MATEMÁTICA Ensino Médio, 1º Ano Relações da função afim e a Progressão Aritmética

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética A função afim e as funções a ela associadas são, também, tópicos relevantes. Além disso, trabalhar com um ponto de vista funcional as sequências numéricas tem sido bastante defendido. Em particular, as progressões aritméticas podem ser relacionadas à função afim. (Base Curricular Comum para as redes públicas do estado de Pernambuco, Matemática, 2008, página 107.) BASE CURRICULAR COMUM PARA AS REDES PÚBLICAS DO ESTADO DE PERNAMBUCO - MATEMÁTICA

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética OLÁ PESSOAL!!!!!!! QUERIA LHES PROPOR UM DESAFIO!!!!!!!!! VOCÊS SÃO BONS OBSERVADORES? O DESAFIO É O SEGUINTE: VOU LHES MOSTRAR ALGUMAS CONJUNTOS QUE POSSUEM UMAS CARACTERÍSTICAS ESPECIAIS. VOCÊS SÃO CAPAZES DE DESCOBRIR QUE CARACTERÍSTICAS SÃO ESSAS? ENTÃO VAMOS INICIAR O DESAFIO!!!!!!!!!!

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética OBSERVEM: (janeiro, fevereiro, março,..., dezembro) Quando determinados elementos de um conjunto são dispostos em certa ordem seguindo um padrão, dizemos que esses elemento formam uma SEQUÊNCIA ou SUCESSSÃO. (30, 32, 34, 36,..., 56, 58, 60) (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30,...) PERCEBERAM ALGO ESPECIAL? HÁ ALGUMA ORDEM OU SEGUIMENTO DE PADRÃO? PARABÉNS!!!!!!!!

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Em geral, representamos os termos da sequência por uma letra e um índice, que indicam a posição ou a ordem do termo: a 1 = 1º termo a 2 = 2º termo a 3 = 3º termo,... Quando queremos indicar um termo qualquer da sequência, utilizamos a n, também chamado n-ésimo termo ou termo de ordem n. Representamos essa sequência por: (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) Representamos essa sequência por: (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) De um modo geral, uma sequência pode ser finita ou infinita. Como podemos definir uma sequência? VEJAMOS:

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Chama-se sequência finita de n termos uma função f cujo domínio é N*={1, 2, 3,..., n}. A cada i Є N* está associado a um a i Є R. Em geral, indicamos o conjunto imagem por: {a 1, a 2, a 3,..., a n } Chama-se sequência finita de n termos uma função f cujo domínio é N*={1, 2, 3,..., n}. A cada i Є N* está associado a um a i Є R. Em geral, indicamos o conjunto imagem por: {a 1, a 2, a 3,..., a n } Exemplo: Sequência dos múltiplos positivos de 5, maiores que 1 e menores que 36: (5, 10, 15,..., 30, 35). Nesse caso, a 1 = 5, a 2 = 10 e assim por diante. Chama-se sequência infinita de n termos uma função f cujo domínio é N*={1, 2, 3,..., n,...}. A cada i Є N* está associado a um ai Є R. Em geral, indicamos o conjunto imagem por: {a 1, a 2, a 3,..., a n,...} Chama-se sequência infinita de n termos uma função f cujo domínio é N*={1, 2, 3,..., n,...}. A cada i Є N* está associado a um ai Є R. Em geral, indicamos o conjunto imagem por: {a 1, a 2, a 3,..., a n,...} Exemplo: Sequência dos números pares positivos: (2, 4, 6, 8,...). Nesse caso, a 1 = 2, a 2 = 4 e assim por diante. VAMOS SEGUINDO COM NOSSO DESAFIO:

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Observe a sequência: (3, 6, 9, 12, 15,...) QUAL O PRÓXIMO TERMO? COMO VOCÊ SOUBE? PARABÉNS!!!!!! ISSO MESMO!!!! É 18. BASTA SOMAR 3 A CADA TERMO A PARTIR DO PRIMEIRO!!!!!!! PARABÉNS!!!!!!!! OBSERVE PORQUE VOCÊ SOMA 3: 6 – 3 = 3 9 – 6 = 3 12 – 9 = 3 15 – 12 = 3 O NÚMERO 3 É A RAZÃO DESSA SEQUÊNCIA EXISTIR. Portanto, a razão dessa sequência é igual a 3.

