MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc

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1 MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc
MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS A GESTÃO DE NEGÓCIOS Prof. Msc. Fábio Maia –

2 O que é Estatística? A Estatística basicamente se divide em 3 partes, a saber: Estatística Descritiva: Essa parte da Estatística utiliza números para descrever fatos. Compreende a coleta, a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas. Probabilidade: É utilizada para analisar situações que envolvem o acaso. Inferência: Diz respeito a coleta, redução, análise e interpretação de dados amostrais, a partir do que, tira- se conclusões sobre a população na qual os dados (amostra) foram obtidos.

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4 Estatística Resumidamente, podemos dizer que a estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

5 A Estatística 23 24 73 42 17 22 33 35 36 30 21 18 29 28 A estatística envolve técnicas para coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados, ou provenientes de experimentos, ou vindos de estudos observacionais.

6 Etapas da Analise Estatística

7 Tipos de Variáveis Em Estatística, variável é atribuição de um número a cada característica da unidade experimental de uma amostra ou população. Vários tipos de variáveis são encontradas no dia-a-dia, sendo importante a distinção entre as mesmas. Quando uma característica ou variável é não-numérica, denomina-se variável qualitativa ou atributo. Quando a variável é expressa numericamente, denomina-se variável quantitativa.

8 Aula1. Acurácia e Precisão

9 Distribuição de Freqüência
Com uma massa grande de dados é conveniente agrupá-los em classes com suas freqüências, a fim de extrair informações. Isto é denominado distribuição de freqüências. Embora se perca alguma informação a respeitos dos dados, a distribuição é útil na investigação das características da variável em estudo.

10 Alguns conceitos importantes:
Dados Brutos: são os valores numéricos obtidos após a crítica dos dados. Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de freqüência crescente ou decrescente. Amplitude total ou “range” ( R ): é a diferença entre o maior e o menor valor observados. Freqüência ( Fi ): é o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma mesma classe. Número de classes ( K ): não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes, mas as duas maneiras mais usuais são:

11 Amplitude das classes ( h ): é a amplitude total ( R ) dividida pelo número de classes:. Assim como no caso do número de classes ( k ), a amplitude das classes ( h) deve ser aproximada para o maior inteiro. Limites das classes: são os extremos de cada classe e existem diversas maneiras de representá-los: Exemplos: 15 ├─ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20, excluindo o 20 15 ├─┤ 20: compreende todos os valores entre 15 e 20. 15 ── 20: limite aparente, limite real 14,5 ── 19,5. 15 ─┤ 20: compreende os valores entre 15 e 20, excluindo o 15. Pontos médios das classes (xi ): é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Estes pontos estão representando cada um dos dados pertencentes à classe. Assim: se a classe for 12 ├─ 20, teremos: 16 como ponto médio da classe.

12 Freqüência acumulada ( Fac): é a soma das freqüências das classes.
Freqüência relativa (fi): é a porcentagem de um valor na amostra e é dada por fi=Fi/n. Representação de uma distribuição de freqüência:

13 Gráficos Observações:
Para representar graficamente dados agrupados em uma distribuição de freqüências, podemos utilizar um “histograma”, um “polígono de freqüências “ou um “polígono de freqüências acumuladas. Observações: Os gráficos facilitam a visualização dos valores que são amplamente usados na apresentação de dados estatísticos. Cabe destacar que os gráficos perdem informações, porque não mostram as observações originais. Ao inferir sobre uma população a partir de gráficos, deve-se ter bastante cuidado.

14 Histograma É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos, de tal forma que: As bases estão sobre um eixo ( eixo x ) com centro no ponto médio dos intervalos de classe e as larguras iguais às amplitudes dos intervalos das classes. A área de um histograma é proporcional a soma das freqüências das classes. A altura do histograma ( eixo y) deve corresponder a aproximadamente 70% do eixo x. Para a construção do histograma, colocamos no eixo dos x os limites de cada intervalo de classe e em y as freqüências das classes. Para construção da primeira classe, devemos deixar antes no eixo dos x um espaço ( no mínimo) igual ou superior a amplitude de classe.

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16 Polígono de Freqüência
É a representação gráfica de uma distribuição por meio de um polígono. Para a construção do polígono de freqüência partimos do histograma e projetamos os pontos médios de cada retângulo os quais estavam localizados sobre o eixo dos x no topo do retângulo. Devemos também aqui , tomar o cuidado de deixar no eixo dos x, um espaço correspondente a uma classe, tanto para a esquerda como para a direita.

