ÁLGEBRA LINEAR Profª Balbina.

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1 ÁLGEBRA LINEAR Profª Balbina

2 Álgebra Vetorial e Geometria em R2 e R3

3 Considere o paralelogramo ABCD onde AD e BC são segmentos orientados:
Vetores Geométricos Introdução: Considere o paralelogramo ABCD onde AD e BC são segmentos orientados: ,tendo a mesma D C direção e sentido. A B Neste caso, AD e BC representam o mesmo vetor.

4 Concluindo os elementos de um vetor são:
módulo,direção e sentido. Vetores no plano R2 Em geral, todo vetor v do plano cartesiano pode ser associado a um par ordenado (a,b) onde a e b são números reais constituindo as coordenadas do vetor v.

5 Cálculo das componentes:
Se v= AB onde A= (x,y) e B= (z,w) então: v= B-A = (z-x, w-y) ex: A =(1,-1) e B=(5,1) Temos que: AB= B-A = (4,2) :

6 Operações com vetores: 1- Adição Se u=(x,y) e v=(z,w) então:
u + v = (x+z, y + w) Geometricamente: regra do paralelogramo 2- Multiplicação por um escalar Se k é um nº real e v=(x,y) então: kv = (kx, ky) u + v v u

7 Ex: Dados A=(11,-7), B(0,3) e C(-1,1) calcule o vetor:
2AB + 5 BC – CA Sol: AB= B-A=(0,3) – (11,-7) = (-11,10) BC = C-B = (-1,1) – (0,3) = (-1,-2) CA = A-C= (11,-7) – ( -1,1) =(12,-8) logo: 2(-11,10) + 5(-1,-2) – (12,-8) = (-39,18) Vetores no R3 = {(x,y,z) / x,y e z em R}

8 Representação geométrica:
D C E OX =eixo das abcissas OY= eixo das ordenadas OZ= eixo das cotas B F A Obs: Se P=(x,y,z) pertence ao R3 temos que: P está no plano XY quando z=0 P está no plano XZ quando y=0 P está no plano YZ quando x=0

9 Ex: Marque os pontos: A(1,3,7), B( 4,-1,1), C(0,3,2), D(-2,1,3) Cálculo das componentes: Se A( a,b,c) e B( d,e,f) então: AB = B –A = (d-a , e-b , f-c) ex: Se A(1,2,-5) B( 4,-3,0) e C( 6,4,1) calcule: 2AB +3BC-AC . Sol: AB= (3,-5,5) BC= (2,7,1) AC= (5,2,6) logo: 2(3,-5,5) +3 (2,7,1) –(5,2,6) = (7,9,7)

10 Paralelismo entre vetores:
no R2: Os vetores v= (x,y) e w= (z,t) são paralelos se: x/z = y/t no R3: Os vetores v = (x,y,z) e w = (u,h,t) são paralelos se : x/u = y/h = z/t Produto escalar de dois vetores: no R2: Dados u = (x,y) e v =(z,w) então: u.v = xz + yw no R3: Dados u=(x,y,z) e v=(u,h,t) então: u.v = xu + yh + zt

11 ex: (1,2) . (-3,4) = -3+8 = 5 (1,-2,-1) . (0,1,2) = 0-2-2= -4 Propriedades: i) u .u = 0 se e somente se u = 0 ii) u.v = v .u iii) u.(v + w) = u.v + u.w iv) (ku) .v = u.(kv) k nº real u.u = |u| 2

12 vi) | u + v| 2 = | u | u .v + | v | 2 vii) | u – v | 2 = | u |2 – 2 u.v + | v | 2 viii) ( u + v ) . ( u – v) = | u | 2-- | v | 2 Obs: Módulo de um vetor se u =(x,y)  | u | =( x 2 + y 2 ) ½ se v =(x,y,z) | v | = ( x 2 + y 2 + z 2 ) ½

13 Versor de um vetor: Dado um vetor v , o versor de v é um vetor unitário(v’) na mesma direção de v ,dado por: v’ = v / | v | ex: Calcule o versor do vetor v= (3,-4). sol: v’ = (3,-4) / ( (-4)2 ) ½ v’ = (3,-4) / 5  v’ = ( 3/5 , -4/5)

14 Projeção de um vetor: Se u e v são vetores e v  0 , temos que: proj uv = (u . v) / v. v v w1= = (componente vetorial de u ao longo de v) Obs: w2 = u – projv u é a componente vetorial de u ortogonal a v. graficamente: De fato: w1= |u| |v| cos θ v = u cos θ |v|2 pois v/│v│ = 1 u w2 ex: Sendo u(1,2) e v(0,-1) calcule as duas com- ponentes de u em relação a v. θ w1 v

15 Ângulo entre dois vetores:
Sendo u e v vetores não nulos ,e  o ângulo entre eles, então: u . v = | u| | v | cos  logo: cos  = u . v / | u | | v | Condição de ortogonalidade entre vetores: u  v  u . v = 0 ex: Prove que os vetores u=(-2,3,-2) e v=(-1,2,4) são perpen- diculares. De fato ; u.v = 2 +6 –8 = 0

16 Produto Vetorial: Def: Dados u= (a,b,c) e v=(d,e,f)  R3, então: u x v = i j k a b c d e f Propriedades: i)u x u = ii) u x v =0  u = 0 ou v = 0 iii) (mu) x v= m(u x v) u x( v + w)= u x v+ u x w v) u.(u x v) = v. (u x v) = 0 (u x v é ortogonal a u e v) vi) Se u0, v 0 e  o ângulo entre u e v, temos que: │ u x v│= u| |v| sen 

17 Obs: u x v = - (v x u) (não é comutativo)
u x (v x w)  (u x v) x w ( não é associativo) Interpretação geométrica do produto vetorial: Considere o paralelogramo ABCD determinado por u =AB e v = AC temos que: Temos que: |u x v| = SABCD C D v e portanto: S triangulo ABC = ½ | u x v| A B u dem: SABCD = | u| .h onde: h =altura do paralelogramo temos que: h = | v | sen  onde  = ângulo entre u e v assim: SABCD = | u | | v | sen  = | u x v|

18 Produto misto: Def: Dados os vetores u=(a,b,c) , v=(d,e,f) e w=(g,h,i),o produto misto dos vetores u,v e w é o nº real: (u,v,w) = a b c d e f g h i Obs: (u,v,w) = u . (v x w) ex: Se u=(2,3,5),v = (-1,3,3) e w=(4 ,-3,2) calcule (u,v,w).

19 Propriedades do produto misto:
i) (u,v,w) = 0  u=0 ou v=0 ou w=0 u.(v x w) = (u x v) .w iii) (u,v,w+r) = (u,v,w) + (u,v,r) iv) (u,v,mw) = (u,mv,w) = (mu,v,w) = m(u,v,w) onde m  R v) Se u,v,w são coplanares então u.(vxw) = (u,v,w) =0 Interpretação geométrica do produto misto: O produto misto u.(v x w) é em módulo o volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores u =AB, v= BC e w = CD. D assim: V =| (u,v,w)| C A B Volume do tetraedro: V = 1/6 | (u,v,w)|

20 De fato: w h h v u Sendo  o ângulo entre h e w temos: V= │uxv│. h = │uxv│ │w│cos  = │(uxv) . w│= │(u,v,w)│