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Assim, cada termo, depois do primeiro, pode ser obtido adicionando a razão ao termo anterior: a sequência segue progredindo aritmeticamente. Por isso essa sequência é denominada PROGRESSÃO ARITMÉTICA. PROGRESSÃO ARITMÉTICA(PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo, a partir do 2º, e o termo antecedente é uma constante. Essa constante é chamada de razão da PA e é representada pela letra r.

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Função Afim e Progressão Aritmética Acabamos de ver que: as sequências numéricas são funções de domínio N* e contradomínio R. as progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre um termo, a partir do 2º, e seu antecessor é uma constante, denominada razão. VEJAMOS AGORA UMA CURIOSIDADE INTERESSANTÍSSIMA ENVOLVENDO A FUNÇÃO AFIM E A PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A):

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Considere a função afim f(x) = 2x + 3 e a P.A.(-2, 3, 8, 13, 18,...) de razão 5. Vamos calcular: 2.(18) + 3 = = 39 f(-2) = f(3) = f(8) = f(13) = f(18) = 2.(-2) + 3 = = (3) + 3 = = 9 2.(8) + 3 = = 19 2.(13) + 3 = = 29 X f(X) TEMOS: Há algo de curioso nessa sequência? (-1, 9, 19, 29, 39,...) É UMA P.A. DE RAZÃO 10!!!!!! PARABÉNS!!!!!!!

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética TEM MAIS CURIOSIDADE ACONTECENDO, VEJAM: Note que (-1, 9, 19, 29, 39,...) é uma P.A. de razão 10. A razão dessa nova P.A. é igual ao produto entre o coeficiente angular da função afim ( a = 2 ) e a razão da P.A. anterior ( r = 5 ), ou seja: Função afim considerada: f(x) = 2.x + 3 Razão = 5 P.A. anterior (-2, 3, 8, 13,18,...) Coeficiente angular = = 10

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Considere essa outra função afim f(x) = 3x + 5 e a P.A.(-1, 3, 7, 11, 15,...) de razão 4. Vamos calcular: 3.(15) + 5 = = 50 f(-1) = f(3) = f(7) = f(11) = f(15) = 3.(-1) + 5 = = 2 3.(3) + 5 = = 14 3.(7) + 5 = = 26 3.(11) + 5 = = 38 X f(X) TEMOS: (2, 14, 26, 38, 50,...) É UMA P.A. DE RAZÃO 12!!!!!! ONDE TAMBÉM PODEMOS NOTAR QUE:

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética A sequência (2, 14, 26, 38, 50,...) é uma P.A. de razão 12. A razão dessa nova P.A. também é igual ao produto entre o coeficiente angular da função afim ( a = 3 ) e a razão da P.A. anterior ( r = 4 ), ou seja: Função afim considerada: f(x) = 3.x + 5 Razão = 4 P.A. anterior (-1, 3, 7, 11,15,...) Coeficiente angular = = 12

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Assim, de um modo geral temos: Sendo f: R→R, definida por f(x) = ax + b, em que x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n,... são os elementos de uma P.A. de razão r, f é uma função afim se, e somente se, f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),..., f(x n ),... é uma P.A. de razão a. r, em que a é o coeficiente angular de f. OBSERVAÇÃO: Esse resultado pode ser provado. SUGESTÃO: UTILIZANDO O CELULAR, PESQUISE NA INTERNET ACERCA DA PROVA (DEMONSTRAÇÃO) DO RESULTADO ACIMA, REGISTRE-A EM SEU CADERNO E DISCUTA EM GRUPO COM SEUS COLEGAS SOBRE O DESENVOLVIMENTO DESSE DEMONSTRAÇÃO.

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética ATIVIDADES RESOLVIDAS 1) Seja f(x) = 5x - 6 uma função afim e (2, 6, 10, 14, 18,...) uma P.A. de razão 4. Determinando (f(2), f(6), f(10), f(14), f(18),...) verificamos também se tratar de uma P.A. Qual a razão dessa nova P.A? Pela definição estudada, f(x) = 5x – 6 é uma função afim, pois x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n,... são elementos da P.A. (2, 6, 10, 14, 18,...) de razão 4 e f(2), f(6), f(10), f(18),... também é uma P.A conforme o enunciado do problema. PORTANTO, a razão dessa nova P.A. é igual ao produto entre o coeficiente angular da função afim ( a = 5 ) e a razão da P.A. anterior ( r = 4 ), ou seja: 5. 4 = 20 Assim, A razão da nova P.A. é 20 SOLUÇÃO:

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética 2) Considere a função afim g: R→R definida por g(x) = 3x+1, determine o valor de g(1) + g(2) + g(3) g(20). SOLUÇÃO: g(1)= g(2)= g(3)=... g(20)= = = = = 61 Com isso temos: (4, 7, 10,..., 61) A razão é dada por: a1a1 a1a1 a2a2 a2a2 a3a3 a3a3 a 20 n = 20 r = a 2 – a 1 = 7 – 4 = 3 Assim temos uma P.A. de razão 3 com 20 termos. Calculando S 20, obtemos o resultado de g(1) + g(2) + +g(3) g(20). s 20 = 20. (a 1 + a 19 ) 2 s 20 = 20. (a 1 + a 19 ) 2 Lembre-se: s n = n. (a 1 + a n ) 2 Lembre-se: s n = n. (a 1 + a n ) 2 s 20 = 20. (4 + 61) = s 20 = 20. (4 + 61) = Assim, o valor de g(1) + g(2) + g(3) g(20) = = 650. Assim, o valor de g(1) + g(2) + g(3) g(20) = = 650.

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética 3) A função f(x) = 2x + 4, determina os termos de uma P.A. a partir da P.A. (-1, 2, 5, 8, 11). Quanto a essa nova P.A., determine seus termos e sua razão. SOLUÇÃO: CALCULANDO: 2.(11) + 4 = = 26 f(-1) = f(2) = f(5) = f(8) = f(11) = 2.(-1) + 4 = = 2 2.(2) + 4 = = 8 2.(5) + 4 = = 14 2.(8) + 4 = = 20 Nova P.A. ( 2, 8, 14, 20, 26) a razão dessa nova P.A. é igual ao produto entre o coeficiente angular da função afim ( a = 2 ) e a razão da P.A. anterior: LOGO: Razão da P.A. anterior: a 2 – a 1 = 2 – (– 1) = 3 Razão da P.A. anterior: a 2 – a 1 = 2 – (– 1) = = 6 Assim, a razão da nova P.A. é 6.

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética 3) Calcule o valor de a para o qual a função f(x) = ax + 1, determine uma P.A. de razão 12, a partir da P.A. (-1, 3, 7, 11, 15,...). Como sabemos, a razão da nova P.A. determinada por uma função afim é igual ao produto entre o coeficiente angular dessa função e a razão da P.A. anterior. Assim temos: Coeficiente angular = Razão da P.A. inicial = a 2 – a 1 = 3 – (– 1) = a a 4 4 a. 4 = 12 Razão da P.A. determinada pela função dada = 12 Dividindo os dois membros por 4 a. 4 = a. 4 = Equação do 1º grau na variável a a = 3 Simplificando o 1º membro e resolvendo a operação indicada no 2º. Conclusão: a = 3 para que a função f(x) = ax + 1, determine uma P.A. de razão 12, a partir da P.A. (-1, 3, 7, 11, 15). SOLUÇÃO:

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética 4) Escreva a lei da função afim que determina a P.A. (-1, 5, 11, 17, 23) a partir da P.A. (-2, 0, 2, 4, 6,...). f(x) = ax + b Razão da P.A. inicial = a 2 – a 1 = 0 – (– 2) = 2 2 Razão da P.A. determinada pela função dada = a 2 – a 1 = 5 – (-1) = 6 6 Função genérica: Como sabemos, a razão da nova P.A. determinada por uma função afim é igual ao produto entre o coeficiente angular dessa função e a razão da P.A. anterior. Assim temos: a. 2 = 6 Dividindo os dois membros por 2 a. 2 = a. 2 = Equação do 1º grau na variável a a = 3 Simplificando o 1º membro e resolvendo a operação indicada no 2º. Temos coeficiente angular 3 Assim, f(x) = 3x + b AGORA VEJA:

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Calculando f(a 1 ) da P.A. inicial temos -1, que é o 1º termo da nova P.A., ou seja, Aplicando f(-2) em f(x) = 3x + b, temos: f(-2) = 3.(-2) + b f(-2) = b f(-2) = - 1. TEMOS: Como f(-2) = b e f(-2) = b = - 1 Adicionando aos dois membros b = Equação do 1º grau na variável b b = 5 Resolvendo as operações indicadas. CONCLUSÃO: Encontramos o coeficiente angular e linear da função afim, que são a = 3 e b = 5, respectivamente. Observação: b é o coeficiente linear da função Portanto a lei da função afim que determina a P.A. (-1, 5, 11, 17, 23) a partir da P.A. (-2, 0, 2, 4, 6,...) é dada por: f(x) = 3 x + 5

