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Matemática – Unidade 2. Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática.

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1 Matemática – Unidade 2

2 Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática

3 Cronograma: Turma ADG0096 Matemática DataAtividade 20/10 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 06/10 1º Encontro 27/10 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 10/11 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL) 06/10 1º Encontro

4 Objetivos desta Unidade: •Reconhecer relações entre grandezas variáveis dadas por gráficos, tabelas e fórmulas; 1/92 •Desenvolver o conceito de função; •Reconhecer e definir função; •Analisar e determinar o domínio, contradomínio e imagem de uma função; •Construir, ler e interpretar gráficos de funções; •Reconhecer quando uma função é sobrejetora, injetora e bijetora; •Analisar gráficos para estabelecer crescimento, decrescimento e raízes de uma função; •Reconhecer e definir função polinomial e função exponencial.

5 Unidade 2 A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES 2/92

6 TÓPICO 1 Relações e Funções 3/92

7 1 Introdução Iremos estudar em um caso particular de relações entre dois conjuntos A e B: são relações em que cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B. Uma relação que satisfaz a essa propriedade recebe o nome de função ou aplicação binária. (Estamos na página 69 da apostila) 4/92 Tópico 1

8 1 Introdução Exemplo (Estamos na página 69 da apostila) 5/92 Tópico 1 Conjunto das ESPOSAS Conjunto dos MARIDOS Cada item do conjunto B só pode relacionar-se com UM item do conjunto A, ou seja, cada MARIDO só poderá ter UMA ESPOSA e vice-versa. A B

9 2 O Conceito de Função Considere o seguinte exemplo: Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1.200,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. (Estamos na página 69 da apostila) 6/92 Tópico 1

10 2 O Conceito de Função Como expressar, através de uma lei matemática, o salário mensal deste vendedor? Qual o salário do vendedor se, no período de um mês, ele vender produtos? (Estamos na página 70 da apostila) 7/92 Tópico 1

11 2 O Conceito de Função Salário Mensal = 1.200,00 + 0,08. (total de vendas do mês) (Estamos na página 70 da apostila) 8/92 Tópico 1 S(q) = 1.200,00 + 0,08q y = 1.200,00 + 0,08x

12 2 O Conceito de Função S e q expressam, respectivamente, as variáveis salário e quantidade vendida. A expressão S(q) simboliza que o salário depende da quantidade vendida, ou seja, q é variável independente e S é variável dependente. (Estamos na página 70 da apostila) 9/92 Tópico 1

13 2 O Conceito de Função O gráfico a seguir representa o comportamento de uma substância intravenosa em um paciente com câncer. O mesmo modelo se aplicaria à ingestão de uma bebida alcoólica ou de um entorpecente, porém com variações distintas de tempo. (Estamos na página 70 da apostila) 10/92 Tópico 1

14 2 O Conceito de Função (Estamos na página 70 da apostila) 11/92 Tópico 1

15 2 O Conceito de Função O comportamento desta função, denominada função exponencial, pode ser expresso algebricamente pela lei matemática: (Estamos na página 71 da apostila) 12/92 Tópico 1 Q(t) = (1/2) t ou y = (1/2) x

16 2 O Conceito de Função Q e t expressam, respectivamente, as variáveis quantidade de substância e tempo em meses. Na expressão Q(t) simboliza que a quantidade de substância depende do tempo, logo, podemos classificar o tempo como variável independente e a quantidade de substância como variável dependente. (Estamos na página 71 da apostila) 13/92 Tópico 1

17 3 Definição de Função Função é um cálculo feito por meio de uma fórmula, regra ou lei algébrica, isto porque muitos fenômenos físicos podem ser melhor compreendidos se modelados matematicamente através de uma função. (Estamos na página 72 da apostila) 14/92 Tópico 1

18 4 Domínio e Imagem de uma Função Quando estamos analisando uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente. (Estamos na página 72 da apostila) 15/92 Tópico 1

19 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos a) f(x) = 3/x-2 (Estamos na página 73 da apostila) 16/92 Tópico 1 • a função foi definida no conjunto dos números reais; • se x=2 teríamos 3/0, que não é definida nos reais;

