Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Professor Jorge Luiz A. Ferreira Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Introdução Em situações do dia a dia profissional, somos chamados com muita freqüência a tomar decisões sobre o comportamento de uma determinada população, com base em informações amostrais. Isso é denominado Decisões Estatísticas Como construímos a base para a tomada dessas decisões ? No processo de tomada de decisão é conveniente a formulação de suposições ou de conjeturas sobre o comportamento de algum parâmetro estatístico que caracterize a populações de interesse a partir de sua amostra. Essas suposições, que podem ser ou não verdadeiras, são denominadas de Hipóteses Estatísticas Exemplo: Em uma linha de produção, poderíamos formular a hipótese que a produtividade é diferente de 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como: onde H o é chamada de hipótese nula e H 1 de hipótese alternativa.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Introdução Hipótese de Nulidade É aquela Hipótese Estatística, prefixada, formulada sobre o parâmetro populacional estudado, com o único propósito de ser rejeitada ou invalidada - parâmetro.Se os resultados da amostra não forem muito diferentes de H 0, ela não poderá ser rejeitada. Hipótese Alternativa São todas as hipóteses que difiram da Hipótese Nula - Essa hipótese somente será aceita se os resultados forem muito diferentes de H 0. Via de regra, a hipótese alternativa representa uma conjectura nova a ser testada, enquanto que a hipótese de nulidade representa a situação atual ! Os processos que nos auxiliam na decisão de aceitar ou rejeitar as hipóteses formuladas, ou determinar se a amostra observada difere, de modo significativo, dos resultados esperados, são denominados de Testes de Hipóteses ou Testes de Significância.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Introdução Testes de Hipótese Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula o parâmetro desejado. Conforme o valor do parâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir de procedimentos estatísticos. Possíveis Erros que Podemos Cometer no Teste Decisões Possíveis Estados Possíveis H 0 VerdadeiraH 0 Falsa Aceitar H 0 Decisão Correta Erro Tipo II Rejeitar H 0 Erro Tipo IDecisão Correta