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética VEJAMOS MAIS UMA CURIOSIDADE ENVOLVENDO FUNÇÕES AFIM E PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (P.A.) Uma P.A na forma genérica (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a n,...), associa cada um desses termos a diferentes valores. Considere a P.A. ( 5, 8, 11, 14, 17,...) de razão 3. Vamos descobrir o valor de a n, substituindo o termo a 1 e a razão r da P.A. na Fórmula do Termo Geral da P.A. que é a n = a 1 + (n – 1). r Como a 1 = 5 e r = 3, temos: a n = 5 + (n – 1). 3 a n = 5 + 3n - 3 a n = 3n a n = 3n + 2 Assim podemos associar a P.A. dada com a Função Afim F(x) = 3n + 2 considerando o n a posição de cada elemento da P.A. dada, sendo n uma número natural e diferente de zero. VAMOS OBSERVAR O GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM:

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Como n é a posição de cada elemento da P.A. (5, 8, 11, 14, 17,...), temos: GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM F(n) = 3n + 2 n = 1 F(1) = F(n) = 3.n + 2 F(1) = 5 n = 2 F(2) = F(2) = 8 n = 3 F(3) = F(3) = 11 n = 4 F(4) = F(4) = 14 n = 5 F(5) = F(5) = 17 TEMOS O SEGUINTE GRÁFICO: n F(n) a n F(n) = 3n +2

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética ATIVIDADE RESOLVIDA Problema retirado do site O valor de um carro novo é de R$49.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$40.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 3 anos de uso é: a) R$42.250,00 b) R$42.500,00 c) R$44.000,00 d) R$47.250,00 e) R$47.500,00

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética SOLUÇÃO: Pelo enunciado do problema os valores do carro decrescem a cada ano segundo uma linha reta caracterizando assim uma PA (49000, a 2, a 3, a 4, 40000), considerando que o carro zero não possui nenhum ano de uso obviamente. Assim temos: = (5 – 1). r = 4r a n = a 1 + (n – 1). r = r Adicionando aos dois membros – = r Dividindo os dois membros por = 4r = 4r = r r = Como r = isso que dizer que o preço cai R$ 2250,00 a cada ano. Portando após três anos de uso o valor do carro será : – = R$ 42250,00 Portando após três anos de uso o valor do carro será : – = R$ 42250,00 Logo a alternativa correta é a letra A. OBSERVAÇÃO: poderíamos calcular o Preço P do carro, em reais, através da Função Afim P(n) = – 2250.n, onde n é o número de anos de uso. VEJAMOS: n = 3 (três anos) P(n) = – n P(3) = – P(3) = – 6750 P(3) = n = 3 (três anos) P(n) = – n P(3) = – P(3) = – 6750 P(3) = Portando após três anos de uso o valor do carro será R$ 42250,00

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Problema retirado do site 1) O valor de determinados equipamentos eletrônicos, de um centro urbano municipal, decresce linearmente com o tempo devido ao desgaste. O valor atual de todo equipamento é hoje R$ ,00, e depois de 2 anos passará a ser R$ ,00. A partir de quantos anos o equipamento passará a valer menos da metade de seu valor atual? (A) 6 anos (B) 5,5 anos (C) 5 anos (D) 4,5 anos (E) 4 anos ATIVIDADES PROPOSTAS

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética Problema retirado do site 2 ) O gráfico abaixo mostra as variações do “risco Brasil” nos dias 9, 10 e 11 de janeiro. Segundo reportagem publicada no Jornal O Globo de 12 de janeiro de 2006, a confiança dos investidores estrangeiros no país vem aumentando e, em consequência, reduziu-se gradativamente o chamado “risco-Brasil”. Se a variação linear observada de 10/01 para 11/01 se repetisse nos dias subsequentes, em que dia de janeiro o “risco- Brasil” atingiria um valor inferior a 200 pontos centesimais? (A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 24 (E) 25

