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Aula 3 Programação Linear - SIMPLEX Curso de Administração Prof: André Marques Cavalcanti.

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1 Aula 3 Programação Linear - SIMPLEX Curso de Administração Prof: André Marques Cavalcanti

2 3. MÉTODO SIMPLEX 3.1 Conceito e descrição do método para maximização 3.2 Solução de um modelo geral de programação linear pelo método simplex o problema da minimização o problema da variável livre o problema da solução básica Retorno ao modelo original 3.3 Aplicações Reais: Decisões do tipo fazer comprar, escolha da carteira de investimento, escala de funcionários 4. O problema do Dual e análise de sensibilidade O problema do dual. Análise de sensibilidade: Alteração em um dos coeficientes da função-objetivo, alteração do valor da constante da restrição

3 Fórmula Geral MAX (MIN) V = c 1 X 1 + c 2 X c n X n Sujeito a: a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n  b 1 a k1 X 1 + a k2 X a kn X n  b k a m1 X 1 + a m2 X a mn X n = b m a m1 X 1 + a m2 X a mn X n = b m Onde: c 1, c 2,..., c n = margem de contribuição; medida de custo; taxa de retorno, etc. a ij = quantidade do fator de restrição consumido em cada unidade produzida ou disponível para utilizar, etc. b i = valor máximo ou mínimo do recurso escasso

4 Método Simplex Baseia-se nas variáveis de FOLGA Base para os relatórios de Sensibilidade Sistema com n variáveis e m equações Seleciona m variáveis (BÁSICAS) Seleciona m variáveis (BÁSICAS) As demais assumem valor = 0 (NÃO BÁSICAS) As demais assumem valor = 0 (NÃO BÁSICAS) Calcula Função Objetivo para cada rodada Calcula Função Objetivo para cada rodada Escolhe a de maior valor Escolhe a de maior valor

5 Solução Computacional Para Problemas mais Complexos Solução via Excel Solução via Excel Ferramenta Solver

6 Condições Especiais Condições Especiais 1. Alternância de Soluções Ótimas 2. Restrições Redundantes 3. Soluções Ilimitadas 4. Soluções de Impossibilidade As duas primeiras não impossibilitam o modelo As duas primeiras não impossibilitam o modelo As duas últimas impossibilitam o uso do modelo As duas últimas impossibilitam o uso do modelo

7 Condições Especiais Alternância de Soluções Ótimas: Ocorre quando há mais de um ponto que maximiza (ou minimiza) o valor da função objetivo A existência de mais de uma solução possível não inviabiliza o uso da ferramenta Programação Linear Restrições Redundantes: Ocorre quando uma restrição não faz diferença na determinação da área de soluções factíveis

8 Soluções Ilimitadas MAX: x 1 + x 2 Sujeito a: x 1 + x 2  x 1 + 2x 2  400 x 1  0 x 2  0 Ocorre quando são encontradas soluções nas quais a função objetivo é infinitamente grande (maximização) ou infinitamente pequena (minimização) Exemplo:

9 Soluções Ilimitadas x1x1 x2x2

10 Solução Impossível Exemplo: MAX: x 1 + x 2 Sujeito a: x 1 + x 2  150 x 1 + 2x 2  200 x 1  0 x 2  0

11 Programação Linear O problema de programação linear consiste em maximizar ou minimizar uma função linear de várias variáveis, designada de função objetivo, em que as variáveis estão sujeitas a um conjunto de restrições, também lineares. As variáveis de decisão representam, em geral, níveis de atividades, as restrições podem resultar de limitações de disponibilidade ou de recursos ou requerimento mínimos que devem ser atendidos. A função objetivo representa uma medida do desempenho do sistema

12 Solução do PL Um vetor X que satisfaça a todas as restrições chama-se solução admissível. O conjunto de todas as soluções admissíveis é um poliedro convexo e designa-se por região admissível. A uma solução admissível que otimize a função objetivo chama-se solução ótima Em PL toda solução que satisfaça a condição de ótimo local é uma solução ótima global do problema

13 Resolução Por Método Gráfico É adequado apenas ao caso de duas variáveis Exemplo de aplicação Uma pequena oficina fabrica dois tipos diferentes: produto 1 e produto 2. O fabrico desse produtos requer três tipos diferentes de máquinas: A, B e C. Para cada unidade do produto 1 requer 1h nas máquinas do tipo A, 2h nas do tipo B e C. Cada unidade do produto 2 requer 1h na máquina do tipo A e B e 5horas nas máquinas do tipo C. A oficina possui várias máquinas dos 3 tipos com utilização máxima semanal de 50h para as do tipo A, 80h para os do tipo B e 220h nas do tipo C. Sabe-se que o lucro de uma unidade, de cada produto, é 25UM para o produto 1 e 20UM para o produto 2. Supõe-se que toda produção é vendida. Qual deve ser a produção semanal de modo a maximizar o lucro resultante?

