A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

1 Lógica de Primeira Ordem -3 Métodos de Prova com Quantificadores Provas Formais com Quantificadores Formas especiais de quantificação Referência: Language,

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "1 Lógica de Primeira Ordem -3 Métodos de Prova com Quantificadores Provas Formais com Quantificadores Formas especiais de quantificação Referência: Language,"— Transcrição da apresentação:

1 1 Lógica de Primeira Ordem -3 Métodos de Prova com Quantificadores Provas Formais com Quantificadores Formas especiais de quantificação Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulos: 12, 13, 14

2 Lógica de Primeira Ordem-2 Passos de prova com e n De uma condição universal, inferir que se verifica para um objecto específico: eliminação do universal – De x P(x) inferir P(c) n Da verificação de uma condição para um objecto particular, inferir uma condição existencial: introdução do existencial – De P(c) inferir x P(x) n Validade destes passos: depende de convenção da LPO – um nome denota sempre um objecto

3 Lógica de Primeira Ordem-3 Método da instanciação existencial n Partindo de asserção existencial: – criar um nome para o objecto a que se refere a quantificação – remover a quantificação n Uso no raciocínio comum – criar alcunha para objecto que se procura – raciocinar como se este fosse conhecido n Efeito: eliminação do existencial n Essencial: nome introduzido não pode estar a ser usado para outro objecto

4 Lógica de Primeira Ordem-4 Prova condicional geral n Raciocinar acerca de um objecto arbitrário de certo tipo n Provar uma afirmação universal sobre objectos desse tipo n Exemplo: Todos os alunos com boa nota a Programação sabem programar Todos os alunos do 3º ano tiveram boa nota a Programação Como concluir que todos os alunos do 3º ano sabem programar? Escolhe-se um aluno do 3º ano qualquer, chamemos-lhe Zé. Pela 2ª premissa, o Zé teve boa nota a programação. Então pela 1ª premissa o Zé sabe programar. Como o Zé é um aluno arbitrário do 3º ano, conclui-se que todos estes sabem programar.

5 Lógica de Primeira Ordem-5 S(x), P(x) e Q(x): wffs 1. Instanciação Existencial Tendo provado x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c e assumir S(c) 2. Condicional geral Para provar x (P(x) Q(x)), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, assumir P(c) e provar Q(c) 3. Generalização universal Para provar x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, e provar S(c) Métodos de prova com quantificadores

6 Lógica de Primeira Ordem-6 Regras de inferência para Eliminação do universal x P(x) P(c) Introdução do universal P(c) x P(x) Generalização universalInstanciação universal x : qualquer variável c : qualquer constante P(c) : resultado de substituir x por c em P(x) c : constante que não ocorre fora da prova em que é introduzida c

7 Lógica de Primeira Ordem-7 Prova Condicional geral n Equivalente a prova com introdução de universal: P(c) Q(c) P(c) Q(c) x (P(x) Q(x)) c Prova condicional geral Interesse: tornar provas formais mais semelhantes às informais P(c) Q(c) x (P(x) Q(x)) c

8 Lógica de Primeira Ordem-8 Exemplo 1. x (R(x) S(x)) 2. x R(x) R(d) S(d) Elim: 1 5. R(d) Elim: 2 6. S(d) Elim: 4,5 7. x S(x) Intro: 3-6 d Qualquer prova condicional geral (método efectivamente usado em provas informais) pode ser vista como a combinação de uma prova condicional com uma generalização universal

9 Lógica de Primeira Ordem-9 Regras de inferência para Introdução do existencial P(c) x P(x) Eliminação do existencial x P(x) P(c) Q x : qualquer variável c : qualquer constante P(c) : resultado de substituir x por c em P(x) c : constante que não ocorre fora da prova em que é introduzida, em particular em Q (Semelhante a eliminação da disjunção) c

10 Lógica de Primeira Ordem-10 Exemplo 1. x (Cube(x) Large(x)) 2. x (Large(x) LeftOf(x,c)) 3. x Cube(x) 4. Cube(e) 5. Cube(e) Large(e) Elim: 1 6. Large(e) Elim: 5,4 7. Large(e) LeftOf(e,c) Elim: 2 8. LeftOf(e,c) Elim: 7,6 9. Large(e) LeftOf(e,c) Intro: 6,8 10. x (Large(x) LeftOf(x,c)) Intro: x (Large(x) LeftOf(x,c)) Elim: 3, 4-10 e

