estamos na página 82 da apostila) 35/92

49 (Estamos na página 83 da apostila)
6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano Tópico 1 b) f(x) = -x2 x y=-x2 (x, y) -2 -4 (-2, -4) -1 (-1, -1) (0, 0) 1 (1, -1) 2 (2, -4) (Estamos na página 83 da apostila) 36/92

50 7 Função Crescente e Função Decrescente Exemplo de Função Crescente
Tópico 1 Gráfico 6 – População Brasileira de 1940 a 1990 Milhões de Habitantes Anos (Estamos na página 84 da apostila) 37/92

51 7 Função Crescente e Função Decrescente Exemplo de Função Decrescente
Tópico 1 Gráfico 7 – Tanque de Água se esvaziando Volume (em litros) Tempo (em minutos) (Estamos na página 84 da apostila) 38/92

52 7 Função Crescente e Função Decrescente Exemplo de Função Crescente e Decrescente
Tópico 1 Gráfico 8 – Comportamento de um Projétil * No intervalo de 0 a 3 seg a função é crescente. * No intervalo de 3 a 6 seg a função é decrescente. (Estamos na página 85 da apostila) 39/92

53 TÓPICO 2 Função Polinomial do 1º Grau
40/92

54 2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim
Tópico 2 Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado em função do número x de notas retiradas. A lei da função é dada por: f(x) = 230 – 50x (Estamos na página 91 da apostila) 41/92

55 2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim
Tópico 2 f(x) = 230 – 50x Esta função é polinomial do 1º grau ou função afim pois atende à seguinte definição: Existem dois números a e b, tal que f(x) = ax + b, para todo x R. (Estamos na página 91 da apostila) 42/92

56 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.1 Função Linear
Tópico 2 a) f(x) = 2x x y=2x (x, y) -2 -4 (-2, -4) -1 (-1, -2) (0, 0) 1 2 (1, 2) 4 (2, 4) (Estamos na página 92 da apostila) 43/92

57 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.1 Função Linear
Tópico 2 b) f(x) = -2x x y=2x (x, y) -2 4 (-2, 4) -1 2 (-1, 2) (0, 0) 1 (1, -2) -4 (2, -4) (Estamos na página 93 da apostila) 44/92

58 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante
Tópico 2 a) f(x) = 3 x y=3 (x, y) -2 3 (-2, 3) -1 (-1, 3) (0, 3) 1 (1, 3) 2 (2, 3) (Estamos na página 94 da apostila) 45/92

59 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante
Tópico 2 b) f(x) = -3 x y=-3 (x, y) -2 -3 (-2, -3) -1 (-1, -3) (0, -3) 1 (1, -3) 2 (2, -3) (Estamos na página 94 da apostila) 46/92

60 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.3 Função Identidade
Tópico 2 a) f(x) = x x y=x (x, y) -2 (-2, -2) -1 (-1, -1) (0, 0) 1 (1, 1) 2 (2, 2) (Estamos na página 94 da apostila) 47/92

61 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação
Tópico 2 a) f(x) = x + 2 x y=x+2 (x, y) -2 (-2, 0) -1 1 (-1, 1) 2 (0, 2) 3 (1, 3) 4 (2, 4) (Estamos na página 95 da apostila) 48/92

62 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação
Tópico 2 b) f(x) = x - 2 x y=x-2 (x, y) -2 -4 (-2, -4) -1 -3 (-1, -3) (0, -2) 1 (1, -1) 2 (2, 0) (Estamos na página 95 da apostila) 49/92

63 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
Tópico 2 Exemplo 1: Dados o ponto P(2, 3), ou seja x=2 e y=3 (par ordenado) e o ponto Q(4, 5), ou seja x=4 e y=5, podemos encontrar a função que passa por estes pontos, levando em consideração que y = ax + b. (Estamos na página 96 da apostila) 50/92

64 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
Tópico 2 y = ax + b Ponto P(2, 3) xa + b = y Ponto Q(4, 5) 2a + b = 3 4a + b = 5 .(-1) -2a - b = -3 4a + b = 5 (Estamos na página 96 da apostila) 51/92

65 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
Tópico 2 2a + b = 3 -2a - b = -3 4a + b = 5 2.1 + b = 3 2 + b = 3 b = 3 – 2 b = 1 2a / = 2 a = 1 y = ax + b y = x + 1 (Estamos na página 96 da apostila) 52/92

66 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
Tópico 2 Exemplo 2: Dados o ponto P(1, 2) e o ponto Q(3, 7), determine a função polinomial do 1º Grau. (Estamos na página 96 da apostila) 53/92