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18 1. Medidas de Posição Central
Definição: representam os fenômenos pelos seus valores médios , em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. Dentre todas as medidas de tendência central, veremos: 1.1 Média; 1.2 Mediana; 1.3 Moda

19 1.1 Média Definição: é o valor médio de uma distribuição, determinado segundo uma regra estabelecida a priori e que se utiliza para representar todos os valores da distribuição. Representada por Pode ser: Aritmética; Ponderada; Harmônica; Geométrica.

20 Média Aritmética É a mais utilizada dentre todas as médias.
É dada pela fórmula: Onde: n é o número de valores em uma amostra; xi é cada variável que representa os valores individuais dos dados.

21 Média Aritmética Exemplo: um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em 4 provas. Sua média será: = ( )/4 = 7,75

22 Média Aritmética para Dados Agrupados
É calculada quando a informação disponível é o valor médio do intervalo i (Xi) e a frequência de intervalo i (f i):

23 Exemplo Considere os seguintes dados: 12,58 12,97 13,45 13,53 13,59
13,61 13,62 13,78 13,97 14,21 14,47 14,51 14,53 14,58 14,65 14,78 14,83 14,97 15,06 15,13 15,17 15,23 15,29 15,37 15,40 15,45 15,51 15,62 15,67 15,73 15,83 15,98 16,01 16,11 16,17 16,23 16,35 16,43 16,49 16,52 16,67 16,83 16,97 17,05 17,13 17,22 17,30 17,48 17,80 18,47

24 ...continuando Intervalos de classes Frequência absoluta 12,51 a 13,50
8 14,51 a 15,50 15 15,51 a 16,50 13 16,51 a 17,50 9 17,51 a 18,50 2

25 Média Ponderada Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa ou pesos relativos diferentes. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.

26 Média Ponderada É dada por: wi é o peso de cada xi .

27 Média Ponderada Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:

28 1.2 Mediana Definição: é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que este número de um grupo de dados ordenados separa a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior. Representada por ou Md. Isto é, 1/2 da população terá valores inferiores ou iguais à mediana e 1/2 da população terá valores superiores ou iguais à mediana. (a média não garante essa propriedade)

29 1.2 Mediana Para valores ordenados crescentemente, dois modos de calcular: Se n é ímpar, mediana é o valor central: Na amostra a mediana é 35 Se n é par, mediana é a média simples entre os dois valores centrais: Na amostra a mediana é = 41,5 2

30 1.2 Mediana para dados agrupados
1º: Calcula-se n/2; 2º: Achar qual das classes esse valor se encontra a partir das freqüências absolutas; 3º: Usar a fórmula Soma das freqüências anteriores a classe da mediana Amplitude da classe da mediana Limite inferior da classe Freqüência da classe da mediana

31 Exemplo Calcula-se n/2 50/2 Identifica-se a classe da mediana
Intervalos de classe Freqüência absoluta Freqüência acumulada 12,51 a 13,50 3 13,51 a 14,50 8 11 14,51 a 15,50 15 26 15,51 a 16,50 13 39 16,51 a 17,50 9 48 17,51 a 18,50 2 50 Calcula-se n/ /2 Identifica-se a classe da mediana Terceira classe

32 ...continuando Utiliza-se a fórmula: 14,51 = 11 = 13,4 = 0,99 = 15 =

33 1.3 Moda É o valor que ocorre com mais freqüência. Representada por Mo. Numa amostra, Mo pode não existir ou ser múltipla. Exemplos: Na amostra Mo = 31 Na amostra tem moda 52 e 60

34 Moda para Dados Agrupados
Utiliza-se a seguinte fórmula: - Limite inferior da classe modal = 14,51 - Diferença entre a freqüência da classe e a anterior = 7 - Diferença entre a freqüência da classe e a posterior = 2 - Amplitude da classe modal = 0,99

35 Moda para Dados Agrupados
Determinar a classe modal pela maior freqüência absoluta. Na tabela, a terceira, utilizando a fórmula: Notas Número de Alunos 0 |-- 20 2 20 |-- 40 7 40 |-- 60 23 60 |-- 80 16 80 |-- 100 3 Total 51

36 ...continuando Onde: - Limite inferior da classe modal = 40
- Diferença entre a freqüência da classe e a anterior = 16 - Diferença entre a freqüência da classe e a posterior = 7 - Amplitude da classe modal = 20

37 Comparação Para distribuições simétricas, a média, mediana e moda são aproximadamente iguais; Para assimétricas, observa-se o seguinte:

38 2. Medidas de Dispersão Definição: é um valor que busca quantificar o quanto os valores da amostra estão afastados ou dispersos relativos à média amostral; As medidas utilizadas para representar dispersão são: 2.1 Amplitude Total 2.2 Desvio Padrão; 2.3 Variância; 2.4 Amplitude Inter-quartílica.

