2º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015

Apresentação em tema: "2º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015"— Transcrição da apresentação:

1 2º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015
GRE Recife Sul 2º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015

2 RESOLUÇÃO DA LISTA DE MATEMÁTICA
PARA O ENSINO MÉDIO – GRE RECIFE SUL ENCONTRO DE PROFESSORES MARÇO

3 Descritores com menos Percentual de acertos Estado de Pernambuco:
Descritores com baixo rendimento de acertos: até 25% . Descritores com menos Percentual de acertos Estado de Pernambuco: * D04 , D07e D08 Descritores trabalhados na lista do 1º encontro em 03/03/2015 * D11 e D12 Descritores trabalhados na lista do 2º encontro em 24/03/2015 D26 : 13,6% Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial. Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. D04 : 18,5% D23 : 19,0% Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico, ou vice-versa. D08 : 19,3% Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação. D22 : 19,4% Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes. D27 : 19,5% Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial. D07 : 20,7% Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. D12 : 20,1% Resolver problema envolvendo área de figuras planas. Resolver problema envolvendo perímetro de figuras planas. D11 : 22,2% Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades. D29 : 22,9%

4 GRE Recife Sul 1) GRE RCF SUL O princípio de Cavalieri permite afirmar que um Paralelepípedo e um cubo com áreas de suas bases equivalentes e mesma altura, tenham o mesmo volume. Assim, considere uma Indústria que produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos com volumes iguais. Sendo que, as arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura e 6 cm de espessura. Conforme figura abaixo, Assim, analisando as características dessas figuras geométricas podemos afirmar que o comprimento “c” da barra de chocolate que têm o formato de paralelepípedo é igual a: Pelo princípio de cavaliere, figuras geométricas diferentes, com áreas de bases iguais e mesma altura, produzem volume iguais 6cm 6cm 6cm 3cm c Chocolate em Cubos Chocolate em Paralelepípedos Sendo assim : Pelo Volume : Vc=63 vc= 216 cm² Área da base do cubo = 6x6 = 36 cm² como Vp = Vc Área da base do paralelepípedo = 36cm² VP = a x b x c VP = 3 x 6 x c 3 x c =36cm² c =12 cm Resposta d 216 = 3 x 6 x c C = 12 cm

5 2) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A mediu um ângulo visual “ά” fazendo mira em um ponto fixo “P” da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto “B” de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 ά . A figura ilustra esta situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo ά  = 30° e ao chegar no ponto B verificou que o barco havia percorrido a distância AB = m. Com base nestes dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: a) m b)1.000 √3 m c) 2.000m. d) √3m m. e)550m Esta questão além de trabalhar Conteúdos da matriz de referência Ela agrega os descritores D2 e D5 (34,5% de acertos) SAEPE

6 Aplicando as relações trigonométricas, a menor distância d será
GRE Recife Sul A menor distância do barco até o ponto fixo P, sendo mantida a sua trajetória, será a medida do segmento de reta em vermelho na figura ao lado, que está perpendicular à sua trajetória: ( β=30º d 30° 60º 120º Ainda pela figura Se ά = 30°: 2ά = 60°: - Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Nesta nossa figura o suplemento do ângulo de 60° é um ângulo de 120° - Como a soma dos ângulos internos de um triângulo totaliza 180°, o outro ângulo interno deste triângulo também tem a medida de 30° - Visto que os ângulos A e P são congruentes, a medida do segmento AB é igual à medida do segmento BP Caso o aluno não lembre das condições de congruência, pode aplicar-se a lei dos senos. Sen ά BP Sen β AB Assim BP = AB X Sen 30º Sen 30º logo BP = AB =2.000m = 2.000m d Aplicando as relações trigonométricas, a menor distância d será 60º √ d Sen60º = d 2000 = d = √3m

