Representação no Domínio do Tempo de

Apresentação em tema: "Representação no Domínio do Tempo de"— Transcrição da apresentação:

1 Representação no Domínio do Tempo de
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs) Resposta Impulsional Definição; Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta impulsional: soma e integral de convolução; Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsional Sistema com e sem memória; Causalidade; Estabilidade; Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional. Equações Diferenciais e às Diferenças. Resolução de equações diferenciais e às diferenças; Diagrama de blocos. Modelo de Estado Transformações de semelhança; Diagonalização; Solução da equação de estado; Cálculo da matriz de transição; Resposta impulsional.

2 Resposta impulsional SLIT …
resposta no tempo do SLIT quando a entrada é um impulso unitário impulso unitário discreto resposta impulsional SLIT discreto SLIT impulso unitário de Dirac resposta impulsional SLIT contínuo Exemplo SLIT …

3 Resposta no tempo SLIT discreto O SLIT é linear
O SLIT é invariante no tempo Mas (soma de convolução)

4 Resposta no tempo Exemplo … … …

5 Resposta no tempo Exemplo

6 Propriedades da soma de convolução
Comutativa: Associativa:

7 Propriedades da soma de convolução
SLITs em série A convolução é associativa A convolução é comutativa A convolução é associativa

8 Propriedades da soma de convolução
Distributiva em relação à adição: SLITs em paralelo A convolução é distributiva

9 Resposta no tempo O integral de convolução é: comutativo; associativo;
SLIT contínuo integral de convolução O integral de convolução é: comutativo; associativo; distributivo em relação à adição.

10 Resposta no tempo Exemplo es e-s

11 Resposta no tempo Exemplo

12 Propriedades dos SLITs
1. Memória Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. SLIT discreto sem memória futuro da entrada presente da entrada passado da entrada SLIT contínuo sem memória

13 Propriedades dos SLITs
2. Causalidade Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores. presente da entrada passado da entrada futuro SLIT discreto causal SLIT contínuo causal

14 Propriedades dos SLITs
3. Estabilidade Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., SLIT discreto estável A resposta impulsional de um SLIT discreto estável é uma função absolutamente somável, i.e.

15 Propriedades dos SLITs
SLIT discreto estável Exemplo O SLIT é estável quando |a|<1 porque h(n) é absolutamente somável.

16 Propriedades dos SLITs
3. Estabilidade A resposta impulsional de um SLIT contínuo estável é uma função absolutamente integrável, i.e. Exemplo O SLIT é estável quando a > 0 porque h(t) é absolutamente integrável.

17 Propriedades dos SLITs
Exemplos Com memória porque ; Causal porque para ; Com memória porque não é um Dirac na origem; Estável porque Causal porque só é diferente de zero para ; Estável porque Com memória porque ; Não causal porque existe para o qual , p. ex ; Instável porque

18 Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional
SLIT discreto Exemplo y(n) n 3 2 -1 -2 -3 1 … y(n-1) 2 1 … h(n) n 3 2 -1 -2 -3 1 …

19 Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional
SLIT contínuo Exemplo

20 Equações diferenciais
Sistema de 1ª ordem

21 Resolução de equações diferenciais
Sistema contínuo Sinal de entrada: Modelo: Condição inicial:

22 Resolução de equações diferenciais
Solução homogénea Solução particular ? ? ?

23 ? Resolução de equações diferenciais Solução homogénea
equação característica

24 Resolução de equações diferenciais
Solução particular

25 Resolução de equações diferenciais
Solução particular

26 Resolução de equações diferenciais
Resposta completa ? Condição inicial + continuidade da solução

27 Resolução de equações diferenciais
Resposta completa devido a y0 devido a x(t) regime transitório regime estacionário

28 Resolução de equações diferenciais
rad/s; ;

29 Sistema contínuo de ordem N
Condições iniciais: Solução: mesma forma do sinal de entrada Equação característica Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais: nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear

30 Equações às diferenças
Sistema discreto Sistema de 2ª ordem Condições iniciais Cálculo de para : etc

31 Resolução de equações às diferenças
Sistema discreto Sinal de entrada: Modelo: Condição inicial:

32 Resolução de equações às diferenças
Solução homogénea Solução particular ? ? Equação característica:

33 Resolução de equações às diferenças
Solução particular

34 Resolução de equações às diferenças
Resposta completa

35 Resolução de equações às diferenças

36 Resolução de equações às diferenças: resposta impulsional
Sistema discreto Sinal de entrada: Modelo: Condição inicial: Solução particular:

37 Resolução de equações às diferenças: resposta impulsional
Equação característica: Da equação às diferenças com e e da expressão de :

38 Sistema discreto de ordem N
Condições iniciais: Solução: mesma forma do sinal de entrada Equação característica Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais: nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear

39 Diagrama de blocos

40 Diagrama de blocos Forma directa I

41 Diagrama de blocos

42 Diagrama de blocos Forma directa II

43 Modelo de Estado Equações de estado: Variáveis de estado
Equação de saída

44 Modelo de Estado Vector de estado: Equações de estado:
Equação de saída:

45 Diagrama de blocos

46 Diagrama de blocos Forma directa I

47 Diagrama de blocos Forma directa II

48 Modelo de Estado Equações de estado: Equação de saída

49 Modelo de Estado Vector de estado: Equações de estado:
Equação de saída:

50 Contínuo Discreto Modelo de Estado estados, entradas, saídas.
Equação de Estado Equação de Saída - matriz da dinâmica - matriz de entrada - matriz de saída constantes Sistema invariante no tempo

51 Modelo de Estado Vector de estado

52 Equação diferencial 1º passo: Obter as variáveis de estado em função de y(t) e das suas derivadas.

53 Sistema de 2ª ordem Equação diferencial

54 Equação Diferencial vs. Modelo de Estado
O modelo de estado de um sistema não é único

55 Modelo de Estado Vector de estado

56 Equação às diferenças 1º passo: Obter as variáveis de estado em função de y(n), y(n+1)...

57 Equação às diferenças Sistema de 2ª ordem

58 Equação às Diferenças vs. Modelo de Estado
O modelo de estado de um sistema não é único

59 Transformação de semelhança
Modelo II Modelo I SISTEMA CONTÍNUO não singular SISTEMA DISCRETO

60 Transformação de semelhança

61 Transformação de semelhança

62 Transformação de semelhança

63 Transformação de semelhança

64 Transformação de semelhança

65 Transformação de semelhança

66 Transformação de semelhança

67 Transformação de semelhança

68 Transformação de semelhança

69 Transformação de semelhança

70 s(t)= Tz(t) OU s(n)=Tz(n)
Diagonalização Dada uma matriz da dinâmica A, qual a transformação de coordenadas, T, que conduz a uma matriz da dinâmica diagonal? OU Que condição deve satisfazer A para que exista uma transformação de coordenadas s(t)= Tz(t) OU s(n)=Tz(n) com T não singular, tal que D=T-1AT seja uma matriz diagonal?

71 Diagonalização A matriz A é diagonalizável sse for de estrutura simples, i.e., se os vectores próprios de A forem linearmente independentes. Valores próprios: Vectores próprios:

72 Diagonalização matriz de transformação de coordenadas: s(t)=Tz(t)
vectores próprios linearmente independentes

73 Diagonalização A é de estrutura simples sempre que:
os valores próprios de A são todos distintos A é simétrica, i.e., A=AT

74 Diagonalização Exemplo
Obter uma nova representação de estado do sistema de modo a ter matriz da dinâmica diagonal é de estrutura simples Valores próprios de A: Vectores próprios de A:

75 Diagonalização Exemplo
Obter uma nova representação de estado do sistema de modo a ter matriz da dinâmica diagonal é de estrutura simples Valores próprios de A: Vectores próprios de A:

76 Solução da equação de estado
Sistema discreto

77 Solução da equação de estado
?

78 é de estrutura simples? Cálculo de An A é diagonalizável:

79 Cálculo de An

80 Solução da equação de estado

81 Resposta no tempo do sistema

82 Resposta no tempo do sistema

83 Resposta no tempo ao escalão unitário

84 Resposta no tempo ao escalão unitário
Soma de um número finito de termos de uma série geométrica

85 Resposta impulsional Sistema inicialmente em repouso:

86 Resposta impulsional Já vimos que

87 Solução da equação de estado
Sistema contínuo ?

88 Cálculo de eAt é de estrutura simples A é diagonalizável: com
Expansão em série de Taylor de eAt

89 Solução da equação de estado

90 Resposta no tempo do sistema

91 Resposta no tempo do sistema

92 Resposta impulsional Sistema inicialmente em repouso:

93 Resposta impulsional Já vimos que