39 Relações Empíricas entre Média, Moda e Mediana
Exemplo: A relação entre média e mediana para as amostras a seguir é: A Distribuição Simétrica B Distribuição Assimétrica à direita C Distribuição Assimétrica à esquerda

40 2.1 Amplitude Total Definição: também chamado simplesmente de Amplitude, é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados. Amplitude = (maior valor)-(menor valor); A amplitude é muito fácil de ser calculada, mas como depende apenas dos valores maior e menor, não é tão útil quanto as outras medidas de variação que usam todos os valores.

41 Amplitude Total Exemplo: 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 11,9
A amplitude é total: R = 11,9 – 8,5 = 3,4

42 Desvio Médio Absoluto É a média aritmética dos desvios
considerados em módulos (valor absoluto). .

43 2.3 Variância Definição: é uma medida da variação igual ao quadrado do desvio padrão. Representada por s2 ou σ2; Para a amostral: Para a populacional:

44 2.2 Desvio Padrão Definição: é uma medida da variação dos valores em torno da média em um conjunto de valores amostrais. Representado por s (para amostral) e σ (para populacional);

45 2.2 Desvio Padrão Para achar o desvio padrão de uma população, usa-se a expressão: Para uma amostra de n observações, x1, ..., xn, o desvio padrão S é definido como: n é o número total de variáveis na amostra; xi é o valor de cada variável; x é a média amostral;

46 Desvio Padrão = 3,16 Exemplo: para a amostra 10 12 14 16 18
A média é 14 e o desvio-padrão é calculado: Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero, pois a média é o valor central: 10-14=-4 12-14=-2 14-14=0 16-14=+2 18-14=+4 = 3,16 S =

47 Desvio padrão: dados agrupados
Considere os seguintes dados: Intervalos de Classe Freqüência Absoluta 12,50 a 13,50 3 13,51 a 14,50 8 14,51 a 15,50 15 15,51 a16,50 13 16,51 a 17,50 9 17,51 a 18,50 2 Ponto médio do intervalo S =

48 Coeficiente de Variação
Definição: para um conjunto de dados amostrais ou populacionais, expresso como um percentual, descreve o desvio padrão relativo à média, e é dado pelo seguinte: População Amostra

49 Coeficiente de Variação
É uma medida dimensional, útil para comparar resultados de amostras ou populações cujas unidades podem ser diferentes; Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil quando a média é próxima de zero.

50 TEORIA DAS PROBABILIDADES

51 Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos: Resultado no lançamento de um dado; Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; Condições climáticas do próximo domingo; Taxa de inflação do próximo mês; Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.

52 Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos: 1. Lançamento de um dado.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .  = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar.  = {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada.  = {t: t  0}

53 Eventos: subconjuntos do espaço amostral 
Notação: A, B, C ...  (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns eventos: A: sair face par A = {2, 4, 6}   B: sair face maior que B = {4, 5, 6}   C: sair face C = {1}  

54 À partida o resultado é desconhecido
Experiência Determinista Aleatória Lançamento de uma moeda Lançamento de um dado Totoloto Estado do tempo para a semana Extracção de uma carta Tempo que uma lâmpada irá durar Furar um balão cheio Deixar cair um prego num copo de água Calcular a área de quadrado de lado 9 cm À partida já conhecemos o resultado À partida o resultado é desconhecido

55 Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável. Chamamos de probabilidade de um evento A (A C S) o número real P(A), tal que: Onde n(A) é o número de elementos de A; n(S) é o número de elementos de S. Exemplo: Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos: S = {Ca, Co} n(S)=2 A={Ca} n(A)=1

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57 p + q = 1 Eventos Complementares
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 Assim, se a probabilidade de se realizar o evento é p=1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é q=4/5.