7 a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12). d) (25,13). e) (26,15).
3) Adaptada GRE RCF SUL Balões de ar quente são usados para promover e divulgar milhares de produtos e serviços, é uma verdadeira e potencial ferramenta de marketing, Diversas empresas no Brasil já implementaram esta ação de mercado. Um balão desperta muita atenção, As pessoas ficam completamente paralisadas pelo impacto visual e a beleza plástica que os balões proporcionam, e assim, seguidamente vão parando para observar, tirar fotos, essas pessoas chegam até a ligar para os amigos para participar do espetáculo. Isto por que a visão de um balão cria uma impressão duradoura, de uma maneira poderosa, em milhares de pessoas; se for para vôo então! Fica fácil imaginar agora, quais as possibilidades de negócios e fixação da marca para a promoção de produtos e vendas o que o balonismo proporciona. Um balão de ar quente cria em síntese uma atenção emocional duradoura, . (Fonte: WWW. Balonista.com.br). Agora, suponha que um balão de ar quente seja lançado de uma rampa inclinada. Utilizando um plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q,mantendo-o fixo no ar. Assim as coordenadas do ponto P, indicado na figura, são respectivamente:, (21,7). (22,8). (24,12). (25,13). (26,15). ) m Esta questão além dos Conteúdos da matriz de referência ela trabalha: os Descritores D6 – D7 – D8 e D9

8 As retas “t” e “u” são perpendiculares e o ponto P é comum as duas,
GRE Recife Sul ṭ u : As retas “t” e “u” são perpendiculares e o ponto P é comum as duas, Ou seja , em “P” as duas retas se igualam. Obs. Além da resolução abaixo, poderíamos trabalhar com o conceito de matrizes

9 Podemos determinar a sua equação, a partir do coeficiete angular: ṭ
Na reta “t” temos os pontos : O(0,0) Q(10,5) n(20,20) Podemos determinar a sua equação, a partir do coeficiete angular: ṭ y – y0 x - xo 5 – 0 10 - 0 m = mt = (10,5) 24,12 mt=1/2 A partir do coeficiente angular: temos a equação da reta t: O(0,0) u y – y0 = mt (x - xo) y – 0 = 1 2 (x - 0) y = 1 x 2 I Equação a reta t A partir do coeficiente angular da reta “u” temos também a sua equação : Como a reta “u” é perpendicular a “t” temos : - 1 m(u) = - 1 m(t) logo m(u )= m(u )= -2 Temos o ponto n(20,20) 1 2 A partir de m(u)= -2, e do ponto n(20,20) , temos: y – y0 = m (x - xo) y + 2x = 60 II Y = -2 x + 60 Equação a reta u y – 20 = -2 (x - 20) O ponto P representa o ponto de encontro entre as retas “u” e “t” : X=24 De I x = 2y Y = -2 (2y) + 60 De II 5y =60 y=12

10 a) P(10) é um número de cinco algarismos.
4. (Ufsj 2012) Considere a função polinomial definida por P(x) = x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6, neste caso, é CORRETO afirmar que em relação a P(x): a) P(10) é um número de cinco algarismos. b) P(x) tem quatro raízes distintas. c) na divisão por x + 2, P(x) apresenta resto igual a 4. d) Px) é divisível por x – 1. Esta questão além dos Conteúdos da matriz de referência ela trabalha: os Descritores D25