11 Lógica de Primeira Ordem-11 Exemplo elaborado 1. x P(x) 2. x P(x) P(c) 5. x P(x) Intro: 3 6. Intro: 5, 2 7. P(c) Intro: P(c) Elim: 7 9. x P(x) Intro: Intro: 9, x P(x) Intro: x P(x) Elim: 11 c * Intro como estratégia geral: não funciona pq (1) não permite obter directamente P(c) ; usar contradição, com (1), via generalização universal; para provar P(c) usa-se a contradição

12 Lógica de Primeira Ordem-12 Exemplo n Premissas: 1. x y z ((Blabla(x,y) Blabla(y,z)) Blabla(x,z)) 2. x y (Blabla(x,y) Blabla(y,x)) 3. x y Blabla(x,y) n Conclusão: x Blabla(x,x) n Prova: – Instanciação existencial de 3: b e c arbitrários tais que Blabla(b,c) – De 2: Blabla(c,b) – Aplicando 1, com x=z=b e y=c : Blabla(b,b) – Sendo b arbitrário, por generalização universal: x Blabla(x,x) Onde está errada?

13 Lógica de Primeira Ordem-13 Métodos de prova n Nos métodos de prova para quantificadores – rever interacções entre métodos que introduzem novos nomes x(Rapaz(x) y(Menina(y) Gosta(x, y))) y(Menina(y) x(Rapaz(x) Gosta(x, y))) 2. é consequência lógica de 1. ??? – assumir 1; prova condicional geral: Assumir e : rapaz qualquer por 1., e gosta de alguma menina; seja f uma menina de quem e gosta e escolhido arbitrariamente, todos os rapazes gostam de f – generalização existencial, existe alguém de quem todos gostam 1. é consequência lógica de 2. – assumir 2; nome c para menina – Prova condicional geral para 1: Assumir d : rapaz qualquer todos os rapazes gostam de c, d gosta de c generalização existencial, d gosta de alguém d é arbitrário, 1 é verdadeiro

14 Lógica de Primeira Ordem-14 Prova Formal: exemplo Provas no sistema F : facilitam a verificação das restrições no uso dos nomes nas provas com quantificadores 1. x y R(x,y) y R(c,y) Elim: 1 4. R(c,d) 5. R(c,d) Reit: 3 6. R(c,d) Elim: 3, x R(x,d) Intro: y x R(x,y) Intro: 7 d c Erro: No passo 6, d é usado fora da subprova onde foi introduzido

15 Lógica de Primeira Ordem-15 Exemplo n Constantes novas usadas só dentro das provas onde estão definidas 1. y x R(x,y) 2. x R(x,d) R(c,d) Elim: 2 5. y R(c,y) Intro: 4 6. x y R(x,y) Intro: x y R(x,y) Elim: 1, 2-6 c d dc

16 Lógica de Primeira Ordem-16 Restrição aos métodos de prova Prova condicional geral de x[P(x) Q(x)] – Usa-se P(c) e prova-se Q(c) – Problema surge quando Q(c) menciona algum objecto cuja escolha depende do objecto c n Como garantir correcção? – Exigir que Q(c) não mencione nenhum nome que tenha sido introduzido por instanciação existencial após a suposição de P(c) Generalização universal: xP(x) a partir de P(a) – Exigir que P(a) não mencione nenhum nome que tenha sido introduzido por instanciação existencial após P (c)

17 Lógica de Primeira Ordem-17 Revisão dos métodos de prova com quantificadores S(x), P(x) e Q(x) são wffs 1. Instanciação Existencial – Tendo provado x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c e assumir S(c) 2. Prova condicional geral – Para provar x (P(x) Q(x)), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, assumir P(c) e provar Q(c) – Garantir que Q não contém qualquer nome introduzido por instanciação existencial após a suposição de P(c) 3. Generalização universal – Para provar x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, e provar S(c) – Garantir que S não contém qualquer nome introduzido por instanciação existencial após a suposição de S(c)