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Tipos de Testes de Hipótese A partir da formulação de H 0 e H 1, podemos definir o tipo do teste a ser utilizado. Considerando  o parâmetro estudado e  0 o valor inicialmente suposto para . Se nas hipótese formuladas forem do tipo: O teste de hipóteses é denominado de TESTE BILATERAL H 0   =  0 H1     0 onde  é o Nível de Significância do Teste: Valor que expressa que ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o risco de um erro do tipo I. Essa probabilidade, representada freqüentemente por , é geralmente especificada antes da extração de quaisquer amostras, de modo que os resultados obtidos não influenciem na escolha A região onde H 0 é rejeitada é denominada de Região crítica - A sua área é igual ao nível de significância (  ), que estabelece a probabilidade de rejeitar H 0 quando ela é verdadeira.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Observação sobre o Nível de Significância de um Teste É muito comum a utilização de alguns níveis de significância concretos, sendo α = 5% o mais usual. Nada obsta a que se utilize este nível de significância num teste de hipótese, mas ressalta- se o que este uso generalizado tem origem no fato de que quando se começaram a desenvolver estas metodologias estatísticas (nos anos 1920), os meios de cálculo eram muito reduzidos, comparativamente aos atuais. A definição da região crítica do teste resulta da função de distribuição de probabilidades que a estatística de teste segue. O cálculo desta função de distribuição de probabilidades é bastante complexo, requerendo meios de cálculo automático, que não estavam disponíveis na época. Para contornar este obstáculo, os estatísticos de então tiveram de tabelar as funções de distribuição de probabilidades, para alguns valores de probabilidade, tendo-se então adotado a regra de se usarem níveis de significância de 2.5%, 5% ou 10%.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Tipos de Testes de Hipótese A partir da formulação de H 0 e H 1, podemos definir o tipo do teste a ser utilizado. Considerando  o parâmetro estudado e  0 o valor inicialmente suposto para . Se nas hipótese formuladas forem do tipo: O teste de hipóteses é denominado de TESTE UNILATERAL A ESQUERDA H 0   =  0 H1   <  0 onde  é o Nível de Significância do Teste: Valor que expressa que ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o risco de um erro do tipo I. Essa probabilidade, representada freqüentemente por , é geralmente especificada antes da extração de quaisquer amostras, de modo que os resultados obtidos não influenciem na escolha A região onde H 0 é rejeitada é denominada de Região crítica - A sua área é igual ao nível de significância (  ), que estabelece a probabilidade de rejeitar H 0 quando ela é verdadeira.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Tipos de Testes de Hipótese A partir da formulação de H 0 e H 1, podemos definir o tipo do teste a ser utilizado. Considerando  o parâmetro estudado e  0 o valor inicialmente suposto para . Se nas hipótese formuladas forem do tipo: O teste de hipóteses é denominado de TESTE UNILATERAL A DIREITA H 0   =  0 H1   >  0 onde  é o Nível de Significância do Teste: Valor que expressa que ao testar uma hipótese estabelecida, a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o risco de um erro do tipo I. Essa probabilidade, representada freqüentemente por , é geralmente especificada antes da extração de quaisquer amostras, de modo que os resultados obtidos não influenciem na escolha A região onde H 0 é rejeitada é denominada de Região crítica - A sua área é igual ao nível de significância (  ), que estabelece a probabilidade de rejeitar H 0 quando ela é verdadeira.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Regra de Decisão Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se H 0. Ao rejeitar a hipótese nula (H 0 ) existe uma forte evidência da hipótese ser falsa. Ao contrário, quando se aceita a hipótese de nulidade, diz-se que não houve evidência amostral significativa no sentido de admitir a rejeição de H 0. PARA O TESTE BILATERAL Aceitar H 0, implica que a hipótese nula não pode ser rejeitada! Rejeitar H 0 implica que temos evidências estatísticas para rejeitá-la com um risco conhecido : .

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Etapas de Um Teste de Hipóteses Resumo das etapas aplicadas a qualquer teste de hipóteses I.Determinar as hipóteses nula e alternativa que são apropriadas para a aplicação. II.Selecionar a estatística de teste que será usada para decidir rejeitar ou não a hipótese nula. III.Especificar o nível de significância  para o teste. IV.Usar o nível de significância para desenvolver regra de decisão que indica os valores críticos da estatística de teste que levará a rejeição de H 0. V.Coletar os dados amostrais e calcular a estatística de teste. VI.Comparar o valor da estatística do teste com o(s) valor(es) crítico(s) especificado(s) na regra de decisão para determinar se H 0 deve ser rejeitado; ou calcular o valor p, baseado na estatística de teste na etapa V. Usar o valor p para determinar se H 0 deve ser rejeitado.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Aplicação dos Teste de Hipóteses A seguir serão apresentados os seguintes testes de hipóteses: 1. Comparação de médias (admitindo variâncias conhecidas) 2. Comparação de médias (admitindo variâncias desconhecidas) 3. Comparação de Médias Independentes 4. Comparação de Médias Independentes – Dados Emparelhados 5. Comparação de variâncias

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 1 - Comparação de médias (admitindo variâncias conhecidas) Suponha que x seja uma variável aleatória com média  “desconhecida” e variância   conhecida. A idéia desse teste é o de avaliar a hipótese dessa média ser igual a um certo valor especificado  0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue: Para testar a hipótese, é necessário dispor de uma amostra aleatória de n observações com o objetivo de calcular a estatística:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 1 - Comparação de médias (admitindo variâncias conhecidas) Nesse teste específico, a hipótese nula é rejeitada se, onde é o valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores fora do intervalo é igual a , ou seja: Se a média amostral,, ficar “próximo” a  , logo a hipótese H 0 será aceita; Se a média amostral,, ficar “longe” de , logo a hipótese H 0 será rejeitada.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 1 - Comparação de médias (admitindo variâncias conhecidas) Tipos de Comparação de médias que Podem ser Construídas