14 X X1 Fazendo z=0 tem-se por exemplo (-8, 10) e (10, -12,5) Logo para esse valores Z=25x30+20x20=1150 (30,20) Z=0

15 O SIMPLEX Característica do Problema na Forma Padrão: A função Objetivo é de Maximização Todas as restrições são do tipo Igualdade Todos os lados direitos (constantes) são não-negativas Todas as variáveis de decisão são não-negativas Transformar um problema de Minimização em Maximização Minimizar Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n É equivalente a: Maximizar -Z = -c 1 x 1 - c 2 x c n x n Maximizar -Z = -c 1 x 1 - c 2 x c n x n Transformar os lados direitos negativos em positivo bastando multiplicar tudo por (-1) Se a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n ≤ -b 1 multiplica-se por -1 -a 11 x 1 - a 12 x a 1n x n ≥ b 1 -a 11 x 1 - a 12 x a 1n x n ≥ b 1 Uma solução básica viável: é uma solução básica em que todas as m variáveis básicas são não-negativas

16 Forma padrão e Variáveis desvio Passando o exemplo anterior para a forma padrão

17 Interpretando a forma padrão Na forma padrão as variáveis S são conhecidas por Slacks (folga) para as restrições do tipo = Surplus (excedente). No exemplo apresentado para x* 1 =30 e x* 2 = 20 obtém-se S= 60 Há uma sobra de 60 horas na máquina C. No exemplo apresentado para x* 1 =30 e x* 2 = 20 obtém-se S 3 = 60 Há uma sobra de 60 horas na máquina C.

18 O Método Simplex Usando a forma padrão do problema anterior tem-se A sua resolução conduz a uma solução que será admissível se os valores resultantes para s1, s2 e s3 forem não negativos, ou não admissível, se surgir algum valor negativo

19 Resolvendo o Simplex Atribui-se o valor zero as variáveis de não-básicas (x1 e x2 no exemplo) se obtendo como solução s1=50, s2 = 80 e s3 = 220 representando a quantidade não usada do recurso. Se deseja encontrar a solução ótima (quando ela existe) neste caso a maximização do lucro. Se ele existe e é finito está presente em pelo menos uma solução básica. Assim o simplex opera obtendo as soluções básicas

20 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b S1= S2= S3= Escolhe-se o menor elemento da linha 1 para indicar a coluna pivô Escolhe-se a linha com o menor valor de b positivo Resolução do simplex

21 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b ,5012, x2=20000,51-0, X1=40010, S3= Substitui na linha 3 S2 por X1=40 Divide a linha 3 por 2 e multiplica por 25 e soma a linha 1 (25-25, 12,5-20, 0+0, 12,5+0, 0+0, ) Divide a linha 3 por 2, subtraia linha 2 pela linha 3 (1-1, 1-0,5, 1-0, 0-0,5, 0-0, 50-40) Subritai a linha 4 da 3 (2-2, 5-1, 0-0, 0-1, 1-0, ) Resolução do simplex

22 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b x2=20000,51-0, X1= S3= Escolhe-se a linha 1 a coluna do menor coeficiente (-7,5) e a linha do menor b Substitui S1 por x2 = 20 (10/0,5) Divide a linha 2 por 0,5 e multiplica por 7,5 e soma a linha 1 (0+0,-7,5+7,5, 0+15, 12,5-7,5, 0+0, ) subtraia linha 3 pela linha 2 (1-0, 0,5-0,5, 0-1, 0,5+0,5, 0-0, 40-10) Multiplica a linha 2 por 8 e subtrai a linha 4 da 2 (0-0, 4-4, 0-8, -1+4, 1-0, ) Resolução do simplex

23 Outro Exemplo A brinquedos S/A fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: Soldados e Trens. Um soldado é vendido pro R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de materia prima. Cada sosldado fabricado aumenta os custos diretos e indiretos em R$ 14,00. Um term é vendido R$ 21,00 e usa R$ 9,00 de matéria prima. Cada trem aumenta o custo de mão de obra e indiretos em R$ 10,00. A fabricação requer dois tipo de mão de obra: carpinteiro e pintor. A fabricação de um soldado requer 2 horas de um pintor e 1 hora de um carpinteiro. Um trem 1 hora de pintor e de carpinteiro. Para cada semana a brinquedos pode conseguir toda a matéria prima, mas apenas 100h de pintura e 80 horas de carpintaria. A demanda de trens é ilimitada, mas a de soldado é no máximo 40 por semana. A brinquedos quer o máximo lucro

