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Distribuição da Proporção Amostral. Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende.

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Apresentação em tema: "Distribuição da Proporção Amostral. Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende."— Transcrição da apresentação:

1 Distribuição da Proporção Amostral

2 Uma Distribuição Amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar devido às flutuações casuais na amostragem (Variabilidade Amostral).

3 Distribuição Amostral da Proporção Plano de amostragem p - prop. populacional p - prop. amostral População p Amostra p

4 Exemplo  A população de um estudo é composta de 4 pessoas (N=4) e a variável de interesse é a proporção de pessoas altas (altura > 1,75m). N=4X 1 =1,50mX 2 =1,60m X 3 =1,70mX 4 =1,80m

5 Parâmetro N=4X 1 =1,50mX 2 =1,60m X 3 =1,70mX 4 =1,80m Proporção populacional: 1/4 = 0,25

6 Exemplo  Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), com reposição.  Qual será a proporção amostral?  Qual é a distribuição de probabilidades da proporção amostral?

7 Exemplo Amostra X 1 X 1 X 1 X 2 X 1 X 3 X 1 X 4 X 2 X 1 X 2 X 2 X 2 X 3 X 2 X 4 X 3 X 1 X 3 X 2 X 3 X 3 X 3 X 4 X 4 X 1 X 4 X 2 X 4 X 3 X 4 X 4

8 p , p Exemplo Amostra X 1 X 1 X 1 X 2 X 1 X 3 X 1 X 4 X 2 X 1 X 2 X 2 X 2 X 3 X 2 X 4 X 3 X 1 X 3 X 2 X 3 X 3 X 3 X 4 X 4 X 1 X 4 X 2 X 4 X 3 X 4 X 4

9 p , p Exemplo Amostra X 1 X 1 X 1 X 2 X 1 X 3 X 1 X 4 X 2 X 1 X 2 X 2 X 2 X 3 X 2 X 4 X 3 X 1 X 3 X 2 X 3 X 3 X 3 X 4 X 4 X 1 X 4 X 2 X 4 X 3 X 4 X 4 Total Prob. 1/16 Prob. 1/16 1

10 9/16 6/16 1/16 1 P(p)p 0 0,5 1 Total Distribuição Amostral da Proporção (com reposição)

11 P(X=0) = P(p=0)= ( ) 2 0 (1/4) 0.(3/4) (2-0) = 9/16 P(X=1)=P(p=0,5)= ( ) 2 1 (1/4) 1.(3/4) (2-1) = 6/16 P(X=2) = P(p=1)= ( ) 2 2 (1/4) 2.(3/4) (2-2) = 1/16 9/16 6/16 1/16 1 P(p)p 0 0,5 1 Total proporção = número de pessoas altas tamanho da amostra Binomial (n=2, p=1/4)

12  Valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da proporção. Distribuição Amostral da Proporção (com reposição)  p = E(p) = 0,25  p  = raiz(0,09375) = 0,30619

13 Exercício  Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), sem reposição.  Qual é a distribuição de probabilidades da proporção amostral?

14 p ,5 1 Amostra X 3 X 1 X 3 X 2 X 3 X 3 X 3 X 4 X 4 X 1 X 4 X 2 X 4 X 3 X 4 X 4 Exercício p , Amostra X 1 X 1 X 1 X 2 X 1 X 3 X 1 X 4 X 2 X 1 X 2 X 2 X 2 X 3 X 2 X 4

15 Exercício 0,5 1 P(p)p 0 0,5 Total valor esperado (média) e o desvio padrão da distribuição amostral da proporção.  p = E(p) = 0,25  p  = raiz(0,0625) = 0,25

16 0,5 1 P(p)p 0 0,5 Total  p = E(p) = 0,25  p  = raiz(0,0625) = 0,25 9/16 6/16 1/16 1 P(p)p 0 0,5 1 Total  p = E(p) = 0,25  p  = raiz(0,09375) = 0,30619

17 população finita população infinita ou muito grande ou amostra com reposição b)  = p n p.(1-p)  = p N - 1 N - n n p.(1-p) Distribuição Amostral da Proporção Características  = p p a)

18 c) A distribuição das proporções amostrais é binomial no caso de população infinita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal. d) A distribuição das proporções amostrais é hipergeométrica no caso de população finita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal. Distribuição Amostral da Proporção Características

19 A curva normal segue uma v.a. Y com média μ = 12 × 0,5 = 6 e variância σ 2 = 12 × 0,5 × 0,5 = 3. O histograma representa uma v.a. X com distribuição binomial com n = 12 e p = 0,5

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23 (a)Pr(X = k) (b)Pr(X ≤ k) (c)Pr(X < k) (d)Pr(X ≥ k) (e)Pr(X > k). (a) (b)(c) (d)(e) Pr (Y< k-0,5)

24 n.p=100.0,1=10 n.p.(1-p)=100.0,1.0,8=9

25 p=(12+0,5)/100=0,125  = p n p.(1-p)  = p p Solução alternativa usando proporção

26 2. Em uma sondagem, perguntou-se a membros de determinado sindicato se eles haviam votado na última eleição para a direção do sindicato e 701 responderam afirmativamente. Os registros oficiais obtidos depois da eleição mostram que 61% dos membros aptos a votar de fato votaram. Calcule a probabilidade de que, dentre membros selecionados aleatoriamente, no mínimo 701 tenham votado, considerando que a verdadeira taxa de votantes seja de 61%. O que o resultado sugere? n.p=1002.0,61 n.p.(1-p)=1002.0,61.0,39

27 Exercício  Um lote com 100 peças apresenta 20 com defeitos. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples com 20 elementos apresentar menos que 40% de pecas defeituosas? N N n n p p p=20/100

28 Exercício  = p N - 1 N - n n p.(1-p)  = p ,2.0,8 = 0, Usar o fator de correção

29 Exercício P 0,20,4 P(p<0,4)

30 Exercício Z 0,4 = = 2,49 0,4 - 0,2 0, Z 0 2,49 0,993613

31 Exercício (para casa) Um banco informa que apenas 10% dos 5000 clientes possuem saldo médio acima de $500. Se uma amostra aleatória de 100 correntistas daquele banco for retirada, qual é a probabilidade de haver mais de 15 clientes na amostra com saldo acima de $500? População finita : Resp = 0, População infinita: Resp = 0,047460


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