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 1 A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm 2 e um desvio padrão de 2,0 kg/mm 2. Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas, obtendo-se os seguintes resultados: [ 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2 ]. Assumindo que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste. Avaliar, a um nível de significância de 5%, se o ajuste mudou a resistência à tração de aço ? Note que a questão a ser respondida está relacionada a mudança de uma condição específica (média igual a 72 kg/mm 2 ) para uma outra condição qualquer. Isso caracteriza as seguintes condições Hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 1 Assim, considerando a definição das Hipóteses H 0 :  = 72 kg/mm 2 H 1 :  ≠ 72 kg/mm 2 A média da amostra foi igual a 75,0. Assumindo  = 2 kg/mm 2, a variável padronizada Z 0 assumirá o seguinte valor: Calculando agora o valor do parâmetro de controle, Z  /2 Conclusão: Como Z 0 é maior do que o parâmetro de controle, Z  /2, rejeita-se, ao nível de 5% de significância, a hipótese de nulidade.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 1 Análise Critica Considerando o valor da resistência a tração média do lote, 72 Kg/mm 2, observa-se que o mesmo (em termos normalizado), está distante 4,74 desvios-padrão do valor da média admitida na hipótese de nulidade, 75 Kg/mm 2. Essa afirmação é melhor compreendida ao se observar a figura abaixo. Nessa figura verifica-se claramente que o valor de Z 0 está na região de rejeição da hipótese de nulidade, H 0 :  = 75 Z 0 = 4,74 Z  /2 = 1.96 Z  /2 = Distribuição Padronizada da Média amostral

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 1 Variação da Solução: Podemos utilizar critério de aceitação da Estatística Z com o objetivo de definir limites de comparação, não mais em termos de Z, mas em termos dos limites da variável aleatória, que conduzem a aceitação da hipótese, ou seja: Se a média amostral,, ficar “próximo” a  , logo a hipótese H 0 será aceita. Assim: Como o valor da média amostral, 75, está fora do intervalo de aceitação de, rejeita-se, a um nível de significância de 5%, a hipótese de não alteração do processo

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 2 Um fabricante de rolamentos utiliza esfera de aços na fabricação de seus produtos. Essas esferas devem possuir um diâmetro de 12 mm, caso contrario os rolamentos não funcionam de forma adequada. A fim de avaliar um lote de esferas de um novo fornecedor ele extraiu uma amostra de 30 esferas e obteve um diâmetro médio de 11,75 mm com um desvio-padrão de 1mm. Avaliar ao nível de 5% se o diâmetro médio do lote é igual a 12 mm. Note que a questão a ser respondida ainda está relacionada a mudança de uma condição específica (média igual a 12 mm) para uma outra condição qualquer. Isso caracteriza as seguintes condições Hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 2 Assim, considerando a definição das Hipóteses H 0 :  = 12 mm H 1 :  ≠ 12 mm A média da amostra foi igual a 11,75. Assumindo  = 1 mm, a variável padronizada Z 0 assumirá o seguinte valor: Calculando agora o valor do parâmetro de controle, Z  /2 Conclusão: Como Z 0 é menor do que o parâmetro de controle, Z  /2, aceita-se, ao nível de 5% de significância, a hipótese de nulidade.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Um pesquisador precisa utilizar 10 g de um determinado reagente em suas pesquisas. Ao consultar os fornecedores ele encontrou uma empresa que produz o produto já embalada no peso que ele precisa. A fim de avaliar se ele poderia usar o produto já embalado ele extraiu uma amostra de 50 embalagens e obteve um peso médio de 9,85 gramas. Nos procedimentos usuais do laboratório o produto era pesado e o valor medido apresentava um desvio padrão de 0,75 gramas. Avaliar ao nível de 1% de significância, se o peso de cada embalagem de no mínimo 10 g Note que a questão a ser respondida não é mais se o peso da embalagem é ou não igual a 10, mas sim se o peso é no mínimo de 10 g. Isso caracteriza as seguintes condições Hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Assim, considerando a definição das Hipóteses H 0 :  ≥ 10 g H 1 :  < 10 g A média da amostra foi igual a 9,85 g. Assumindo  = 0,75 g, a variável padronizada Z 0 assumirá o seguinte valor: Calculando agora o valor do parâmetro de controle, Z  Conclusão: Como Z 0 é menor do que o parâmetro de controle, Z , aceita-se, ao nível de 1% de significância, a hipótese de nulidade.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 4 Foi medida a concentração de monóxido de carbono (mg/m 3 ) em diversos pontos de uma cidade, tendo-se obtido os seguintes valores: Note que a questão a ser respondida é se o valor da concentração média observada com base nos dados amostrados é igual ao valor de referência de 10 mg/m 3. Admitindo que o erro padrão da média é de 0.24 mg/m 3 (de medições anteriores), pretende-se testar, a um nível de significância de 5%, a admissibilidade da concentração média de monóxido de carbono ser de 10 mg/m 3 (valor de referência de medições anteriores).