20 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos b) f(x) = x (Estamos na página 73 da apostila) 17/92 Tópico 1 • não existe a possibilidade de x<0, pois invalida a operação de raiz quadrada;

21 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos c) f(x) = 2x (Estamos na página 73 da apostila) 18/92 Tópico 1 • sem nenhum tipo de restrição algébrica;

22 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos (Estamos na página 73 da apostila) 19/92 Tópico 1 Uma microempresa especializada em lanches investe R$ 1.500,00 em equipamentos e gasta mais R$ 1,50 para cada lanche produzido. A equação C(q) = ,50q representa esta situação algebricamente, onde C é a variável que expressa o custo em função da quantidade q de lanches.

23 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos (Estamos na página 73 da apostila) 20/92 Tópico 1 O domínio da função refere-se ao conjunto de possíveis valores atribuídos a q (quantidade de lanches produzida) que determinarão o custo C. Observe que q pressupõe um valor inteiro não negativo, ou simplesmente um númeral natural:

24 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos a) f(x) = 3/x-2 (Estamos na página 74 da apostila) 21/92 Tópico 1 • a imagem consiste no conjunto de valores que f(x) pode assumir dados os valores atribuídos a x. Observe que f(x) pode assumir valores inteiros, positivos, negativos, mas jamais poderá ser zero, pois não existe um valor para o qual 3 possa ser dividido, resultando em quociente zero.

25 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos b) f(x) = x (Estamos na página 74 da apostila) 22/92 Tópico 1 • assim como no domínio, todos os reais não negativos;

26 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos c) f(x) = 2x (Estamos na página 73 da apostila) 18/92 Tópico 1 • sem nenhum tipo de restrição algébrica;

27 4 Domínio e Imagem de uma Função Exemplos (Estamos na página 73 da apostila) 19/92 Tópico 1 Para o exemplo expresso por C(q) = ,50q, o domínio ficou restrito ao conjunto dos números naturais, pois se referia à quantidade de lanches produzidos. Já o conjunto imagem será os reais não negativos, visto que a produção de 9 lanches, por exemplo, irá gerar um custo de C(9) = ,50(9) = 1.513,50 (que não pertence aos números naturais).

28 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora (Estamos na página 75 da apostila) 20/92 Tópico 1 Uma função é dita injetora se é uma relação um a um, ou seja, se para cada elemento distinto do domínio, x A, está associado um elemento distinto da imagem, y B.

29 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora (Estamos na página 75 da apostila) 21/92 Tópico 1 a) f(x) = x + 1 Observe que f é injetora, pois a cada elemento do conjunto de entrada A está associado um elemento do conjunto de saída B.

30 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora (Estamos na página 75 da apostila) 22/92 Tópico 1 • -1 • 0 • 1 • 2 • 0 • 1 • 2 • 3 • 4 ABf f f f

31 5 Classificação das Funções 5.1 Função Injetora (Estamos na página 76 da apostila) 23/92 Tópico 1 b) f(x) = x 2 Esta aplicação não é injetora, pois dois valores distintos do conjunto de entrada estão associados a um mesmo valor do conjunto de saída. Por exemplo, para x=3 e para x=-3 temos que f(3) = f(-3) = 9.

32 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 76 da apostila) 24/92 Tópico 1 Uma função é dita sobrejetora se a imagem for constituída por todo o conjunto B, ou seja, todos os elementos de B estiverem envolvidos na relação.

33 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 76 da apostila) 25/92 Tópico 1 a) f(x) = x 2 Observe que esta função é sobrejetora, pois o conjunto imagem é Im(f) = R, que é próprio conjunto B.

34 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 76 da apostila) 26/92 Tópico 1 • -2 • -1 • 0 • 1 • 4 • 1 • 0 AB f f f

35 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 76 da apostila) 27/92 Tópico 1 b) f: Z Z, y = f(x) = x Observe que esta função é sobrejetora, pois para cada valor Z do domínio, há relacionada uma imagem de mesmo valor em Z. Assim, dizemos Im(f) = Z = B.