58 Eventos Independentes
Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. A probabilidade de que dois eventos se realizem simultaneamente é dada por P(x) = p1 x p2 Ex. Lançamos dois dados. A probabilidade de obter 1 no 1º dado é : p1= 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no 2º dado é p2= 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no 1º e 5 no 2º é : p = 1/6 x 1/6 = 1/36.

59 DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística. A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, a média  e o desvio padrão  da distribuição. FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo

60 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc. FACENSA – Estatística –(aula DIST. NORMAL) Prof. Neide Pizzolato Angelo

61 DIST. NORMAL (Gráfico e Equação)
definimos Se X ~ N( ;  2),

62 CARACTERISTICA DA DIST. NORMAL
pode assumir todo e qualquer valor real. A área total é igual a 1. o gráfico é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média , chamada de curva normal ou de Gauss. A curva normal é assintótica, isto é, aproxima- se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo . P(X ≥ ) = P(X ≤ ) = 0,5.

63 USO DA TABELA NORMAL PADRÃO Denotamos : A(z) = P(Z  z), para z  0.

64 Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular
a) P(Z  0,32) P(Z  0,32) = A(0,32) = 0,6255. Tabela

65 Encontrando o valor na Tabela N(0;1):
z 1 2 0,0 0,5000 0,5039 0,5079 0,1 0,5398 0,5437 0,5477 0,2 0,5792 0,5831 0,5870 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 Tabela

66 P(0 < Z  1,71) = P(Z  1,71) – P(Z  0)
b) P(0 < Z  1,71) P(0 < Z  1,71) = P(Z  1,71) – P(Z  0) = A(1,71) – A(0) = 0, ,5 = 0,4564. Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5. Tabela

67 c) P(Z  1,5) P(Z > 1,5) = 1 – P(Z  1,5) = 1 – A(1,5)
= 1 – 0,9332 = 0,0668. Tabela

68 Análise de Regressão

69 Análise de Regressão Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos uma análise de regressão. A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. A variável a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente.

70 Ajustamento da Reta Supondo X a variável independente e Y a dependente, vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter uma função definida por: Y = aX + b, onde a e b são parâmetros.

71 Ajustamento da Reta

72 Ajustamento da Reta Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não perfeita, como as que formam a tabela a seguir:

73 Ajustamento da Reta

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77 Matemática Financeira
Conceitos Básicos de Matemática Financeira

78 Fatores Necessários para Calcular o Valor dos Juros
Capital, principal ou valor presente: quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira, que será emprestada ou aplicada numa data inicial (data 0). Para a HP-12C, será simbolizado por PV (valor presente). Taxa de Juros: é a unidade de medida de juros, ou seja, o custo ou remuneração paga pelo uso de dinheiro durante determinado tempo. Tempo, prazo ou período: prazo em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) que o capital foi empregado à determinada taxa de juros. Regime de capitalização: refere-se ao processo de formação dos juros, que poderão ser simples ou compostos, conforme será visto a seguir.

79 Diferenças entre Juros Simples e Compostos
Onde: J = valor dos juros simples ($). P = valor presente, principal ou capital da operação. i = taxa de juros simples. n = prazo ou número de períodos da operação. J = P x i x n FV = P . (1 + i . n)

80 Diferenças entre Juros Simples e Compostos
Abaixo é apresentada a fórmula geral para o cálculo dos juros compostos. Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização simples, sendo seu valor constante durante os períodos; Os juros crescem exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composto, sendo que o montante calculado até o período anterior serve como base de cálculo para os juros do próximo período. n FV = P . (1 + i)

81 Conceito de Fluxo de Caixa
Qualquer problema de matemática financeira pode ser facilmente demonstrado por meio de um diagrama de fluxo de caixa, que consiste na representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Observe a sua representação básica: PV n i FV

82 Conceito de Fluxo de Caixa
Onde: A linha horizontal representa a linha do tempo, em que são destacadas as entradas e saídas de dinheiro; Uma entrada de caixa é representada por uma seta para cima e seu sinal, para efeitos de convenção, é positivo; Toda saída de caixa é representada por uma seta para baixo e seu sinal será negativo.