11 GRE Recife Sul a) Valor numérico de um Polinômio : P(10) = (10)3 – 3(10)² + 11 (10) -6 P(10) = – P(10) = 6804 ( número de 04 algarismos) b) Teorema das Raízes Racionais : Seja a equação polinomial de coeficientes inteiros: anxn + an-1xn a1x + a0 = 0, com a diferente de 0 . Se o racional p/q, (p e q primos entre si) é raiz dessa equação, então: p é divisor de a0 e q é divisor de an a0 = -6, então, “p” serão os Divisores de a0 , p = {-1,-2,-3,-6} Na equação dada a0 = e an = 1 a n = 1, então, “q” serão os Divisores de an , q = {1, -1} Logo as possíveis raízes racionais da equação polinomial : x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6, serão os números racionais gerados na forma (p/q) : { 1,-1, 2, -2, 3, -3, 6,-6} Para serem raízes P(x) = 0; então é só verificar cada valor numérico na equação dada: P( 1) = 14 – 3(1)3 – 3(1)² + 11(1) – 6, P(1) = 0 Com Duas Raízes : aplica Briou Ruffini : P( 2) = (2)4 – 3(2)3 – 3(2)² + 11(2) – 6, P(2) = -4 Equação : x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6, P( 3 ) = (3)4 – 3(3)3 – 3(3)² + 11(3) – 6, P(3) = 0 1 – 3 – – 6, x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6, x2 + x – 2 Por Girard : Qual o nº cuja soma é igual a (-1) e cujo produto é -2 1 1 -2 -5 6 x3 – 2x 2 – 5x + 6, 3 1 1 -2 x2 –x – 2 X1 = 1 e x2 = -2 Logo x=1 tem multiplicidade 2 e as raízes são : { -2; 1 e 3} ou seja três raízes distintas

12 d) Px) é divisível por x – 1.
GRE Recife Sul C) na divisão por x + 2, P(x) apresenta resto igual a 4. Pelo teorema do resto : se o divisor de uma equação polinomial é de grau 1; então o resto da equação polinomial p(x), será determinado a partir do valor numérico da raíz do divisor em p(x). assim: Se x + 2 = 0 Então, x = -2 Aplicando na equação polinomial x = - 2 P( -2) = (-2)4 – 3(-2)3 – 3(-2)² + 11(-2) – 6, P(-2) = 0 (logo é uma raiz do polinômio ) . Portanto o resto é zero e não “ 4” d) Px) é divisível por x – 1. Para ser divisível por x-1 x = 1 é raiz Então : P( 1) = 14 – 3(1)3 – 3(1)² + 11(1) – 6, P(1) = 0 logo x -1 é divisível por p(x) Letra “d” está correta

13 a) 20metros b) 25metros c) 30 metros d) 35metros
GRE Recife Sul 5. (UERJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é dada por e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b e c são números reais fixos. No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Podemos afirmar que a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar é igual a :. a) 20metros b) 25metros c) 30 metros d) 35metros Esta questão além dos Conteúdos da matriz de referência ela trabalha: os Descritores D25

14 No instante do encontro do ciclista com o corredor, temos :
Curva do ciclista: uma raiz simples t1 =0 outra com multiplicidade 2 ou raiz dupla t2 = t3 = 3 Ou seja : Pela curva da figura dada: e = 4t 20 t(t - 3) (t - 3 ) = 0 t (t2 – 6t +9 ) = 0 5 t3 – 6t2 +9t = 0 Ou seja a= b= c=0 No instante do encontro do ciclista com o corredor, temos : t3 – 6t2 +9t = 4t t3 – 6t2 +5t = 0 Decompondo em fatores de 1º grau t (t– 1) ( t- 5) = 0 t1 = 0 seg. Soluções: Da equação “2” : e=4t t2 = 1 seg. Logo e=20m Posição mais afastada t3 = 5 seg. Logo e=4x5

15 Pelo teorema do quociente, As opções de uma quinta raíz será : 5 , -5,
c) (–i , 2 -√3 e -3) d) (–i , 2 -√3 e 5) GRE Recife Sul 6.. Sabe-se que dado um polinômio de coeficiente real, se z= a +bi é raiz desse polinômio com b≠0, então, o conjugado z = a – bi também é raiz do polinômio, concomitantemente, um polinômio de coeficientes racionais; se (a + √b) é raiz desse polinômio com b≭0 então a raíz (a - √b) , também é raiz desse polinômio, neste caso, considere o polinômio: P(x) = x5 – 9x4 +22x3 -14x² +21x -5 ; tendo duas de suas raízes que são : i e 2+√3 podemos afirmar que as demais raízes são : a) (–i , 2 -√3 e -5) b) (2i , 2 -√3 e -5) C) (–i, -√3, -3) d) C) (–i, 2-√3, 5) Pelo teorema do quociente, As opções de uma quinta raíz será : 5 , -5, Separando uma das opções de raízes : x=5 Aplicando Broiut Ruffini, temos: 1 -9 22 -14 21 -5 P(x) = x5 – 9x4 +22x3 -14x² +21x -5 5 1 - 4 2 - 4 1 Logo : 5 é raiz Se i é raiz pela definição –i também é raiz Se 2+√3 é raiz pela definição 2 -√3 também é raiz RespostA Letra d

