Capítulo 2.

Apresentação em tema: "Capítulo 2."— Transcrição da apresentação:

1 Capítulo 2

2 Flambagem Primária

3 Flambagem Primária

4 Flambagem Secundária

5 Flambagem Secundária

6 Equações Básicas – Teoria da Elasticidade

7 O Método do Equilíbrio Neutro

8 A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

9 A Coluna Simplesmente Apoiada
z, w P x P L P w My x

10 Coluna Simplesmente Apoiada - Solução
w My x

11 O Comportamento da Coluna de Euler
dmax Equilíbrio Estável Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro

12 Coluna Bi-Engastada P M0 w x L z , w -EIw”

13 Coluna Bi-Engastada - Solução
P M0 w x -EIw”

14 Coluna Equivalente de Euler

15 Coluna em Balanço L P x z, w d 2L Coluna Equivalente de Euler Pd

16 Coluna em Balanço - Solução
w P Pd EIw” x -EIw”

17 Coluna com Restrições Elásticas
q M P M / L z, w kq L x M = kqq

18 Coluna com Restrições Elásticas - Solução
P M / L w x -EIw”

19 Restrição Elástica – Casos Particulares

20 Coluna em Pórtico P L x z, w EI q M

21 Comprimento Efetivo

22 Comprimento Efetivo

23 Coeficientes de Fixação
Restrições de Rotação nas Extremidades: Numa Extremidade Iguais, em Ambas as Extremidades

24 Coeficientes de Fixação
Restrições de Rotação Distintas nas Extremidades

25 Métodos de Energia O Método da Conservação da Energia
O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total Cálculo de Variações O método de Rayleigh-Ritz O método de Galerkin

26 O Método da Conservação da Energia
Trabalho das Forças Externas ds dw dx s L L’ D P z, w x, u

27 Trabalho das Forças Externas

28 Energia de Deformação

29 Energia de Deformação

30 O Método da Conservação de Energia
Exemplo A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%.

31 O Método da Conservação de Energia
A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 1,3%.

32 O Método de Conservação de Energia
Erro de 0,13% Erro de 0,014%

33 O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Trabalho das Forças Externas u du We DWe P Se o corpo é elástico linear, o trabalho é dado pela expressão We = ½ P u.

34 O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
de F DF s Energia de Deformação

35 O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Energia de Deformação

36 Energia de Deformação - Particularização
Unidimensional

37 Energia de Deformação - Particularização
Estado Plano de Tensões

38 O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”. Forças conservativas

39 O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Resumo – Exemplo Seja, A condição de equilíbrio é dada por . A natureza da equação do equilíbrio é dada por M k v Pp veq Mínimo g

40 Deseja-se achar o extremo de
Cálculo de Variações Deseja-se achar o extremo de

41 Cálculo de Variações

42 Possíveis condições de contorno
Cálculo de Variações Equação de Euler Possíveis condições de contorno

43 Cálculo de Variações - Exemplo
kq k P x EI(x) L z, w Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema kz(x)

44 Coluna com Suportes Elásticos - Formulação

45 Problema de Auto-Valor de 4a. Ordem - Solução

46 Problema de Auto-Valor: Caso Especial
Coluna simplesmente apoiada x w P Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço

47 Potencial de Cargas Concentradas e Distribuídas
p x(x) Pk h dh x xk Ponto de deslocamento horizontal nulo

48 O Método de Rayleigh-Ritz
wj(x) são funções assumidas que neces-sariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema.

49 O Método de Rayleigh-Ritz

50 O Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial
Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos a ij). Se a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser expressos em termos de em vez de

51 Método de Rayleigh-Ritz: Exemplo
Coluna de Seção Variável Erro de 0,97%

52 Método de Rayleigh-Ritz - Exemplo
Viga de Seção Variável - Solução com dois Termos Isto dá , exata em até três dígitos significativos

53 Método de Galerkin

54 Método de Galerkin Se os wj(x) satisfizerem todas as condições de contorno, os dois primeiros termos da equação acima se anulam identicamente e Erro na satisfação da equação de Euler é feito ortogonal às funções de base wj(x) no domínio

55 Coluna Sujeita a Grandes Deflexões
q dw ds dx

56 Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

57 Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

58 Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

59 Coluna Carregada Excentricamente

60 Coluna Carregada Excentricamente
Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente

61 Coluna com Forma Imperfeita

62 Coluna com Forma Imperfeita

63 Coluna com Forma Imperfeita
P/PE A1 A2 A3 0,0 0,4 0,8 0,9 0,95 1,0 0,667 4,00 9,50 20,0 0,111 0,25 0,29 0,33 0,047 0,08 0,11 0,12 0,13

64 Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)

65 Forma Imperfeita – Teoria Não-Linear

66 Colunas Imperfeitas - Observações
1)       A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ; 2)       Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3)       Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel-mente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero; 4)       As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P  PE ; 5)       As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ; 6)     Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.