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética 1) O valor do carro zero é R$50000 e percebe-se que este carro desvaloriza R$5000,00 a cada ano. Ou seja, após um ano de uso o carro valerá R$45000,00. Podemos escrever a seguinte PA: (50000,45000,40000,35000,30000,25000). Vale destacar que quando o carro vale R$50000,00 ele é zero, logo não se passou nenhum ano ainda. O carro valerá a metade em 5 anos, portanto menos the metade após 5 anos. Logo o gabarito é letra C. OUTRO MODO Por função afim. O Valor (V) do carro de acordo com o tempo(T), em anos, pode ser dado por: V= T. Esse valor deverá ser inferior a R$25000,00 logo, T (observem que o sinal de menor inverteu ao multiplicar por -1). T > 25000/5000. T > 5 anos 2) Essa questão se resolve simplesmente escrevendo uma PA de razão -7. Uma vez que a variação do dia 10 para o dia 11 é de -7 pontos. (277,270,263,256,249,242,235,228,221,214,207,200,193) Ou seja uma PA de 13 termos, iniciando no dia 11/01 e terminando no dia 23/01. Portanto o gabarito é letra C. Poderíamos aplicar na fórmula do termo geral: an = a1 + (n – 1). r (n - 1)(-7) 12, Portanto n=13 termos. Contando o dia 11 como primeiro termo, o 13º termos será dia 23/01 1) O valor do carro zero é R$50000 e percebe-se que este carro desvaloriza R$5000,00 a cada ano. Ou seja, após um ano de uso o carro valerá R$45000,00. Podemos escrever a seguinte PA: (50000,45000,40000,35000,30000,25000). Vale destacar que quando o carro vale R$50000,00 ele é zero, logo não se passou nenhum ano ainda. O carro valerá a metade em 5 anos, portanto menos the metade após 5 anos. Logo o gabarito é letra C. OUTRO MODO Por função afim. O Valor (V) do carro de acordo com o tempo(T), em anos, pode ser dado por: V= T. Esse valor deverá ser inferior a R$25000,00 logo, T (observem que o sinal de menor inverteu ao multiplicar por -1). T > 25000/5000. T > 5 anos 2) Essa questão se resolve simplesmente escrevendo uma PA de razão -7. Uma vez que a variação do dia 10 para o dia 11 é de -7 pontos. (277,270,263,256,249,242,235,228,221,214,207,200,193) Ou seja uma PA de 13 termos, iniciando no dia 11/01 e terminando no dia 23/01. Portanto o gabarito é letra C. Poderíamos aplicar na fórmula do termo geral: an = a1 + (n – 1). r (n - 1)(-7) 12, Portanto n=13 termos. Contando o dia 11 como primeiro termo, o 13º termos será dia 23/01 Gabarito : 1ª e 2ª questões letra C.

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética INDICAÇÃO DE ATIVIDADES DE ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS COM SUAS RESPECTIVAS PÁGINAS PARA AMPLIAR SEUS CONHECIMENTOS A CERCA DAS RELAÇÕES DA FUNÇÃO AFIM E A PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Souza, Joamir Roberto de, Novo Olhar: matemática: 1º ano Ensino Médio, 2ª ed, São Paulo: FTD, Página 230. Exercício 52 ao 55. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1º ano Ensino Médio, Jackson Ribeiro,São Paulo: Scipione, Páginas 271 e 272. Exercício 57 ao 62.

MATEMÁTICA, 1º Ensino Médio, Relações da função afim e a Progressão Aritmética BIBLIOGRAFIA -Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambuco:matemática / Secretaria de Educação. - Recife : SE Parâmetros para a Educação Básica de Pernambuco, Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, Ensino Médio – Brasília : MEC. -Ribeiro, Jackson, Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1,Ensino Médio,São Paulo, Scipione, Souza, Joamir Roberto de, Novo Olhar Matemática, vol. 1,1 ed.,São Paulo, FTD, Paiva Manoel, Matemática, volume único, 1ª edição, São Paulo, Moderna, www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html - -Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, Base Curricular Comum para as Redes Públicas de Ensino de Pernambuco:matemática / Secretaria de Educação. - Recife : SE Parâmetros para a Educação Básica de Pernambuco, Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, Ensino Médio – Brasília : MEC. -Ribeiro, Jackson, Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1,Ensino Médio,São Paulo, Scipione, Souza, Joamir Roberto de, Novo Olhar Matemática, vol. 1,1 ed.,São Paulo, FTD, Paiva Manoel, Matemática, volume único, 1ª edição, São Paulo, Moderna, www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html -