16 7. (Ufrj) Em um jogo de sinuca,uma mesa está localizada com centro na origem do plano complexo, conforme mostra a figura a seguir. Após uma tacada do centro O, a bola preta segue na direção de Z=1+i, bate em A, indo em seguida até B e parando, Conforme demonstra a figura a seguir, Neste caso, Encontre o ponto Z = a+bi, onde a bola preta teria parado se a tacada tivesse sido dada, com a mesma intensidade, na direção e sentido do conjugado de Z. im { Parte imaginária do complexo Afixo ı z ı Módulo do complexo { θ Re argumento Parte real do complexo Módulo : distância da origem ao afixo = ı z ı =√ a2 + b²

17 distância da origem ao afixo “A” = ı z ı =√ a2 + b²
z = 1 + i distância da origem ao afixo “A” = ı z ı =√ a2 + b² ı z ı =√ a2 + b² ı z ı =√ 1² + 1² ı z ı =√ 2 2 Cos θ = x √ 2 Cos θ = √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 Θ = 45º 2 Ap1 θ p1 Ap1 Ap1 = 2 Se n 45 = √ 2 = √ 2 √ 2 Por semelhança : 2 1 x = 1 Parte real no afixo B = 1 2 x Parte imaginária no afixo B = 3i logo zB = 1 + 3i

18 I) II) = III) = Em relação ao módulo, por pitágora: z1 ∙ z2
8. Considere as seguintes Proposições: Dada a figura abaixo Podemos afirmar que o número complexo z = x + yi será representado no plano argand Gaus, na forma z= r (sen θ + i cós θ ). Onde r = √(x² + y²) l Z l = r : Módulo do complexo II) Dados os números complexos z1 = 6∙(cos30o + i∙sen 30o) e z2 = 3∙(cos15o + i∙sen 15o), o valor de z1 ∙ z2 é igual a : 18∙(cos45o - i∙sen 45o ) III) Dados z = 22∙(cos120o + i∙sen 120o) e c = 11∙(cos90o +i∙sen 90o), o valor de z/c é igual a 2(cos30o +i∙sen 30o), Apenas a 1ª Proposição está Correta b) As proposições I e III estão corretas c) Apenas a proposição III está correta d) Apenas a proposição II está correta Z = P (Afixo) x = a Podemos chamar : y = b θ = argumento do complexo p I) cosθ = x r senθ = y r y = r senθ Z = a +bi Z = x +yi x = r cos θ Z = r cos θ + r i senθ Z = r (cos θ + i senθ ) Em relação ao módulo, por pitágora: I Z I² = x² +y² I Z I = √x² +y² (I) Verdadeira II) z1 ∙ z2 6∙(cos30o + i∙sen 30o) X 3∙(cos15o + i∙sen 15o) = z1 ∙ z2 18( cos45º + isen45º (II) Falsa z1 z2 22∙(cos120o + i∙sen 120o) III) = 2∙(cos30o - i∙sen 30o) (III) Falsa Resposta Letra A 11∙(cos90o +i∙sen 90o)