67 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
Tópico 2 y = ax + b Ponto P(1, 2) xa + b = y Ponto Q(3, 7) 1a + b = 2 3a + b = 7 .(-1) -a - b = -2 3a + b = 7 (Estamos na página 97 da apostila) 54/92

68 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos
Tópico 2 a + b = 2 -a - b = -2 3a + b = 7 5/2 + b = 2 b = 2 – 5/2 b = (4-5)/2 b = -1/2 2a / = 5 a = 5/2 y = ax + b y = (5/2)x – 1/2 (Estamos na página 97 da apostila) 55/92

69 5 Função Afim Crescente e Decrescente Função Crescente: a>0
Tópico 2 x1 < x2 f(x1) < f(x2) (Estamos na página 98 da apostila) 56/92

70 5 Função Afim Crescente e Decrescente Função Decrescente: a<0
Tópico 2 x1 > x2 f(x1) > f(x2) (Estamos na página 98 da apostila) 57/92

71 TÓPICO 3 Função Polinomial do 2º Grau
58/92

72 2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática
Tópico 3 O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é dado pela função abaixo, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo? C(x) = x2 – 86x (Estamos na página 103 da apostila) 59/92

73 2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática
Tópico 3 C(x) = x2 – 86x Esta função é polinomial do 2º grau ou função quadrática pois atende à seguinte definição: Existem números a, b e c, tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a 0 e para todo x R. (Estamos na página 103 da apostila) 60/92

74 2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática
Tópico 3 Outros exemplos: y = 2x2 – 4x (a=2, b=-4, c=3) f(x) = x (a=1, b=0, c=-4) y = 5x – 3x (a=-3, b=5, c=0) (Estamos na página 104 da apostila) 61/92

75 3 Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau
Tópico 3 a) f(x) = x2 - 1 x y=x2-1 (x, y) -3 8 (-3, 8) -2 3 (-2, 3) -1 (-1, 0) (0, -1) 1 (1, 0) 2 (2, 3) (3, 8) (Estamos na página 104 da apostila) 62/92

76 3 Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau
Tópico 3 b) f(x) = -2x2 - 1 x y=-2x2-1 (x, y) -2 -9 (-2, -9) -1 -3 (-1, -3) (0, -1) 1 (1, -3) 2 (2, -9) (Estamos na página 105 da apostila) 63/92

77 (Estamos na página 106 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 1º Caso: >0 Implica 2 raízes reais e distintas. Dada a função y = 2x2 – x – 1, para obtermos os pontos de intersecção da parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação decorrente 2x2 – x – 1 = 0. (Estamos na página 106 da apostila) 64/92

78 (Estamos na página 106 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 (Estamos na página 106 da apostila) 65/92

79 (Estamos na página 106 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 (Estamos na página 106 da apostila) 66/92

80 (Estamos na página 107 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 y = 2x2 – x - 1 Implica 2 raízes reais e distintas. O coeficiente a = 2 implica que a concavidade da parábola seja para cima. (Estamos na página 107 da apostila) 67/92

81 (Estamos na página 107 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 2º Caso: =0 Implica 2 raízes reais e iguais. Dada a função y = -x2 + 6x – 9, para obtermos os pontos de intersecção da parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação decorrente -x2 + 6x – 9 = 0. (Estamos na página 107 da apostila) 68/92

82 (Estamos na página 107 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 (Estamos na página 107 da apostila) 69/92

83 (Estamos na página 107 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 (Estamos na página 107 da apostila) 70/92

84 (Estamos na página 108 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 y = -x2 + 6x - 9 Implica 2 raízes reais e iguais. O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo. (Estamos na página 108 da apostila) 71/92

85 (Estamos na página 108 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 3º Caso: <0 Implica a inexistência de raízes reais. Dada a função y = -x2 + 4x – 5, verifique a inexistência de raízes reais, atribuindo zero à variável y e resolvemos a equação decorrente -x2 + 4x – 5 = 0. (Estamos na página 108 da apostila) 72/92

86 (Estamos na página 108 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 (Estamos na página 108 da apostila) 73/92

87 (Estamos na página 109 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X Tópico 3 y = -x2 + 4x - 5 Implica a inexistência de raízes reais. O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo, porém sem ponto no eixo x. (Estamos na página 109 da apostila) 74/92

88 (Estamos na página 109 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola Síntese sobre as raízes da função 2º Grau Tópico 3 (Estamos na página 109 da apostila) 75/92