83 Capitalização Simples –
Juros Simples

84 JUROS SIMPLES O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES.
A TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O VALOR INICIAL (EMPRESTADO OU APLICADO). EX: Ci = $ 100,00 aplicados a 5% ao período. primeiro período: 100 x 0,05 = $ 5,00 segundo período: x 0,05 = $ 5,00 terceiro período : 100 x 0,05 = $ 5,00 n-éssimo período: 100 x 0,05 = $ 5,00

85 J = VP x i x n Juros em RCS Onde: j = Juros ( $ )
VP = Valor Presente ( $ ) i = Taxa ( unitária/período ) n = períodos

86 Exemplo 1 Um capital de $ 500,00 foi aplicado a taxa de 5% a.m. no RCS. Qual o valor dos juros mensais? J = VP x i x n J = 500 x 0,05 x $ 25,00 Na HP12C: 500 (ENTER) 5 % 25, (visor)

87 Altere sempre n e evite alterar i
IMPORTANTE Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base. SUGESTÃO: Altere sempre n e evite alterar i

88 Exemplo 2 Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? J = VP x i x n J = 120 x 0,04 x $ 33,60 Na HP12C: 120 (ENTER) 4 % 7 X 33, (visor)

89 MONTANTE OU VALOR FUTURO
SENDO: VF = VP + j e j = VP x i x n VF = VP + (VP x i x n) MONTANTE OU VALOR FINAL VF = VP x (1 + i x n)

90 Exemplo 3 Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação? VF = VP x (1 + i x n) VF = x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00 Na HP12C: 3000 (ENTER) 6 % 5 x ,00000

91 DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS.
VP = VF / (1 + i x n) VF = VP (1 + i x n) i = [(VF / VP) - 1] / n n = [(VF / VP) - 1] / i

92 Exemplo 4 Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação? VP = VF / (1 + i x n) VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00 Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x +  500, (visor)

93 Exemplo 5 O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação? i = [(VF / VP) - 1] / n i = [(400 / 200) - 1] / 5 $ 0,20 ou 20% a. m. Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5  , (visor)

94 Exemplo 6 A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação? n = [(VF / VP) - 1] / i n = [(134 / 68) - 1] / 0, ,53 meses Na HP12C: (ENTER) 68  1 – 0,02  (visor) 48, meses

95 IMPORTANTE Taxa (i) e Número de Períodos (n) devem estar sempre na mesma base. SUGESTÃO: Altere sempre n e evite alterar i

96 Exercício nº 5 Um capital de $ 120,00 foi aplicado a taxa de 4% a.m. no RCS por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação? J = VP x i x n J = 120 x 0,04 x $ 33,60 Na HP12C: 120 (ENTER) 4 % 7 X 33, (visor)

97 MONTANTE OU VALOR FUTURO
SENDO: VF = VP + j e j = VP x i x n VF = VP + (VP x i x n) MONTANTE OU VALOR FINAL VF = VP x (1 + i x n)

98 Exercício nº 6 Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestado para pagar dentro de cinco meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a. m. Calcule o valor futuro dessa operação? VF = VP x (1 + i x n) VF = x (1 + 0,06 x 5) $ 3.900,00 Na HP12C: 3000 (ENTER) 6 % 5 x ,00000

99 DERIVAÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE NO RCS.
VP = VF / (1 + i x n) VF = VP (1 + i x n) i = [(VF / VP) - 1] / n n = [(VF / VP) - 1] / i

100 Exercício nº 7 Uma aplicação feita no RCS rendeu um montante igual a $ 750,00 após cinco meses, a taxa de 10% a. m. Qual o capital inicial da operação? VP = VF / (1 + i x n) VP = 750 / (1 + 0,1 x 5) $ 500,00 Na HP12C: 750 (ENTER) 1 (ENTER) 0,1 (ENTER) 5 x +  500, (visor)

101 Exercício nº 8 O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obtenção de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação? i = [(VF / VP) - 1] / n i = [(400 / 200) - 1] / 5 $ 0,20 ou 20% a. m. Na HP12C: 400 (ENTER) 200 / 1 – 5  , (visor)

102 Exercício nº 9 A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 68,00 feita a taxa de 2% a. m. no RCS. Qual a duração da operação? n = [(VF / VP) - 1] / i n = [(134 / 68) - 1] / 0, ,53 meses Na HP12C: (ENTER) 68  1 – 0,02  (visor) 48, meses

103 Operações com Séries Uniformes

104 Séries Uniformes Objetivos:
discutir os principais aspectos associados às séries uniformes diferenciar séries antecipadas, postecipadas e diferidas.