36 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 77 da apostila) 28/92 Tópico 1 Gráfico 1 - Representação Gráfica da Função

37 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 77 da apostila) 29/92 Tópico 1 c) f: R R, f(x) = 2x 2 + 4x -1 Observe que ao tentarmos encontrar um valor de x para o qual f(x) = -4, obtemos uma equação do segundo grau completa que após resolvida não admite soluções reais:

38 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 77 da apostila) 30/92 Tópico 1 f(x) = 2x 2 + 4x -1 (função 2º Grau) -4 = 2x 2 + 4x -1 (equação 2º Grau) 2x 2 + 4x +3 = 0 (equação 2º Grau completa)

39 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 78 da apostila) 31/92 Tópico 1

40 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 78 da apostila) 32/92 Tópico 1 Não há solução, uma vez que -8 R.

41 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 78 da apostila) 33/92 Tópico 1 Gráfico 2 - Representação Gráfica da Função

42 5 Classificação das Funções 5.2 Função Sobrejetora (Estamos na página 78 da apostila) 29/92 Tópico 1 Observe pelo gráfico que as coordenadas do ponto mínimo para o qual existe imagem é x = -1 que gera y = -3, que são as coordenadas do vértice desta curva denominada parábola, gerada pela função f(x) = 2x 2 + 4x +3. Esta função não é classificada como sobrejetora.

43 5 Classificação das Funções 5.3 Função Bijetora (Estamos na página 79 da apostila) 30/92 Tópico 1 Uma função é dita bijetora se for, simultaneamente, injetora e sobrejetora, ou seja, se para diferentes valores de x A estiverem associados diferentes valores de y B e ainda se todos os elementos de B possuírem um elemento do domínio associado através de f. f(x) = 2x + 1

44 5 Classificação das Funções 5.3 Função Bijetora (Estamos na página 79 da apostila) 31/92 Tópico 1 • 0 • 2 • 1 • 5 • 7 AB f f f • 3 f(x) = 2x + 1

45 6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.1 Par Ordenado (Estamos na página 80 da apostila) 32/92 Tópico 1 Sejam os conjuntos A e B (não vazios); chamamos de par ordenado dos elementos de A e B ao par (a, b), onde a A e b B, nesta ordem. A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9}

46 (1, 2) é par ordenado de A e B, pois 1 A e 2 B. 6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.1 Par Ordenado (Estamos na página 80 da apostila) 33/92 Tópico 1 A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9} (4, 2) não é par ordenado de A e B, pois 4 A e 2 B. ? (8, 2) é par ordenado de A e B, pois 8 A e 2 B.

47 6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.2 Sistema Cartesiano Ortogonal (Estamos na página 81 da apostila) 34/92 Tópico 1 Quadrante IIQuadrante I Quadrante IIIQuadrante IV • Ponto A(5,4) A • Ponto C(-3,1) C

48 a) f(x) = 3x 6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano (Estamos na página 82 da apostila) 35/92 Tópico 1 xy=3x(x, y) -2-6(-2, -6) -3(-1, -3) 00(0, 0) 13(1, 3) 26(2, 6) 39(3, 9)

49 b) f(x) = -x 2 6 Representações Gráficas de Relações Matemáticas 6.3 Gráfico de uma função em Plano Cartesiano (Estamos na página 83 da apostila) 36/92 Tópico 1 xy=-x 2 (x, y) -2-4(-2, -4) (-1, -1) 00(0, 0) 1(1, -1) 2-4(2, -4)

50 Gráfico 6 – População Brasileira de 1940 a Função Crescente e Função Decrescente Exemplo de Função Crescente (Estamos na página 84 da apostila) 37/92 Tópico 1 Anos Milhões de Habitantes

51 Gráfico 7 – Tanque de Água se esvaziando 7 Função Crescente e Função Decrescente Exemplo de Função Decrescente (Estamos na página 84 da apostila) 38/92 Tópico 1 Tempo (em minutos) Volume (em litros)

52 Gráfico 8 – Comportamento de um Projétil 7 Função Crescente e Função Decrescente Exemplo de Função Crescente e Decrescente (Estamos na página 85 da apostila) 39/92 Tópico 1 * No intervalo de 0 a 3 seg a função é crescente. * No intervalo de 3 a 6 seg a função é decrescente.