89 (Estamos na página 109 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola Síntese sobre as raízes da função 2º Grau Tópico 3 (Estamos na página 109 da apostila) 76/92

90 (Estamos na página 109 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola Síntese sobre as raízes da função 2º Grau Tópico 3 (Estamos na página 109 da apostila) 77/92

91 (Estamos na página 110 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y Tópico 3 Para obtermos o ponto de intersecção da parábola com o eixo y basta atribuirmos zero à variável x. Dada a função y = x2 - 6x + 5, construa o gráfico da parábola apresentando as intersecções com o eixo x e a intersecção com o eixo y. (Estamos na página 110 da apostila) 78/92

92 (Estamos na página 110 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y Tópico 3 (Estamos na página 110 da apostila) 79/92

93 (Estamos na página 110 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y Tópico 3 (Estamos na página 110 da apostila) 80/92

94 (Estamos na página 110 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y Tópico 3 (Estamos na página 110 da apostila) 81/92

95 (Estamos na página 110 da apostila)
4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y Tópico 3 (Estamos na página 110 da apostila) 82/92

96 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.3 O Vértice da Parábola
Tópico 3 O vértice da parábola também é um ponto notável, pois determina valores de máximo, ou de mínimo, que expressam importantes informações acerca de uma determinada situação-problema que seja descrita pela função polinomial do 2º grau. Xv = - (b/2a) Yv = - ( /4a) (Estamos na página 111 da apostila) 83/92

97 (Estamos na página 111 da apostila)
5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau 5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau Tópico 3 Exemplo: a estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da função definida por y = -x x – 2000, sendo y o lucro em reais quando a empresa vende x unidades de determinado produto. Com base nisso, determine quantas unidades do produto devem ser produzidas para que a empresa atinja o lucro máximo e qual é esse lucro máximo. (Estamos na página 111 da apostila) 84/92

98 (Estamos na página 112 da apostila)
5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau 5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau Tópico 3 (Estamos na página 112 da apostila) 85/92

99 (Estamos na página 112 da apostila)
5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau 5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau Tópico 3 Assim, concluímos que devem ser fabricadas 60 unidades do produto para que o lucro seja máximo, no valor de R$ 1.600,00. (Estamos na página 112 da apostila) 86/92

100 TÓPICO 4 Função Exponencial
87/92

101 (Estamos na página 115 da apostila)
1 Introdução Tópico 4 A função Exponencial expressa um crescimento ou decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento de juros compostos, importantes na matemática financeira. (Estamos na página 115 da apostila) 88/92

102 (Estamos na página 115 da apostila)
2 Função Exponencial Tópico 4 Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1+i)t. Supondo que o capital aplicado é de R$ ,00 a uma taxa de 12% ao ano durante t anos, apresente a expressão algébrica que descreve esta situação. (Estamos na página 115 da apostila) 89/92

103 (Estamos na página 116 da apostila)
2 Função Exponencial Tópico 4 Substituindo os dados na fórmula, obtemos a seguinte expressão algébrica: M = (1,12)t (Estamos na página 116 da apostila) 90/92

104 3 Gráfico da Função Exponencial
Tópico 4 a) f(x) = 2x x f(x) (x, y) -2 1/4 (-2, 1/4) -1 1/2 (-1, 1/2) 1 (0, 1) 2 (1, 2) 4 (2, 4) 3 8 (3, 8) (Estamos na página 117 da apostila) 91/92

105 (Estamos na página 117 da apostila)
2 Função Exponencial Tópico 4 Observe que no exemplo (a) a função y = 2x é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. Observe também que, quanto menor for o valor de x, mais o gráfico da função se aproxima da reta suporte do eixo x, sem, no entanto, atingí-la. (Estamos na página 117 da apostila) 92/92

106 3 Gráfico da Função Exponencial
Tópico 4 b) f(x) = (1/2)x x f(x) (x, y) -2 4 (-2, 4) -1 2 (-1, 2) 1 (0, 1) 1/2 (1, 1/2) 1/4 (2, 1/4) (Estamos na página 117 da apostila) 91/92

107 (Estamos na página 117 da apostila)
2 Função Exponencial Tópico 4 Observe que no exemplo (b) a função y = (1/2)x é decrescente. Isso ocorre sempre que a base estiver entre 0 e 1. Neste caso, quanto maior for o valor de x, mais o gráfico da função se aproxima do eixo x, sem, no entanto, atingí-lo. (Estamos na página 117 da apostila) 92/92

108 Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

109 Matemática PRÓXIMA AULA:
2º Encontro da Disciplina 1ª Avaliação da Disciplina (Redação com consulta)