1AT 2006 Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira.

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1 1AT 2006 Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira

2 2AT 2006 Aula 9 a Resposta em Frequência –conceito base –filtros passa-baixo passa-alto passa e rejeita banda MATLAB –freqz() –butter()

3 3AT 2006 Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a resposta de sistemas a sinusóides Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas LTI são completamente caracterizados pela sua resposta a sinusóides Esta caracterização é conhecida como função de transferência –porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao serem transferidos através do sistema Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das suas características pelos sistemas LTI (fase e amplitude) é conveniente dividir em duas partes –resposta em amplitude e resposta de fase

4 4AT 2006 O conceito base Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides de várias frequências –para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa –considerando a resposta em amplitude só temos de medir a amplitude na saída Exemplo (Amplitude de entrada 2 V) FrequênciaAmplitude da sáida 125 Hz2 V 250 Hz2 V 500 Hz1.98 V 1000 Hz1.42 V 1500 Hz0.50 V 2000 Hz 0.18 V 3000 Hz0.02 V

5 5AT 2006 Problema E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide de 400 Hz ou 1733 Hz ? Para poder prever a resposta a uma sinusóide de qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela com uma linha para todas as possíveis frequências –ou seja um número infinito de entradas !!! A solução passa pela utilização de um gráfico, –com frequência no eixo horizontal –e amplitude no eixo vertical

6 6AT 2006 400 Hz  2 V 1733 Hz  0.3 V

7 7AT 2006 Passa-baixo Vantagem importante: –o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de frequência a amplitude de saída é igual à de entrada Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou atenuada Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da frequência) é conhecida por passa-baixo –devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo sistema sem alteração –enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas

8 8AT 2006 Respostas como quocientes No primeiro exemplo todas as medições usaram a mesma amplitude (2V) No entanto nem sempre é possível ou desejável essa situação Generaliza-se o conceito fazendo com que a resposta seja o quociente (razão) entre o nível do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada, ambos função da frequência Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)

9 9AT 2006 Aplicando ao exemplo anterior Tabela: FrequênciaAmplitude da sáidaAmplitude de Entradasaida/entrada 125 Hz2 V21 250 Hz2 V21 500 Hz1.98 V20.99 1000 Hz1.42 V20.70 1500 Hz0.50 V20.25 2000 Hz 0.18 V20.09 3000 Hz0.02 V20.01

10 10AT 2006 Filtros Sistemas que deixam passar uma gama de frequências melhor que outras são conhecidos em geral por filtros Existem dois tipos principais de filtros –passa-baixo –passa-alto

11 11AT 2006 Comando MATLAB freqz Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos das experiências com o comando filter() ) pode obter-se facilmente a resposta em frequência –freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1 –freqz(b,a,N,freq_amostragem); N = número de pontos para calcular –[h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem); h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta

12 12AT 2006 Passa-baixo idealmente não afecta as sinusóides abaixo de uma determinada frequência, designada por frequência de corte fc amplitude 1 0 “pass band” banda de passagem “stop band” banda de corte

13 13AT 2006 Na vida real um passa baixo será por exemplo em dB transição não instantânea frequência de corte definida pela frequência onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo

14 14AT 2006 Passa-alto Deixam passar sinusóides acima de um certa frequência Idealmente fc amplitude 1 0 “stop band” banda de corte “pass band” banda de passagem

15 15AT 2006 Filtros em paralelo 1 0 fc1 1 0 fc2 + 1 0 Rejeita banda

16 16AT 2006 Filtros em cascata fc2fc2 1 0 1 0 fc1fc1 1 0 Passa banda

17 17AT 2006 Comando MATLAB butter BUTTER Butterworth digital and analog filter design. [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order lowpass digital Butterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). –The coefficients are listed in descending powers of z. –The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample rate.

18 18AT 2006 If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2. [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter. [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].

19 19AT 2006 Resposta de fase Geralmente muito menos relevante que a resposta em amplitude –motivações perceptuais Define-se como a diferença entre as fases das sinusóides de entrada e saída Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f) Uma resposta de fase linear atrasa de um mesmo valor temporal todas as sinusóides

20 20AT 2006 TPC Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell

21 21AT 2006 Aula 9b Análise em frequência de sinais –Síntese –Análise –Conceito de espectro Análise espectral de sinais digitais –a DFT e FFT Análise em frequência de sinais reais –analógicos –digitais MATLAB –fft

22 22AT 2006 Análise de Fourier Para sinais analógicos periódicos

23 23AT 2006 Fourier Joseph Fourier foi um matemático Francês –do sec XIX Descoberta importante: –Qualquer sinal (periódico) pode ser decomposto num conjunto de sinusóides com frequências múltiplas da frequência do sinal

24 24AT 2006 Exemplo Frequência fundamental = 2.5 Hz –Cada período dura 0.4 segundos T

25 25AT 2006 Espectro Representando as amplitudes das várias sinusóides obtém-se o espectro de riscas (line spectrum) 1/T

26 26AT 2006 Harmónicos Sons periódicos apenas podem ter sinusóides que sejam múltiplas da sua frequência fundamental –Ex: frequência fundamental: 100 Hz Contem sinusóides de 100, 200, 300, etc Hz As componentes de sons periódicos chamam- se harmónicos

27 27AT 2006 Exemplo: síntese onda dente de serra nF (Hz) Amplitude (V) 11001.00 2200½=0.5 33001/3=0.33 4400¼=0.25 55001/5=0.2 66001/6=0.17

28 28AT 2006 Espectro Representação das amplitudes (fases) dos harmónicos

29 29AT 2006 Que acontece se reduzir a freq. Fundamental ? Os harmónicos ficam mais próximos –No primeiro estão espaçados de 100 Hz –No segundo caso espaçados de 50 Hz –...