24 Definindo o modelo Usando a forma padrão do problema anterior tem-se A sua resolução conduz a uma solução que será admissível se os valores resultantes para s1, s2 e s3 forem não negativos, ou não admissível, se surgir algum valor negativo

25 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b S1= S2= S3= Escolhe-se o menor elemento da linha 1 para indicar a coluna pivô Escolhe-se a linha com o menor valor de b positivo, linha 4 Resolução do simplex

26 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b S1= S2= X1= Substitui Va B S3 por X1 = 40 Multiplica a linha 4 por 3 e soma com a linha 1 (3-3, 0-2, 0+0, 0+0, 3+0, 120+0) Multiplica a linha 4 por 2, subtrai a linha 2 da linha 4 (2-2, 1-0,1-0, 0-0,0-2,100-80) Subitrai a linha 3 da 4 (1-1, 1-0, 0-0, 1-0, 0-1, 80-40) Resolução do simplex

27 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b 1 Z= X2= S2= X1= Escolhe-se x2 da linha 2 Multiplica a linha 2 por 2 e soma com a linha 1 (0-0, 2-2, 2+0, 0+0, -6+3, ) Multiplica a linha 2 por -1, soma a linha 2 da linha 3 (0-0, 1-1,0-1, 1-0,-1+2,40-20) Multiplica a linha 2 por 0, soma 2 da 4 (1+0, 0+0, 0+0, 0+0, 1+0, 40+0) Resolução do simplex

28 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b x2= S3= X1= Escolhe-se a coluna da linha 1 com o menor coeficiente, escolhe-se a linha da coluna com o menor valor de b No caso s3 da linha 3, substitui-se a VB de S2 por S3 soma a linha 3 da linha 1 (0+0, 0+0, -1+2, 1+0, 1-1, ) substitui linha 1 Multiplica a linha 3 por 2 e soma com a linha 2 (0+0, 1+0, 1-2, 0+2, -2+2, 40+20) substitui linha 2 Subtrai a Linha 4 da linha 3 (1-0, 0-0, 0+1, 0-1, 1-1, 40-20) substitui linha 4 Resolução do simplex

29 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2s1s2s3b 1 Z= x2= S3= X1= Escolhe-se a coluna da linha 1 com o menor coeficiente, escolhe-se a linha da coluna com o menor valor de b No caso s3 da linha 3, substitui-se a VB de S2 por S3 soma a linha 3 da linha 1 (0+0, 0+0, -1+2, 1+0, 1-1, ) substitui linha 1 Multiplica a linha 3 por 2 e soma com a linha 2 (0+0, 1+0, 1-2, 0+2, -2+2, 40+20) substitui linha 2 Subtrai a Linha 4 da linha 3 (1-0, 0-0, 0+1, 0-1, 1-1, 40-20) substitui linha 4 Resolução do simplex

30 Adaptação para outros caso Variáveis artificiais e Método do Grande M Exemplo Usando o método

31 Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2e3f4x5 a b M0 2 x5 a = f4= Busca-se eliminar o M da variável fazendo Multiplica a linha 2 por -M e soma de L1 – substitui L1(-3-2M, 1-1M,M+0, 0+0, M-M, -5M) Mantém-se as demais Resolução do simplex

32 Exemplo Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2e3f4x5 a b 1 Z=-5M 1-3-2M1-MM00-5M 2 x5 a = f4= Escolhe o pivô da mesma forma que anteriormente: o menor coeficiente da linha 1 (define a coluna) e na coluna o menor valor de b Substitui f4 por x1=7 Multiplica a linha 3 por 1+2/3M soma com a linha 1: (3+2M-3-2M; 1+2/3M+1-M; M+1+2/3M; 1+2/3M, 0+0, 1+2/3M-5M) substitui linha 1

33 Exemplo Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2e3f4x5 a b 1 Z=-5M 102-1/3MM1+2/3M07-M/3 2 x5 a = f4= Escolhe o pivô da mesma forma que anteriormente: o menor coeficiente da linha 1 (define a coluna) e na coluna o menor valor de b Substitui f4 por x1=7 Multiplica a linha 3 por 1+2/3M soma com a linha 1: (3+2M-3-2M; 1+2/3M+1-M; M+1+2/3M; 1+2/3M, 0+0, 7+14/3M-5M) substitui linha 1 Divide a linha 3 e multiplica por 2; subtrai a linha 2 da linha 3; (2-2; 1-2/3; -1-0, 0- 2/3; 5-7*2/3) substitui a linha 2