105 Conceito de Séries Uniformes
Consistem em uma seqüência de recebimentos ou pagamentos cujos valores são iguais. Genericamente, as séries uniformes podem ser representadas de acordo com a figura seguinte.

106

107 Classificação das séries
Antecipadas Com entrada Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + … Postecipadas Sem entrada Exemplos … 2x, 5x, 6x …

108 n Pagamentos Periódicos
Séries Postecipadas O pagamento ocorre ao final do primeiro período Valor Presente Postecipada PMT n Pagamentos Periódicos Sem Entrada

109 A geladeira nova de Pedro
Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, sem entrada Valores nominais iguais Séries UNIFORMES Taxa da loja? Como obter PMT? +$1.000,00 i= 4% a.m. Álgebra Tabelas HP 12C 2 1 4 3 -PMT

110 VF Usando o bom senso Supondo JS VF = VP (1+in) VF = 1000 (1+0,04.2,5)
Pagamentos em 1, 2, 3 e 4 Prazo médio igual a 2,5 +$1.000,00 i= 4% a.m. n = 2,5 2 1 4 3 -PMT Supondo JS VF = VP (1+in) Cuidado! Valor aproximado por juros simples VF = 1000 (1+0,04.2,5) VF = 1100 VF Valor exato com juros compostos Como são feitos quatro pagamentos Pagamento = 1100/4 = $275,00

111 Usando a álgebra VP = an,i.PMT

112 an,i=3,6299 Usando a tabela Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49 N i 1 2
8 9 10 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 an,i=3,6299 Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49

113 g Beg g End Usando a HP 12C ou [n]: calcula o número de períodos
[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal g Beg g End ou

114 7 8 Na HP 12C BEG END Begin = Começo Antecipado Com entrada
Flag no visor End = Final 8 END Postecipado Sem entrada Sem Flag

115 $275,49 Exemplo na HP 12C i= 4% a.m. [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i]
+$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 -PMT [g] [END] Sem entrada ou [PMT] POSTECIPADA $275,49 em inglês END Com JS, $275,00

116 N Pagamentos Periódicos
Séries Antecipadas Valor Presente O pagamento ocorre no início do primeiro período Antecipada PMT N Pagamentos Periódicos Com Entrada

117 E se os pagamentos fossem …
Com entrada …

118 VF Usando o bom senso Supondo JS VF = VP (1+in) VF = 1000 (1+0,04.1,5)
Pagamentos em 0, 1, 2 e 3 Prazo médio igual a 1,5 +$1.000,00 i= 4% a.m. n = 1,5 2 1 4 3 Supondo JS -PMT VF = VP (1+in) Cuidado! Valor aproximado por juros simples VF = 1000 (1+0,04.1,5) VF = 1060 VF Valor exato com juros compostos Como são feitos quatro pagamentos Pagamento = 1060/4 = $265,00

119 A geladeira nova de Pedro
Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, com entrada +$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 -PMT

120 Usando a álgebra VP = (an-1,i+1).PMT

121 an-1,i=2,7751 Usando a tabela Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89
3 4 5 6 7 8 9 10 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 Pagamento = 1000/(1+2,7751) = $264,89

122 7 $264,89 Na HP 12C BEG [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] Com entrada
ANTECIPADA 7 BEG em inglês BEGIN [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] Begin = Começo Antecipado [g] [BEG] [PMT] Com entrada $264,89 Flag no visor

123 Exemplo A Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: 4 x sem entrada

124 - 157,574 3 Analisando o DFC: 4x Taxa igual a 2% a.m. Sem entrada
+600,00 [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [END] 2 [i] [PMT] - 157,574 3 2 1 4 3 -PMT Taxa igual a 2% a.m. Sem entrada Na HP 12C: g END

125 Exemplo B Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: 1 + 3 x

126 - 154,484 6 Analisando o DFC: 4x Taxa igual a 2% a.m. Com entrada
+600,00 [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [BEG] 2 [i] [PMT] - 154,484 6 2 1 4 3 -PMT Taxa igual a 2% a.m. Com entrada Na HP 12C: g BEG

127 Séries Diferidas VP = Valor Presente PMT = Prestações ou Pagamentos
n = número de pagamentos iguais Carência m + 1

128 E se os pagamentos fossem …
Diferidos …

129 A geladeira nova de Pedro
Pedro quer comprar uma geladeira Na loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, com primeiro pagamento após seis meses +$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 5 6 7 8 9 -PMT

130 Convertendo a diferida
+$1.216,65 +$1.000,00 i= 4% a.m. 2 1 4 3 5 6 7 8 9 -PMT É preciso capitalizar os $1.000,00 para a data cinco VF = VP(1+i)n = 1000.(1,04)5 = $1.216,65 Após a capitalização temos uma série postecipada convencional!

