Cálculo Integração Numérica Amintas Paiva Afonso

Apresentação em tema: "Cálculo Integração Numérica Amintas Paiva Afonso"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo 2 2.2- Integração Numérica Amintas Paiva Afonso
Ensino Superior Cálculo 2 2.2- Integração Numérica Amintas Paiva Afonso

2 Problema (I) y (x6,y6) g(x) (x7,y7) h(x) (x2,y2) (x3,y3) a x (x5,y5) b

3 Problema (II) x

4 Motivação Calcular a integral de uma função f(x) em casos onde:
f(x) é conhecida apenas em certos pontos II) é impossível calcular ou difícil de expressar a antiderivada F(x) de f(x)

5 Integração Numérica Utilizam-se funções polinomiais de interpolação para aproximar o valor da integral definida:

6 Aproximações para a integral
Regra do Retângulo (P0(x)) Regra do Trapézio (P1(x)) Regra de Simpson (P2(x))

7 f(x) do ponto à esquerda
Regra do Retângulo Aproximamos a integral de f(x) divindo o intervalo [a,b] em m subintervalos e calculando a área dos retângulos de base h=(b-a)/m e altura f(x), isto é, usando f(x) do ponto à esquerda usando f(x) do ponto médio usando f(x) do ponto à direta

8 Regra do Trapézio Aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1 que interpola (x0,y0) e (x1,y1)=(x0+h,y1) pela forma de Lagrange:

9 Regra do Trapézio Integrando o polinômio no intervalo [x0,x1]:

10 Regra do Trapézio Interpretação geométrica: a expressão anterior mostra que a integral de f(x) pode ser aproximada pela a área do trapézio: =x0 =x1 = x0+h y0 y1 h f(x)

11 Regra do Trapézio Repetida
Dividindo o intervalo de integração em m partes iguais de medida h=(b-a)/m, temos a Regra do Trapézio Repetida:

12 Regra de Simpson Aproximando f(x) pelo polinômio de grau 2 que interpola os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1))=(x0+h, f(x0+h)), (x2,f(x2))=(x0+2h, f(x0+2h)), temos:

13 Regra de Simpson

14 Regra de Simpson Integrando a expressão anterior no intervalo [x0,x2],
após simplificações, obtemos:

15 Regra de Simpson Interpretação geométrica: a integral de f(x) é aproximada pela área entre o eixo-x e a parábola que passa pelo ponto médio e pelos extremos do intervalo [a,b] :

16 Regra de Simpson Repetida
Subdividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos (sendo m par): obtemos a Regra de Simpson Repetida:

17 Estimativas de Erro Pela Regra dos Trapézios Repetida:
Pela Regra de Simpson Repetida:

18 Exercícios 1. a) Calcule a integral definida de f(x)=ex no intervalo [0,1] pelo método de Simpson com uma estimativa de erro inferior a b) Para se obter um resultado com estimativa de erro semelhante utilizando a Regra do Trapézio, quantas subdivisões do intervalo de integração são necessárias?

19 Exercícios a) Qual o erro máximo cometido na aproximação de pela regra de Simpson com quatro subintervalos? E por Trapézios? b) Calcule a integral pelos dois métodos e compare com a estimativa do item a).

20 Exercícios 3. Use a Regra de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor números de divisões e maior precisão). Justifique sua resposta.Trabalhe com três casas decimais.

21 Exercícios 4. Sabendo que a Regra de Simpson é, em geral, mais precisa que a Regra dos Trapézios, qual seria o modo mais adequado de calcular a integral definida de f(x) no intervalo dado, usando a tabela abaixo? Aplique este processo para determinar o valor da integral. x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 f(x) 1.2408 1.5735 2.0333 2.6965 3.7183

22 Exercícios para Entrega
a) Calcule a integral a seguir pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson, usando quatro e seis divisões do intervalo [a,b]. Compare os resultados. b) Quantas divisões do intervalo são necessárias, no mínimo, para se obter erros menores que 10-5, com cada uma das regras?

23 Respostas aos exercícios
1. a) m  8; para m=8 temos IS= b) m  ESR=0; IS=172; |ETR | ≤ 24; IT= IS= com erro zero. 4. I = (Trapézios no primeiro intervalo e o restante por Simpson). 1. a) Trapézios (m=4): Trapézios (m=6): Simpson (m=4): Simpson (m=6): b) Trapézios: 1382 Simpson: 80

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