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Assim, considerando a definição das Hipóteses H 0 :  = 10 mg/m 3 H 1 :  ≠ 10 mg/m 3 Conclusão: Como Z 0 é menor do que o parâmetro de controle, Z , aceita-se, ao nível de 5% de significância, a hipótese de nulidade. Como a média amostral é igual a 10,106 mg/m 3, o cálculo da variável padronizada Z 0, assumindo  = 0,24 mgm 3, assumirá o seguinte valor: Calculando agora o valor do parâmetro de controle, Z 

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Discussão Metodológica:  0 = 10 x =     = 0,106 Três Formas de Ver o Problema:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Discussão Metodológica:  0 = 10 x =     = 0,106 1ª Forma de Analise z Crit  Pr(5%) Aceitar H 0 se |Z crit |> |Z sup | z

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Discussão Metodológica:  0 = 10 x =     = 0,106 2ª Forma de Analise z Crit  1-Pr(z inf ≤z≤ z sup ) z P-value Nível Significância Limite, Probabilidade Limite

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Discussão Metodológica:  0 = 10 x =     = 0,106 2ª Forma de Analise Entende-se por, p-value, nível significância limite, probabilidade limite ou simplesmente p, à probabilidade de rejeitar H 0 quando o valor crítico z crit coincide com o valor da estatística de teste Z (ou dos testes T ou F). Isto é, p-value é a probabilidade de obter um valor da estatística de teste pelo menos tão extrema quanto a calculada, quando a hipótese nula é verdadeira. É o menor valor do nível de significância que permite a rejeição da hipótese nula. Em outras palavras: - O valor de p indica o menor nível de significância do teste que levaria a rejeição da sua hipótese nula. - Por exemplo, se p-value for 0,04, ou seja 4%, a hipótese H 0 seria rejeitada com nível de 5%, mas não com nível de 1%.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Discussão Metodológica:  0 = 10 x =     = 0,106 2ª Forma de Analise Sintaxe TESTEZ(matriz;μ 0 ;sigma) Matriz é a matriz ou o intervalo de dados em que µ 0 será testado. µ 0 é o valor para teste. Sigma é o desvio padrão da população (conhecido). Quando não especificado, o desvio padrão de amostra será usado.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Discussão Metodológica:  0 = 10 x =     = 0,106 3ª Forma de Analise z Crit  1-Pr(z inf ≤z≤ z sup ) =  z

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 3 Discussão Metodológica:  0 = 10 x =     = 0,106 3ª Forma de Analise