53 TÓPICO 2 Função Polinomial do 1º Grau 40/92

54 2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim (Estamos na página 91 da apostila) 41/92 Tópico 2 Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é dado em função do número x de notas retiradas. A lei da função é dada por: f(x) = 230 – 50x

55 2 Função Polinomial do 1º Grau ou Função Afim (Estamos na página 91 da apostila) 42/92 Tópico 2 f(x) = 230 – 50x Esta função é polinomial do 1º grau ou função afim pois atende à seguinte definição: Existem dois números a e b, tal que f(x) = ax + b, para todo x R.

56 a) f(x) = 2x 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.1 Função Linear (Estamos na página 92 da apostila) 43/92 Tópico 2 xy=2x(x, y) -2-4(-2, -4) -2(-1, -2) 00(0, 0) 12(1, 2) 24(2, 4)

57 b) f(x) = -2x 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.1 Função Linear (Estamos na página 93 da apostila) 44/92 Tópico 2 xy=2x(x, y) -24(-2, 4) 2(-1, 2) 00(0, 0) 1-2(1, -2) 2-4(2, -4)

58 a) f(x) = 3 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante (Estamos na página 94 da apostila) 45/92 Tópico 2 xy=3(x, y) -23(-2, 3) 3(-1, 3) 03(0, 3) 13(1, 3) 23(2, 3)

59 b) f(x) = -3 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.2 Função Constante (Estamos na página 94 da apostila) 46/92 Tópico 2 xy=-3(x, y) -2-3(-2, -3) -3(-1, -3) 0-3(0, -3) 1-3(1, -3) 2-3(2, -3)

60 a) f(x) = x 3 Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.3 Função Identidade (Estamos na página 94 da apostila) 47/92 Tópico 2 xy=x(x, y) -2 (-2, -2) (-1, -1) 00(0, 0) 11(1, 1) 22(2, 2)

61 a) f(x) = x Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação (Estamos na página 95 da apostila) 48/92 Tópico 2 xy=x+2(x, y) -20(-2, 0) 1(-1, 1) 02(0, 2) 13(1, 3) 24(2, 4)

62 b) f(x) = x Casos Particulares da Polinomial do 1º Grau 3.4 Função Translação (Estamos na página 95 da apostila) 49/92 Tópico 2 xy=x-2(x, y) -2-4(-2, -4) -3(-1, -3) 0-2(0, -2) 1(1, -1) 20(2, 0)

63 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos (Estamos na página 96 da apostila) 50/92 Tópico 2 Exemplo 1: Dados o ponto P(2, 3), ou seja x=2 e y=3 (par ordenado) e o ponto Q(4, 5), ou seja x=4 e y=5, podemos encontrar a função que passa por estes pontos, levando em consideração que y = ax + b.

64 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos (Estamos na página 96 da apostila) 51/92 Tópico 2 y = ax + b xa + b = y 2a + b = 3 4a + b = 5 Ponto P(2, 3) Ponto Q(4, 5) -2a - b = -3 4a + b = 5.(-1)

65 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos (Estamos na página 96 da apostila) 52/92 Tópico 2 -2a - b = -3 4a + b = 5 2a / = 2 a = 1 2a + b = b = b = 3 b = 3 – 2 b = 1 y = ax + b y = x + 1

66 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos (Estamos na página 96 da apostila) 53/92 Tópico 2 Exemplo 2: Dados o ponto P(1, 2) e o ponto Q(3, 7), determine a função polinomial do 1º Grau.