67 Colunas Imperfeitas - Conclusões
A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada. Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais). Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.

68 Flambagem Inelástica de Colunas

69 Flambagem Inelástica de Colunas
as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente Et , e as fibras do lado convexo estendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E . Uma situação de carga constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo. todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a seção é o módulo tangente Et. Isto só é possível, se a carga continua aumentando durante a flambagem; ?

70 Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico
Teoria de Euler Início S IXX Ensaios mostram que teoria de Euler é não conservativa para colunas curtas Lamarle mostra que teoria de Euler vale no regime elástico Considère e Engesser, independentemente, mostram que teoria de Euler vale para colunas esbeltas; vale também para colunas curtas se E é substituído por um módulo efetivo Engesser – módulo tangente Considère – módulo duplo (ou reduzido) Von Karman re-deriva a teoria do módulo duplo e ensaios a substanciam – a teoria do módulo duplo passa a ser aceita universalmente (30 anos)

71 Flambagem Inelástica de Colunas - Histórico
Anos Extenso programa de ensaios em colunas em liga de alumínio pela indústria aeronáutica mostra a carga mais próxima àquela dada pelo módulo tangente do que Von Karman Críticos culpam as imperfeições iniciais e pobre controle sobre as condições de contorno pelas cargas menores obtidas nestes ensaios Indústria passa a utilizar a teoria do módulo tangente porque as condições dos testes eram típicas de condições operacionais Shanley resolve a questão

72 Modelo de Shanley s e rígida

73 Flambagem Inelástica - Conclusões
A carga do módulo reduzido satisfaz o critério clássico de estabilidade – coluna reta e fletida coexistindo sem aumento de carga; A carga do módulo reduzido corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente em condições especiais; o seu cálculo é complicado Carga máxima está entre os valores fornecidos pelas teorias dos módulos tangente e duplo Carga máxima está mais perto do valor dado pela teoria do módulo tangente Engenheiro está interessado na carga última sob imper- feições e não no ponto de bifurcação A carga do módulo tangente é conservativa para colunas retas ou com pequenas imperfeições; cálculo simples USAR A TEORIA DO MÓDULO TANGENTE

74 Teoria do Módulo Tangente
O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E.

75 Módulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood

76 Uso do Modelo de Ramberg-Osgood
Função de

77 Flambagem Inelástica – Formulas Empíricas
Fórmula da Reta Parábola de Johnson

78 Exemplo 1

79 Exemplo 1 Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um retângulo de dimensão 2,5” x 2,75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2): (no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

80 Exemplo 1 Cálculo de Iy: Para falha em torno do eixo
Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/r = 41.

81 Exemplo 1 Caso 1: Fc=50,5 ksi, donde P = 220 kips Caso 2:
sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26,7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.

82 Exemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-Osgood
Caso 1: temp. amb.: Ec = ksi, F0.7 = 59,5 ksi, n = 26, Fcy = 59 ksi A Fig. 2-41: Fc/F0.7 vs. B para n = 26: O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior! Caso2: ½ h. a 300oF: Ec = 9400 ksi, F0.7 = 46,5 ksi, n = 29, Fcy = 47 ksi A solução numérica fornece Fc/F0.7 = 0,880. A solução via Fig é Calculadora ou processo iterativo, resulta em Fc/F0.7 = 0.854, ou Fc = 50.8 ksi.

83 Exemplo 3 A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075-T6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões Desta forma, tem-se E1 = E2 = ksi Porção 1: Porção 2:

84 Exemplo 3

85 Acima do Limite de Proporcionalidade
Exemplo 4 A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais. Propriedades da extrusão Al 7075-T6: Ec = ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16,6, Fcy = 70 ksi Com L’/r = 12 / 0,219  55, obtém-se Fc = 33,5 ksi. Portanto, P = Fc A = 33,5 x 0,7854 = 26,3 kips ; f1 = 33,5 ksi e f2 = 26.3 / = 59,5 ksi Acima do Limite de Proporcionalidade Método Iterativo

86 Exemplo 4 Porção 1: f1 / F0.7 = 33,5 / 72 = 0,465  Et1 = E = ksi Porção 2: f2 / F0.7 = 59,5 / 72 = 0,826  Et2 = 0,735 E = ksi P=26,3 Pcr = 5,8 x x 0,0491 / 122 = 20,8 kips. 2a. Iteração P=23,6 f1 = 23,6 / 0,7854 = 30,05 ksi e f2 = 23,6 / 0,4418 = 53,42 ksi Porção 1: f1 / F0.7 = / 72 = 0,417  Et1 = E = ksi Porção 2: f2 / F0.7 = 53,42 / 72 = 0,742  Et2 = 0,735 E = ksi Pcr = 6,7 x x 0,0491 / 122 = 24 kips.