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11º MatViseu Conceitos de geometria…. Francisco Morgado.

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Apresentação em tema: "11º MatViseu Conceitos de geometria…. Francisco Morgado."— Transcrição da apresentação:

1 11º MatViseu Conceitos de geometria…. Francisco Morgado

2 11º MatViseu Funções … –Determinar o Df (CDf), aritmética intervalar,etc. –Reunião/intersecção de objectos Equação da recta e do plano… culinária Transição entre objectos, animações Bolzano suas implicações e suas limitações Determinação de zeros, porque falham alguns sistemas?, em pontos isolados, em componentes sem variação de sinal!!!!, …uma boa investigação!!!! Números complexos, aplicados na parte gráfica Várias dimensões….

3 Equação da recta A B Recta X = A + t*(B-A) t Segmento de recta X = A + t*(B-A); t [0,1] X = (1-t)*A + t*B; t [0,1] X = (1-t^2)*A + t^2*B; t [0,1]X = (1-t^0.5)*A + t^0.5*B; t [0,1] 1 1

4 Equação do plano u P W(A,B,C) v Ax+By+Cz+D=0 Importância!?

5 Equação da recta Qual a equação mais importante, para a programação ? Vectorial Paramétrica Cartesiana Reduzida Como posso saber quais os pontos que estão do mesmo lado?

6 Aplicação (culinária) - Como fazer Arroz Doce !? ArrozDoce(t) = (1-t)*Arroz + t*Doce; t [0,1] Se t 1 => Açucar Leite Arroz Açucar Leite Arroz ArrozDoce(s,t) = Arroz + s*Leite + t*Açucar; s,t [0,1] Açucar Leite Arroz

7 Aplicação (Estudo, cores, curvas bezier,…) - Aplicação ao estudo !? VidaEstudante(t) = (1-t)*Estudo + t*Diversão; t [0,1] Se t 1 ???; Se t = 0 (demasiado estudo) - Aplicação nas cores !? VidaEstudante(s,t) = Alimentação + s*Estudo + t*Diversão; MisturaCor(t) = (1-t)*Verde + t*Azul; t [0,1] - Aplicação nas curvas, … na renault (inicialmente Bezier, 1962)… Programa de Bezier…. Cor(s,t,u) = s*Vermelho+t*Verde + u*Azul; - Mais dimensões!?, como representar ?

8 Aplicação (transição entre objectos) Objecto(t) = (1-t)*Obj_Inicial + t*Obj_Final; t [0,1] t=0 t=1 t=0.75 t=0.4 t=0.2 t=0.3

9 Aplicação (transição entre objectos) E se tivermos Objecto(t) = (1-t^2)*Obj_Inicial + t^2*Obj_Final; t [0,1] Qual o efeito, na animação? (em ter (t), (t^2), t^0.5) t=0 t=1 t=0.75 t=0.4 t=0.2 t=0.3 Programa Deformação….

10 Teorema de Bolzano… Normalmente os softwares de visualização utilizam o Corolário T. Bolzano, para determinar os zeros de uma função!!!, Zeros com variação de sinal A B f(B) f(A) X A B f(B) f(A) Mas nas situações onde não existe variação de sinal!!!!!

11 Teorema de Bolzano… Zeros com e sem variação de sinal F(t)=f o r(t) [0,1] Componente sem variação de sinal de f Componente com variação de sinal de f (y-x).((x-2.2) 2 +(y-2.2) 2 ).((x+2.8) 2 +(y-2.2) ) 2 =0

12 Trabalhando com outras forças!!!!

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14 Funções… Como poderemos contribuir para melhorar os sistemas gráficos? F(t)=f o r(t) - Não basear o cálculo dos zeros na variação de sinal - Aritmética intervalar ? - Aritmética Afim ? - Df como determina? a b Y X

15 … Se é verdade que as funções com derivada são as mais simples, as mais fáceis de tratar, também é verdade que elas são as excepções, e não a regra. Ou, se se preferir uma linguagem geométrica, as curvas que não possuem tangente são a regra, enquanto as curvas regulares, como a circunferência, são casos, apesar de interessantes, muito particulares. Repare-se nesta fotografia: onde os ovos com cascas lisas são os mais raros! No entanto são os mais conhecidos pela sociedade em geral! rgado/Implicitas/ImplicitasModelacao.htm

16 Cálculo com intervalos… Aritmética intervalar: foi introduzida por R. Moore em 1966 no contexto de investigação matemática, sendo aplicada na representação de curvas, determinação de zeros,… A aritmética intervalar consiste num conjunto de operações simples sobre intervalos, nomeadamente : Adição: [a,b]+[c,d] = [a+c,b+d] Subtração: [a,b]-[c,d] = [a-d,b-c] Produto: [a,b]*[c,d] = [min(ac,ad,bc,bd), max(ac,ad,bc,bd)] Divisão: [a,b]/[c,d] = [a,b]*[1/d,1/c] - Considerar a função f(x,y) = x*y+y f(x,y) = y(x+1)

17 Subdivisão regular… Desafio, encontrar uma função que dê a: Reunião de duas ou mais funções Intersecção de duas ou mais funções Dividir para conquistar

18 Outro tipo de partição… Se A,B C então existe grande probabilidade de existirem mais pontos pontos da curva (C ) entre A e B. (a) Subespaço inicial e a árvore - - (b) Primeira partição + l1l1 l1l1 + (c) Segunda partição l1l1 l3l3 l2l2 l2l2 l1l1 l3l3 l1l1 l3l3 l2l2 l6l6 l5l5 l7l7 l4l4 (d) Terceira partição l2l2 l1l1 l3l3 l6l6 l7l7 l5l5 l4l4

19 Exemplos (2x 2 +y 2 +z 2 -1) 3 -(1/10)x 2 z 3 -y 2 z 3 = 0

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21 Números complexos… Z = ρcis(φ) Zα = 1cis(α) Zβ = 1cis(β) Z = Z*Zα*Zβ = ρcis(φ + α + β) ; Rotação Z = ρcis(φ) Conjugado(Z) = ρcis(-φ) Simetria XX Uma possível aplicação dos complexos, pode ser nas transformações geométricas…. Usadas nos jogos de computadores, onde o utilizador têm de rodar, ampliar, movimentar-se Z = ρcis(φ) Z^n = Z; Quantas rotações preciso de fazer para voltar ao estado inicial ?

22 Alguns desafios Encontrar uma teoria que permita determinar todos os zeros de uma função, sem usar pré-requisitos. Representar várias dimensões…(x,y,z,estado emocional, altura pessoa, etc) Propor um modelo de reformas que seja sustentável…, talvez usar eq. vectorial da recta???


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