18 Lógica de Primeira Ordem-18 Exemplo Provar: Há um número infinito de primos x y (y x Prime(y)) Assumir: n arbitrárioProvar: Existe um primo maior ou igual a n k : produto de todos os primos menores que n Todos os primos menores que n dividem k com resto 0 m = k+1 Todos os primos menores que n dividem m com resto 1 m, como todos os inteiros, pode ser factorizado em primos p : factor primo de m p tem de ser maior ou igual a n Generalização existencial: existe um primo que é maior ou igual a n Como n é arbitrário: para todo o n existe um primo maior ou igual a n

19 Lógica de Primeira Ordem-19 ! n Quantificador de existência e unicidade Existe 1 e 1 só objecto que satisfaz P x[P(x) y(P(y) y=x)] Abreviatura: xP(x) n Variante para n objectos Existem exactamente n objectos que satisfazem P !n xP(x) n São abreviaturas, não quantificadores novos – LPO: expressões para quantificadores numéricos pouco sugestivas Tarskis World: apenas

20 Lógica de Primeira Ordem-20 Problema n Dar expressões em LN para as fórmulas seguintes. (Ver quais das expressões são logicamente equivalentes) xBlop(x) x y[Blop(y) y=x] x y[(Blop(x) Blop(y)) x=y]

21 Lógica de Primeira Ordem-21 Métodos de prova com afirmações numéricas n Métodos e regras básicas para quantificadores: suficientes n Afirmações numéricas: pouco sugestivas em LPO – Regras específicas clarificam significado n Exemplo: Há exactamente 2 salas de aula, e cada uma tem exactamente 3 computadores. Todo o computador está numa sala de aula. Provar que existem exactamente 6 computadores Existem no máximo 6: – Todo o computador tem de estar numa sala de aula – Cada sala tem no máximo 3 – Existem no máximo 6 nas duas salas Existem pelo menos 6: – Cada sala tem pelo menos 3 (Suposição: nenhum computador pode estar em 2 salas) – Há pelo menos 6 nas duas salas Existem exactamente 6

22 Lógica de Primeira Ordem-22 Provar !n xP(x) x[Par(x) Primo(x)] Existem pelo menos n objectos que satisfazem P(x) Existem no máximo n objectos que satisfazem P(x) Existência: 2 é par e é primo Por generalização existencial: x[Par(x) Primo(x)] Unicidade: Provar que para todo o x, se x é par e é primo então x=2 (Prova condicional geral) Supor que x é primo e par Como x é par, é divisível por 2 Como x é primo, só é divisível por si e pela unidade Então x =2

23 Lógica de Primeira Ordem-23 LPO: Limites da expressividade n Construções de LN que não se captam em LPO – se… entãotem usos que não são funcionais na verdade n Quantificações diversas – As expressáveis: requerem circunlóquios – Não expressáveis: a maioria…, muitas…, poucos…, bastantes…, n significado vago n precisando o significado: ainda não é expressável n Formas singulares e plurais Todos os alunos podem ter 18 a TC2 Qualquer aluno pode ter 18 a TC2 n Uso do tempo verbal e da referência no espaço – Em LPO: domínio intemporal de relações imutáveis

24 Lógica de Primeira Ordem-24 LPO: Limites da expressividade n Modalidades: – pode ser…, deve ser…, poderia ter sido…, n Extensões da LPO: têm soluções para as limitações n Exemplo(14.33): Do facto Poucos cubos são grandes pode concluir-se Poucos cubos são cubos grandes? n Exemplo(14.34): Do facto Poucos cubos são grandes pode concluir-se Poucos objectos grandes são cubos? n Exemplo(14.56): Serão equivalentes Sou capaz de comer cada uma das maçãs da taça e Sou capaz de comer todas as maçãs da taça?

25 Lógica de Primeira Ordem-25 Sintaxe versus semântica n Noções semânticas – indivíduo – relação – mundo, modelo, estrutura – verdade – satisfação – consequência lógica – fórmula válida n Noções sintáticas – símbolo de indivíduo – predicado – conectiva – quantificador – frase – fórmula bem formada – variável livre e ligada – regra de inferência – fórmula provável


Carregar ppt "1 Lógica de Primeira Ordem -3 Métodos de Prova com Quantificadores Provas Formais com Quantificadores Formas especiais de quantificação Referência: Language,"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google