67 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos (Estamos na página 97 da apostila) 54/92 Tópico 2 y = ax + b xa + b = y 1a + b = 2 3a + b = 7 Ponto P(1, 2) Ponto Q(3, 7) -a - b = -2 3a + b = 7.(-1)

68 4 Determinação de uma Função Afim a partir de dois pontos distintos (Estamos na página 97 da apostila) 55/92 Tópico 2 -a - b = -2 3a + b = 7 2a / = 5 a = 5/2 a + b = 2 5/2 + b = 2 b = 2 – 5/2 b = (4-5)/2 b = -1/2 y = ax + b y = (5/2)x – 1/2

69 5 Função Afim Crescente e Decrescente Função Crescente: a>0 (Estamos na página 98 da apostila) 56/92 Tópico 2 x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )

70 5 Função Afim Crescente e Decrescente Função Decrescente: a<0 (Estamos na página 98 da apostila) 57/92 Tópico 2 x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 )

71 TÓPICO 3 Função Polinomial do 2º Grau 58/92

72 2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática (Estamos na página 103 da apostila) 59/92 Tópico 3 O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é dado pela função abaixo, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo? C(x) = x 2 – 86x

73 2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática (Estamos na página 103 da apostila) 60/92 Tópico 3 C(x) = x 2 – 86x Esta função é polinomial do 2º grau ou função quadrática pois atende à seguinte definição: Existem números a, b e c, tal que f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0 e para todo x R.

74 2 Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática (Estamos na página 104 da apostila) 61/92 Tópico 3 Outros exemplos: • y = 2x 2 – 4x + 3 (a=2, b=-4, c=3) • f(x) = x (a=1, b=0, c=-4) • y = 5x – 3x 2 (a=-3, b=5, c=0)

75 a) f(x) = x Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau (Estamos na página 104 da apostila) 62/92 Tópico 3 xy=x 2 -1(x, y) -38(-3, 8) -23(-2, 3) 0(-1, 0) 0(0, -1) 10(1, 0) 23(2, 3) 38(3, 8)

76 b) f(x) = -2x Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau (Estamos na página 105 da apostila) 63/92 Tópico 3 xy=-2x 2 -1(x, y) -2-9(-2, -9) -3(-1, -3) 0(0, -1) 1-3(1, -3) 2-9(2, -9)

77 1º Caso: >0 Implica 2 raízes reais e distintas. 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 106 da apostila) 64/92 Tópico 3 Dada a função y = 2x 2 – x – 1, para obtermos os pontos de intersecção da parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação decorrente 2x 2 – x – 1 = 0.

78 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 106 da apostila) 65/92 Tópico 3

79 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 106 da apostila) 66/92 Tópico 3

80 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 107 da apostila) 67/92 Tópico 3 y = 2x 2 – x - 1 Implica 2 raízes reais e distintas. O coeficiente a = 2 implica que a concavidade da parábola seja para cima.

81 2º Caso: =0 Implica 2 raízes reais e iguais. 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 107 da apostila) 68/92 Tópico 3 Dada a função y = -x 2 + 6x – 9, para obtermos os pontos de intersecção da parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos a equação decorrente -x 2 + 6x – 9 = 0.

82 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 107 da apostila) 69/92 Tópico 3

83 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 107 da apostila) 70/92 Tópico 3

84 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 108 da apostila) 71/92 Tópico 3 y = -x 2 + 6x - 9 Implica 2 raízes reais e iguais. O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo.

85 3º Caso: <0 Implica a inexistência de raízes reais. 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 108 da apostila) 72/92 Tópico 3 Dada a função y = -x 2 + 4x – 5, verifique a inexistência de raízes reais, atribuindo zero à variável y e resolvemos a equação decorrente -x 2 + 4x – 5 = 0.

86 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 108 da apostila) 73/92 Tópico 3

87 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.1 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo X (Estamos na página 109 da apostila) 74/92 Tópico 3 y = -x 2 + 4x - 5 Implica a inexistência de raízes reais. O coeficiente a = -1 implica que a concavidade da parábola seja para baixo, porém sem ponto no eixo x.

88 4 Pontos Notáveis da Parábola Síntese sobre as raízes da função 2º Grau (Estamos na página 109 da apostila) 75/92 Tópico 3

89 4 Pontos Notáveis da Parábola Síntese sobre as raízes da função 2º Grau (Estamos na página 109 da apostila) 76/92 Tópico 3

90 4 Pontos Notáveis da Parábola Síntese sobre as raízes da função 2º Grau (Estamos na página 109 da apostila) 77/92 Tópico 3

91 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y (Estamos na página 110 da apostila) 78/92 Tópico 3 Dada a função y = x 2 - 6x + 5, construa o gráfico da parábola apresentando as intersecções com o eixo x e a intersecção com o eixo y. Para obtermos o ponto de intersecção da parábola com o eixo y basta atribuirmos zero à variável x.