30 30AT 2006 E se os sinais não forem periódicos ? O período de repetição será infinito As riscas do espectro ficam separadas de 1/T que neste caso será zero –Tem-se assim neste caso um número infinito de riscas –O sinal pode conter todas as frequências desde 0 até infinito –Trata-se da chamada Transformada de Fourier

31 31AT 2006 Análise de Fourier Normalmente não sabemos quais as sinusóides e amplitudes que devemos somar Temos de obter com base no sinal –o Teorema de Fourier diz como se faz um sinal periódico apenas contem frequências que são múltiplos inteiros de uma frequência base ou “fundamental” –conhecidas por harmónicos (ou componentes espectrais) Esta sequência de termos relacionados é conhecida por série –Sendo o processo conhecido por Série de Fourier

32 32AT 2006 fseriesdemo

33 33AT 2006 Análise de Fourier de sinais digitais DFT, FFT

34 34AT 2006 DTF e FFT Vimos que a série de Fourier converte uma onda num conjunto de sinusóides, tal que quando somadas, se obtém o sinal original A operação que converte uma onda digital em sinusóides (digitais) é a Discrete Fourier Transform (DFT) –A FFT é um algoritmo rápido de cálculo da DFT

35 35AT 2006 Exemplo Considere-se o sinal –x = [ -8 –8 –4 5 –2 4 7 9] Aplicando a DFT –Obtém-se 8 sinusóides – tantas como o número de amostras do sinal – de 0, 1, 2... 7 ciclos

36 36AT 2006

37 37AT 2006 Exemplo

38 38AT 2006 Aplicação a uma vogal

39 39AT 2006 Aplicação de análise de Fourier ao sinal de voz cujas características variam no tempo

40 40AT 2006 Segmentos (Frames) A análise pela DFT assume que o sinal mantém as suas características a seguir ao bloco analisado –O que não se verifica no sinal de voz A análise é efectuada em pequenos segmentos em que o sinal tem características estáveis –Cerca de 10 a 20 ms Cada segmento é designado em Inglês por frame

41 41AT 2006 Janelas Ao obter-se um segmento está implícito que se colocam a zero todos os valores fora do segmento –Isto corresponde à aplicação do que se chama janela rectangular Problema: o que se vê na FFT não são apenas as componentes devidas ao sinal mas também componentes devidas à janela Para evitar parcialmente este problema utilizam-se outras janelas, como as de Hamming e Hann

42 42AT 2006 Janelas Hamming Aplicada ao sinal

43 43AT 2006 Efeito na FFT

44 44AT 2006 Tamanho das janelas Para se usar DFT deve ser potência de 2 –32, 64, 128, 256, 512, 1024 Resolução na frequência pretendida –N amostras resultam em N pontos na frequência entre 0 e a freq. Amostragem Intervalo entre frequências= fa/N –N=fa/intervalo –Intervalo = 45 Hz => 10000/45=222 => 256 amostras –Intervalo = 300 Hz => 10000/300=34 => 32 amostras

45 45AT 2006 Análise em frequência de sinais reais sinais analógicos

46 46AT 2006 O problema base Até agora os espectros (análise espectral) referia-se a sinais com uma representação matemática “simples” Mas o que acontece quando pretendemos o espectro de sinais do mundo real, não definidos por uma fórmula matemática? –a transformada/série de Fourier apenas funciona com sinais abstractos “no papel”

47 47AT 2006 Uma solução Até recentemente, apenas existia uma forma prática de determinar o espectro nestes casos, utilizando filtros passa- banda –este tipo de filtro possui a propriedade de selectivamente atenuar as frequências abaixo e acima da região a que são mais sensíveis para saber a energia que existe numa gama de frequência apenas temos de fazer passar o sinal por um filtro passa-banda ajustado para essa gama Para ter o espectro numa gama de frequências teremos de ter vários filtros com a frequência central cobrindo o intervalo –o conjunto de filtros chama-se BANCO DE FILTROS –Por vezes a utilização de vários filtros não é viável (por exemplo pelo seu custo) utilizando-se um filtros com frequência central ajustável

48 48AT 2006 Exemplo: análise da onda triangular O sinal –período = 5 ms

49 49AT 2006 filtro para frequência central=200 filtro e saída Max=0.3748

50 50AT 2006 filtro para frequência central=300 filtro e saída Max aprox 0

51 51AT 2006 usando vários filtros...

52 52AT 2006 o caso digital aplica-se a DFT/FFT tantos pontos como os do sinal

53 53AT 2006 em termos de frequências