131 $335,17 Exemplo na HP 12C i= 4% a.m. [f] [Reg] 1216,65 [PV] 4 [n]
+$1.216,65 i= 4% a.m. 2 1 4 3 -PMT [g] [END] Sem entrada ou [PMT] POSTECIPADA $335,17 em inglês END

132 Prestação = amortização + juros
Sistemas de amortização – Conceitos gerais O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor. Tais prestações são formadas por duas parcelas: a amortização (A) e os juros (J), correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizados Prestação = amortização + juros ou PMT = A + J

133 Sistemas de amortização – Conceitos gerais
Prestação é o valor pago pelo devedor e consiste em duas parcelas: a amortização e os juros correspondentes ao saldo do devedor do empréstimo não reembolsado. Amortização é o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas periodicamente. É a devolução do capital emprestado. Os Juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e também denominados “serviço da dívida”. Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos cabe destacar: O sistema frânces de amortização (Tabela PRICE). O sistema de amortização constante (SAC).

134 Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICE
Nesse sistema de amortização, o mais utilizado pelas instituições financeiras e o comércio em geral, o devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (séries uniformes de pagamento). Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce à medida que as prestações são quitadas, eles serão decrescentes, e portanto as amortizações do principal serão crescentes. Exemplos: - Crédito Direto ao Consumidor - Financiamento de automóveis - Sistema Financeiro da Habitação

135 Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICE
Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 será pago pelo sistema de amortização francês em cinco prestações mensais postecipadas (END). Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização: (calcular PMT na HP-12C)

136 Sistemas de Amortização Francês - Tabela PRICE
Ou seja, para um determinado período, os juros serão calculados sobre o saldo devedor do empréstimo no início desse período: a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período; e o saldo devedor será calculado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior subtraído do valor amortizado no respectivo período Jn = SDn-1 * i An = PMTn - Jn SDn = SDn-1 - An

137 Sistemas de Amortização Constante - SAC
Nesse sistema de amortização, as prestações são decrescentes, as amortizações crescentes e os juros decrescentes. Calcula-se a amortização dividindo o principal pelo número de períodos de pagamento (An = SD0 / n). Exemplos: - Empréstimos de longo prazo do BNDES. - Empréstimos do Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID). - Empréstimos do Banco Mundial.

138 Sistemas de Amortização Constante - SAC
Exemplo: Um empréstimo de R$ ,00 será pago pelo sistema de amortização constante em cinco prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização:

139 Sistemas de Amortização Constante - SAC
Nesse sistema, a prestação inicial é superior à prestação (fixa) do sistema francês, que era de R$ ,48, ao passo que a última prestação é menor. Em suma, no início paga-se mais, porém termina-se pagando uma prestação menor que a do sistema frânces. An = SD0 / n SDn = SDn-1 - An Jn = SDn-1 x i PMT = A + J

140 Período de PAYBACK É o período de recuperação de um investimento e consiste em identificar qual o prazo em que o montante do dispêndio de capital efetuado num projeto, seja recuperado, através dos FC líquidos de um projeto. O Payback original, ou prazo de recuperação do capital, é encontrado somando-se os valores dos fluxos de caixa positivos ( e negativos, se houver) até que se atinja o montante dispendido no investimento.

141

142 Payback Simples (PBS) É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado. Exemplo: Aquisição de uma Copiadora moderna - Estimativa de economia Período (ano) Fluxo de Caixa (R$) Saldo (R$) Payback 0 (35.000) (35.000) (25.000) (15.000) ( ) Calcula-se o PBS por interpolação: (-5.000) 4 - 3 10.000 1 = 12 meses = 833,33 = 5.000 = 6 meses 833,33

143 Payback Descontado (PBD)
É o método de avaliação que mede o prazo de retorno do investimento realizado. Considera o custo de capital da empresa. O fluxo de caixa de cada período trazido a valor presente, ou seja, calculado o valor de cada fluxo na data zero. Exemplo: Uma determinada pretende recuperar o capital investido de R$ ,00 no máximo em 03 anos. Considerando que os fluxos líquidos de caixa deste investimento sejam de R$ R$ ,00 por ano a uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, como segue:

144 Payback Descontado (PBD)

145 Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual Líquido (VAL)
(Na HP-12C tecla NPV) Onde: NPV = net present value FC = Fluxos de Caixa i = custo de oportunidade (taxa de atratividade) VPL = VAEC - IL Onde: VPL = valor presente líquido VAEC = valor atual das Entradas de Caixa IL = Investimento Líquido

146 Critério de “Decisão” É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto. VPL > = 0  ACEITA-SE O PROJETO VPL < 0  REJEITA-SE O PROJETO

147 Exemplo : Investimento do “Seu” Zé
Vamos usar o exemplo do “seu" Zé: Zé pretende se aposentar e está estudando um investimento a ser feito com suas economias. O projeto consiste na compra de um táxi (e contratação de um motorista) para trabalhar no mercado nos próximos 5 anos. Levantou as seguintes informações: preço de um veículo novo = R$15.000,00; b) licença + placa comercial = R$10.000,00; c) despesas gerais com o veículo no 1° ano estimadas em R$6.000,00, prevendo-se um aumento de R$1.000,00 a cada ano. O faturamento anual é da ordem de R$24.000,00 e o salário anual para contratar um motorista é de R$6.000,00. Ao final do empreendimento, o Zé pretende vender a placa pelo mesmo valor de aquisição e o veículo por um valor residual de 40%.

148 Estrutura do Projeto do exemplo
1 2 3 4 12.000 11.000 10.000 9.000 24.000 5

149 Cálculo do VPL Usando matemática financeira e entendendo que o Zé quer uma taxa mínima de 15% de atratividade:

150 Usando teclas financeiras da HP-12C:
Cálculo do VPL Usando teclas financeiras da HP-12C:

151 Interpretação do VPL O valor encontrado para o VPL do projeto do “seu” Zé foi de R$17.405,55, que significa: O projeto é viável, pois o VPL > 0; Se o VPL fosse igual a zero, seria ainda igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15%; O VPL encontrado significa que o Zé, além de atingir o mínimo de 15% de retorno, teve um ganho em $ de R$17.405,55.

152 Taxa Interna de Retorno (TIR)
Uma das formas possíveis de pensar a TIR é: Onde: Sj = saída de caixa j. FCj = entrada de caixa j. i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR

153 Outra forma de representar a TIR
Outra forma de representar a TIR seria: Onde: FC0 = saída de caixa. FCj = entrada de caixa j. i = taxa de juros usada para atualizar os FC e S = TIR Portanto: a TIR é a taxa que “zera” o VPL!

154 Critério de “Decisão” É o critério utilizado na análise de investimentos, capaz de aceitar ou não determinado projeto. TIR > = K  ACEITA-SE O PROJETO TIR < K  REJEITA-SE O PROJETO

155 Cálculo da TIR (“IRR” na HP-12C)
Não há solução algébrica no conjunto dos números reais, para a equação que faz VPL=zero. Na verdade, é aqui que o uso da calculadora financeira mais se justifica. O cálculo seria então:

156 Interpretação da TIR O valor encontrado para a TIR do projeto do “seu” Zé foi de 39,19%, que significa: O projeto é viável, pois o TIR(39,19%) > K(15%) Se a TIR fosse (=15%) igual a K, seria ainda igualmente viável. O projeto, além de devolver o investimento, proporcionou um ganho exatamente igual ao mínimo esperado, atingindo a taxa de atratividade requerida de 15% O excedente encontrado em relação à taxa de atratividade (K) (39,19% - 15% = 24,19%) não tem significado na análise de investimentos. Só indica que riqueza está sendo agregada

157 Referências Bibliográficas
COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira., Estatística São Paulo, Edgard Blucher, 2002 MARTINS, Gilberto de Andrade., Estatística Geral e Aplicada São Paulo, Atlas, 2001 MORETTIN, Luiz Gonzaga., Estatística Básica São Paulo, Makron Books, 1999 KAZMIER, L. Estatística aplicada à Economia e Administração. São Paulo: McGraw-hill, p. FONSECA, J.S. da & MARTINS, G. de A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 6.ed, p. _________. Estatística aplicada, São Paulo: Atlas, 2.ed., p. SILVA, Ermes Medeiros da. Et al. Estatística: para cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, v. 1.