Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Apresentação em tema: "Matemática e suas Tecnologias - Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1] ano Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico

2 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Abordaremos o assunto funções trigonométricas, mais especificamente a função seno, e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico.

3 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: O que são? Chamamos de um fenômeno periódico aquele que se repete sempre após o mesmo intervalo de tempo. Um exemplo mais simples de um fenômeno periódico é o dia. O movimento do Sol, que aparece pela manhã e se põe no fim da tarde até novamente aparecer de novo, determina o que chamamos de dia. Um outro conceito, que ajuda a complementar o anterior, é que os fenômenos periódicos são aqueles que se repetem periodicamente, ou seja, a cada período inteiro. Extraído de:

4 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: Por que são importantes? Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis para medir a passagem do tempo. Os corpos celestes são muito importantes porque, entre eles, há diversos que executam um movimento periódico que pode ser percebido por nós e, por isso, eles foram utilizados para construir o nosso calendário. Estando na Terra como nós estamos e olhando para o céu, nós podemos perceber muitos movimentos periódicos. Os mais fáceis de observar são os movimentos do Sol e o da Lua. Muitos fenômenos ou situações que estão presentes em nosso dia a dia são periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem. Um outro exemplo que colabora com essa afirmação é o nascer e o pôr do sol. Extraído de:

5 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: Um outro bom exemplo é a função sen x, pois a cada período de 2π tudo volta a se repetir: sen 0 = 0 sen 90º= 1 sen 180º= 0 sen 270º= -1 sen 360º(ou 0º) = 0. A partir daí, mais uma volta completa (2π), com todos os valores se repetindo, sucessivamente. Extraído de:

6 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Fenômenos periódicos: Antes de começar a apresentar a função seno, é importante destacar algumas informações: As funções trigonométricas são funções angulares, que caracterizam uma grande importância no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos, sendo considerada um ramo da matemática. E não para por aí! ... Além de estudar esses itens, estudam-se também as funções circulares: seno, cosseno e tangente. Logo a seguir, será explicada detalhadamente a função seno. Extraído de:

7 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico As funções trigonométricas podem ser modelo matemático de vários fenômenos que se repetem, como as variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou, ainda, o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré. Extraído de:

8 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Também são periódicos fenômenos como a tensão e a corrente elétrica domésticas, o campo eletromagnético gerado para aquecer comida no micro ondas, bem como o comportamento ondulatório de notas musicais, o fluxo de caixa em negócios sazonais e o funcionamento de máquinas rotativas. Extraído de:

9 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Ainda podem ser citados como fenômenos periódicos as fases da Lua, as estações do ano, o clima, o movimento dos planetas, entre outros. Extraído de:

10 Função trigonométrica seno no triângulo retângulo
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Função trigonométrica seno no triângulo retângulo

11 Relações num triângulo qualquer
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico A Relações num triângulo qualquer c b R O B a C

12 Comprimento de um arco MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico B Comprimento de um arco R O A

13 funções trigonométricas
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico cotg D Círculo e funções trigonométricas C E sen B cos A

14 Relações fundamentais:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Relações fundamentais:

15 Relações auxiliares: MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Relações auxiliares:

16 Função seno (y = sen x) MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Função seno (y = sen x) Chamamos de função seno a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja: f: R -> R. Assim, sua representação fica da seguinte forma: f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = sem x é positivo no 1º e 2º quadrantes e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe as imagens seguintes: Extraído de:

17 Variação da função básica
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Variação da função básica Função Domínio Período Imagem Par ou ímpar

18 Crescente ou decrescente
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Variação da função básica + + - - Sinais Crescente ou decrescente crescente decrescente 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante

19 Operações com arcos Adição e subtração: Arco duplo:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Operações com arcos Adição e subtração: Arco duplo:

20 Amplitude, domínio, período e imagem:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Amplitude, domínio, período e imagem: Amplitude A amplitude é a metade da distância vertical entre um ponto mínimo e um ponto máximo, ou seja: A = (ymax - ymin). Domínio O conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto que possui a função definida, ou seja, contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida, sendo um conjunto de saída; é, pois, o conjunto dos elementos que utilizamos como x na função. Extraído de:

21 Amplitude, domínio, período e imagem:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Amplitude, domínio, período e imagem: Período Denominamos período a distância entre dois pontos máximos ou o intervalo de repetição da função. Imagem Um outro elemento importante dos gráficos é o conjunto imagem, ou seja, o intervalo de variação da função. Para os gráficos das funções de Seno e Cosseno, o conjunto imagem é [-1,1], devido à amplitude, que é 1. Extraído de:

22 Exemplo de gráfico: MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Exemplo de gráfico: Período Deslocamento Amplitude Tempo (s)

23 Gráfico da função seno:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Gráfico da função seno: y 1 x -1

24 Software de simulação:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Software de simulação: A simulação a seguir apresenta dados referentes às funções trigonométricas no círculo trigonométrico. Neste mesmo software, as funções seno, cosseno e tangente estão sendo representadas por meio da circunferência, apresentando seus respectivos gráficos.

25 Software de simulação:
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Software de simulação:

26 MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Vídeo: Funções trigonométricas Este vídeo explica detalhadamente a construção dos gráficos da função Seno (assim como também das funções Cosseno e Tangente).

27 Extra: problema 1 (com ilustração)
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 1 (com ilustração) Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai do solo até o ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo? 60m 55° Imagem: Torsten Bätge / Torre / GNU Free Documentation License

28 Extra: problema 1 - solução
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 1 - solução Como se trata de um triângulo retângulo, podemos afirmar que sen 55º = 60/x ; x = 60/ sen 55°. Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos sen 55º = 0.819, logo: x = 60/0.819 = 73,26m, aproximadamente, o comprimento do cabo.

29 Extra: problema 2 (sem ilustração)
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 2 (sem ilustração) Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a altura h.

30 Extra: problema 2 - solução
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 2 - solução Bom, como o muro é perpendicular ao chão, o triângulo da figura se torna um retângulo. Então, sen 62º= h/4,5 h = 4,5 . sen 62° h = 4,5 . 0,88 = 3,96 (2 c.d) 0 3,96 é a altura h, aproximadamente.

31 Extra: problema 3 (pesquisa)
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 3 (pesquisa) Tire uma foto de algum fenômeno periódico. Promova pesquisas de aprofundamento do tópico desenvolvido no material de apoio apresentado e conceitue-o. (As pesquisas realizadas podem ser anexadas a esta apresentação posteriormente).

32 Extra: problema 3 - solução
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Funções trigonométricas seno e suas relações com os fenômenos que apresentam comportamento periódico Extra: problema 3 - solução As funções trigonométricas podem ser modelos matemáticos de vários fenômenos que se repetem; entre elas poderão ser apresentadas fotos a respeito das variações diárias da temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração ou ainda o nível de água de uma bacia marítima, devido à periodicidade da maré.

33 Tabela de Imagens n° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso 27 Torsten Bätge / Torre / GNU Free Documentation License 11/09/2012