92 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y (Estamos na página 110 da apostila) 79/92 Tópico 3

93 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y (Estamos na página 110 da apostila) 80/92 Tópico 3

94 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y (Estamos na página 110 da apostila) 81/92 Tópico 3

95 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.2 Pontos de Intersecção da parábola com o eixo Y (Estamos na página 110 da apostila) 82/92 Tópico 3

96 4 Pontos Notáveis da Parábola 4.3 O Vértice da Parábola (Estamos na página 111 da apostila) 83/92 Tópico 3 O vértice da parábola também é um ponto notável, pois determina valores de máximo, ou de mínimo, que expressam importantes informações acerca de uma determinada situação-problema que seja descrita pela função polinomial do 2º grau. X v = - (b/2a) Y v = - ( /4a)

97 5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau 5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau (Estamos na página 111 da apostila) 84/92 Tópico 3 Exemplo: a estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da função definida por y = -x x – 2000, sendo y o lucro em reais quando a empresa vende x unidades de determinado produto. Com base nisso, determine quantas unidades do produto devem ser produzidas para que a empresa atinja o lucro máximo e qual é esse lucro máximo.

98 5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau 5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau (Estamos na página 112 da apostila) 85/92 Tópico 3

99 5 Máximo ou Mínimo de uma Função de 2º Grau 5.1 Valor Mínimo de uma Função de 2º Grau (Estamos na página 112 da apostila) 86/92 Tópico 3 Assim, concluímos que devem ser fabricadas 60 unidades do produto para que o lucro seja máximo, no valor de R$ 1.600,00.

100 TÓPICO 4 Função Exponencial 87/92

101 1 Introdução (Estamos na página 115 da apostila) 88/92 Tópico 4 A função Exponencial expressa um crescimento ou decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento de juros compostos, importantes na matemática financeira.

102 2 Função Exponencial (Estamos na página 115 da apostila) 89/92 Tópico 4 Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1+i) t. Supondo que o capital aplicado é de R$ ,00 a uma taxa de 12% ao ano durante t anos, apresente a expressão algébrica que descreve esta situação.

103 2 Função Exponencial (Estamos na página 116 da apostila) 90/92 Tópico 4 Substituindo os dados na fórmula, obtemos a seguinte expressão algébrica: M = (1,12) t

104 3 Gráfico da Função Exponencial (Estamos na página 117 da apostila) 91/92 Tópico 4 a) f(x) = 2 x xf(x)(x, y) -21/4(-2, 1/4) 1/2(-1, 1/2) 01(0, 1) 12(1, 2) 24(2, 4) 38(3, 8)

105 2 Função Exponencial (Estamos na página 117 da apostila) 92/92 Tópico 4 Observe que no exemplo (a) a função y = 2 x é crescente. Isso ocorre sempre que a base for maior que 1. Observe também que, quanto menor for o valor de x, mais o gráfico da função se aproxima da reta suporte do eixo x, sem, no entanto, atingí-la.

106 3 Gráfico da Função Exponencial (Estamos na página 117 da apostila) 91/92 Tópico 4 b) f(x) = (1/2) x xf(x)(x, y) -24(-2, 4) 2(-1, 2) 01(0, 1) 11/2(1, 1/2) 21/4(2, 1/4)

107 2 Função Exponencial (Estamos na página 117 da apostila) 92/92 Tópico 4 Observe que no exemplo (b) a função y = (1/2) x é decrescente. Isso ocorre sempre que a base estiver entre 0 e 1. Neste caso, quanto maior for o valor de x, mais o gráfico da função se aproxima do eixo x, sem, no entanto, atingí-lo.

108 Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

109 PRÓXIMA AULA: Matemática 2º Encontro da Disciplina 1ª Avaliação da Disciplina (Redação com consulta)


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