34 Exemplo Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2e3f4x5 a b 1 Z=7-M/ /3MM1+2/3M07-M/3 2 x5 a =1/3 001/3-2/311/3 3 x1=7/3011/30 07/3 Escolhe o pivô da mesma forma que anteriormente: o menor coeficiente da linha 1 (define a coluna) e na coluna o menor valor de b Substitui f4 por x1=7 Multiplica a linha 3 por 1+2/3M soma com a linha 1: (3+2M-3-2M; 1+2/3M+1-M; M+1+2/3M; 1+2/3M, 0+0, 7+14/3M-5M) substitui linha 1 Divide a linha 3 e multiplica por 2; subtrai a linha 2 da linha 3; (2-2; 1-2/3; -1-0, 0- 2/3; 5-7*2/3) substitui a linha 2

35 Exemplo Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2e3f4x5 a b 1 Z=7-M/ /3MM1+2/3M07-M/3 2 x2=1 001/3-2/311/3 3 x1=7011/30 07/3 Escolhe o pivô da mesma forma que anteriormente: o menor coeficiente da linha 1 (define a coluna) e na coluna o menor valor de b Substitui x5 a por 1 Multiplica a linha 2 por -6+M soma com a linha 1: (0-0; -2+1/3M+2-1/3M; 6-M+M; 1+2/3M-4-2/3M; -6+M+0; -2+1/3M+7-M/3) substitui linha 1 subtrai a linha 3 da linha 2; (1-0; 1/3-1/3; 0+1, 1/3+2/3; 0-1, 7/3-1/3) substitui a linha 3

36 Exemplo Va B Coeficiente das VariáveisLado direito L 0 Zx1x2e3f4x5 a b 1 Z= M-65 2 x2= x1= Como não há coeficientes negativos na linha 1, não há mais espaço para melhorias e a solução básica é a ótima

37 Generalização Seja um problema de PL escrito na forma padrão com n variáveis (incluindo as variáveis de decisão e as desvio) e m restrições funcionais O método simplex opera do seguinte modo : determina uma solução básica admissível inicial Enquanto a solução atual não for ótima: -Seleciona a variável não básica que se tornará básica; - Determina a variável básica que se tornará não básica; - atualiza o quadro simplex usando a eliminação de Gauss Em cada rodada constroe um sistema equivalente

38 Dualidade em PL Todo problema de PL tem um outro problema associado chamado de Dual ( original o Primal). Um pode ser tranformado no outro embora tenham características diferentes apresentam a mesma solução ótima Como é mais fácil resolver um problema com mais restrições do que variáveis a dualidade lea a dois resultados importantes: facilita a solução do problema Permite um melhor entendimento do problema

39 No primal MIN Z = c 1 X 1 + c 2 X c n X n Sujeito a: a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n  b 1 a k1 X 1 + a k2 X a kn X n  b k a k1 X 1 + a k2 X a kn X n  b k a m1 X 1 + a m2 X a mn X n  b m a m1 X 1 + a m2 X a mn X n  b m

40 Transformação do dual em primal

41 Aplicações reais Para facilitar o processo de modelagem devemos responder as seguintes perguntas: Quem decide ? O que decide ? Para que decide ? Com que restrições ?

42 Decisão do tipo fazer ou comprar Caso LCL Motores LTDA A LCL Motores Ltda, uma fábrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ ,00 em pedidos de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A LCL pode terceirizar parte da sua produção. A tabela abaixo resume esses dados. A fábrica deseja determinar quantos motores ela deve produzir e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para atender a demanda de pedidos Modelo123total demanda u u 500 u u Montagem1h/u2h/u0,5h/u horas Acabamento 2,5 h/u 1h/u4h/u horas Custo Prod. R$ 50,00 R$ 90,00 R$ 120,00 Terceirização R$ 65,00 R$ 92,00 R$ 140,00