19 A solução do sistema, corresponde ao ponto
9. Na figura, abaixo, estão representados um sistema de equações e os gráficos de duas retas. 4x – 3y = P X + 3y = Q Os valores de P e Q para que o gráfico corresponda à solução do sistema são A) 12 e B) – 9 e C) – 36 e 6. D) – 6 e 4. A solução do sistema, corresponde ao ponto de intersecção das duas retas, neste caso: X= e y=0 ; Aplicando em P e Q: P= 4(-6) - 3(4) = -36 Q= (4) = 6 Resposta Letra C

20 10. Dentre as equações abaixo, pode-se afirmar que a de uma circunferência é:
a) ( x – 1)² + y² = b) x² - y -4x = - 3 c) x² + y² = d) x² - y -9 = 0 e) x² - y² - 4x =9 a) ( x – 1)² + y² = 25 ( x – 1)² + (y- 0)² = 5² C( 1,0) e r =5 correto b) x² - y -4x = - 3 a # b Errada c) x² + y² = - 16 “ r “ negativo Errada d) x² - y -9 = 0 a # b Errada e) x² - y -4x = 9 a # b Errada Resposta A

21 Calculando PR , por semelhança, temos:
11. A figura, abaixo, representa a planta de uma praça triangular. Ela é contornada por uma calçada e há um atalho, representado na figura pelo caminho RQ, perpendicular a um dos lados. Para ir do ponto M ao ponto P, Júlia percorreu o trecho MQRP, andando sempre sobre a calçada. o perímetro percorrido por Júlia foi igual a : A) 35 m. B) 48 m. C) 52 m. D) 72 m. 13² = 12² + x² 13m x = 35 X² = 13² - 12² X X² = 5m 12m X² = 25 X = 5m Calculando PR , por semelhança, temos: 5( 13 + X ) = 20 x 12 N 65 + 5x = 240 5x = 175 x = 35 52m 20 5 13 + X 12 20m = Logo: MQRP : = 52m p Resposta C M 13 +X_

22 (Concurso público – Eletrobrás)
(Concurso público – Eletrobrás). A figura abaixo representa a planta de um apartamento. A área total é de (m2): (A) 56; (B) 58; (C) 62; (D) 64; (E) 80. A3 A1 A2 A1 = 8 X 4 = 32m A2 = 6 X 3 = 18m Dividindo as partes da planta, temos: A3 = 4 X 2 = 8m Área Total = Área Total = 58m Resposta B

23 O silo é composto de duas figuras geométricas: - Cilindro - Cone
A) 20π m3.B) 24π m3. C) 32π m3. D) 96π m3. 13 . A figura, abaixo, representa um “silo”, muito utilizado nas fazendas para armazenar grãos. Ele é composto de um cone e um cilindro e suas dimensões estão indicadas na figura abaixo. A capacidade máxima de armazenagem de grãos nesse silo é de O silo é composto de duas figuras geométricas: - Cilindro - Cone VC = Volume do Cilindro = π r² x h r = 2m h = 5m VC = π 2² x 5 VC = 20π m3 VCN = Volume do Cone= 1/3 π r² x h r = 2m h = 3m VCN = Volume do Cone= 1/3 π 2² x 3 VCN = 4π m3 Volume Total = VT VT = Volume Total = 24π m3 Resposta B

24 14 . (SADEAM). Observe a reta numérica abaixo Considerando que – 4 < x < 4, um dos
pontos que x poderá assumir é (A) I (B) P (C) M (D) H (E) Q M= -2 Resposta C

25 15. Em Aposentolândia foi implantada a chamada “fórmula 96”
15. Em Aposentolândia foi implantada a chamada “fórmula 96”. Por essa fórmula, um trabalhador tem direito à aposentadoria, quando a soma de sua idade com o número de anos trabalhados é igual a 96. Nesse país, qual a idade mínima de aposentadoria para uma pessoa que comece a trabalhar com 24 anos de idade? S = soma das Idades S + T = 96 T = Número de anos trabalhados Sendo S = 24 T = 96 - S T = T = 72 Anos Resposta B

26 GRE Recife Sul Obrigado a todos! Um abraço!

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