43 Solução Quem decide? O tomador de decisão – o gerente de fábrica O que decide? A quantidade de motores de cada tipo que deve ser fabricado e quantos devem ser a produção terceirizada. Logo as variáveis de decisão são: F1 unidades de motores do modelo 1 fabricado pela LCL F2 unidades de motores do modelo 2 fabricado pela LCL F3 unidades de motores do modelo 3 fabricado pela LCL F3 unidades de motores do modelo 3 fabricado pela LCL T1 unidades de motores do modelo 1 terceirizado T1 unidades de motores do modelo 1 terceirizado T2 unidades de motores do modelo 2 terceirizado T2 unidades de motores do modelo 2 terceirizado T3 unidades de motores do modelo 3 terceirizado T3 unidades de motores do modelo 3 terceirizado Para que decide? Maximizar o lucro da LCL, ou seja, Max Lucro – (50F1+ 90F F T T T3) que equivale a obter o mínimo custo: Min Z = 50F1+ 90F F T T T3 Com que restrições: De montagem F1+ 2F2 + 0,5F3 ≤ De acabamento 2,5F1 +1F2 + 4F4 ≤ De demanda F1 + T1 = motor tipo 1 F2 + T2 = motor tipo 2 F2 + T2 = motor tipo 2 F3 + T3 = 500 motor tipo 3 F3 + T3 = 500 motor tipo 3

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47 Escolha de carteira de investimento A LCL Investimentos gerencia recursos de terceiros por meio da escolha de carteiras de investimento para diversos clientes, com base em bonds de diversas empresas. Um dos seus clientes exige que: Não mais de 25% aplicado deve ser investido em um único investimento Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que dez anos O total aplicado em títulos de alto risco deve ser no máximo de 50% de total investido. A tabela abaixo mostra os dados dos títulos selecionados e mostra o % do total deve ser aplicado em cada tipo de titulo Retorno anual Anos de venc Risco Titulo18,7%15 1-muito baixo Titulo29,5%123-regular Titulo312,0%84-alto Titulo49,0%72-baixo titulo513,0%114-alto Titulo620,0%5 5-muito alto

48 Solução Variáveis de decisão P1 – percentual de participação do total aplicado no titulo tipo 1 P2 – percentual de participação do total aplicado no titulo tipo 2 P3 – percentual de participação do total aplicado no titulo tipo 3 P4 – percentual de participação do total aplicado no titulo tipo 4 P5 – percentual de participação do total aplicado no titulo tipo 5 P6 – percentual de participação do total aplicado no titulo tipo 6 Para que decide? O objetivo é fornecer o maior retorno anual possível, considerando as restrições impostas logo: Max Lucro= 0,087*P1/ ,095*P2/ ,12*P3/ ,09*P4/ ,13*P5/ ,20*P6/100 Restrições: P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 100 E P1, P2, P3, P4, P5, P6 ≤ 25 P1 + P2 + P5 ≥ 50 E P3 + P5 + P6 ≤ 50

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51 Escala de funcionários A LCL Correios e Molotes deseja determinar o número de funcionários de horários integral que deve contratar para iniciar as suas atividades. Para fazê-lo, recebeu uma tabela da ECT com o número mínimo de funcionários para o dia da semana. Essa informação encontra-se na tabela a seguir Dia da semana N de funcionários Domingo11 Segunda18 Terça12 Quarta15 Quinta19 Sexta14 Sábado16 O sindicato dos funcionários mantém um acordo sindical que determina que cada empregado deve trabalhar 5 dias consecutivos e folgar em seguida 2 dias. E que só deve ter funcionários de horário integral

52 O que decide? Deve-se determinar quantas pessoas devem trabalhar cada dia e quantas devem ser contratadas no total. Considere a variável de decisão Ni o número de empregados que irá iniciar o trabalho no dia i. Logo deseja-se:

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55 Análise de sensibilidade de PL Após a aplicação de qualquer modelo, é sempre recomendado que se faça uma análise de sensibilidade do modelo aplicado. Avalia-se quão sensível é o modelo em relação a variação em seus parâmetros – avalia-se a robustez do modelo Nos modelos de PL nem sempre os coeficientes ci, aij, bj são conhecidos com certeza. Em algumas situações é preciso fazer alterações dos valores de determinados coeficientes iniciais, e um estudo de análise de sensibilidade pode mostrar se após tais alterações a solução ótima encontrada para o modelo original se mantém. Casos estudados: Nos coeficientes das variáveis na função objetivo Mudanças nas constantes (preços sombra) Mudanças nas restrições (incluir novas variáveis, mudar coeficientes, incluir novas restrições, retirar variáveis, retirar restrições)

56 Caso de duas variáveis Mudança de cj Z=0 X1=11/7 X2=26/7 Declividade da linha B Declividade da F.O Declividade da linha A -4=<-c1/c2=<-1/5 Esta análise deve ser feita variando apenas um dos coeficientes de cada vez

57 Mudança nas constantes bj Esta mudança geralmente acarreta um alteração no conjunto das soluções viáveis. A alteração resultante no valor da função objetivo é chamado de Preço SOMBRA. Economicamente eles representam o quanto a função objetivo poderia ser melhorada, caso a quantidade de recurso/ representada por bj fosse aumentada em uma unidade


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