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 2 - Comparação de médias (admitindo variâncias desconhecidas) Suponha ainda que x seja uma variável aleatória com média  e variância   “desconhecidas”. A idéia desse teste ainda é o de avaliar a hipótese dessa média ser igual a um certo valor especificado  0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue: Entretanto, para testar a hipótese, é necessário dispor de uma amostra aleatória de n observações com o objetivo de calcular a estatística: = média amostral s = desvio-padrão amostral

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 2 - Comparação de médias (admitindo variâncias desconhecidas) O teste discutido anteriormente, é usado tipicamente em situações em que a amostra possui tamanho igual ou superior a 30. Entretanto, em situações em que o tamanho da amostra é menor do que 30 existem as seguintes possibilidades: a)A população é Normamente distribuída e  é conhecido. Nessa situação utilizamos o procedimento descrito anteriormente; b)A população é Normamente distribuída e  é desconhecido. Nessa situação utilizamos o procedimento descrito a seguir; c)A população não é Normamente distribuída. Nessa situação aumenta-se o tamanho da amostra pois não é possível usar distribuição normal

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 2 - Comparação de médias (admitindo variâncias desconhecidas) Nesse teste específico, a hipótese nula é rejeitada se, onde é o valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores fora do intervalo é igual a , ou seja: Se a média amostral,, ficar “próximo” a  , logo a hipótese H 0 será aceita; Se a média amostral,, ficar “longe” de , logo a hipótese H 0 será rejeitada.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 4 Um Engenheiro de montagem está desconfiado que a dureza média dos dentes de engrenagens fornecidas por um fabricante específico é superior a 200 Brinell, o que acaba desgastando excessivamente os dentes da engrenagem conjugada. Para testar essa hipótese ele mediu a Dureza de 20 engrenagens. Os resultados dessas medições são apresesentadas a seguir: Avaliar ao nível de 95 % de significância, se a desconfiança do eng. é pertinente. Note que a questão a ser respondida é se a dureza média superior a 200 HB. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 4 Assim, considerando a definição das Hipóteses H 0 :  = 200 HB H 1 :  > 200 HB Do lote analisado verifica-se que a média da amostra, X, é igual a 218 HB e que o desvio padrão, s, é igual a 14 HB. Assim, a variável padronizada t 0 assumirá o seguinte valor: Conclusão: Como t 0 é maior do que o parâmetro de controle, t , rejeita-se, ao nível de 5% de significância, a hipótese de nulidade. Calculando agora o valor do parâmetro de controle, t 

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 3 - Comparação de médias Independentes Existem situações que queremos comparar duas amostras independentes, A 1 e A 2, por exemplo, queremos verificar se existe diferença significativa entre dois lotes em relação às suas médias, m 1 e m 2, de uma característica de qualidade importante. Em termos gerais, essa verificação é realizada em termos de testes realizados com a seguinte hipótese de nulidade: Desses possíveis testes, um em especial é muito usado: Situação em que  é igual a zero

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 3 - Comparação de médias Independentes Na análise desse problema de comparação de médias independentes, temos duas situações distintas podem ocorrer: i)as populações podem ser correlacionadas (dados emparelhados) ii)as populações podem não ser correlacionadas (dados não emparelhados) Duas amostras são independentes se a amostra extraída de uma das populações não tem qualquer relação com a amostra extraída da outra população. Se uma das amostras tem alguma relação com a outra, as amostras dizem-se dependentes. Tais amostras costumam ser chamadas amostras emparelhada

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Dados Emparelhados A análise de duas amostras emparelhadas, tem sentido analisar o comportamento das diferenças entre os pares de dados da amostra, d i = x i – y i, e então testar a hipótese de que a média das diferenças na população é zero. Assim, do ponto de vista de cálculo, o teste é aplicado ao conjunto amostral resultante da diferença entre os pares, d. A média e o desvio padrão populacional da diferença, e S d respectivamente, são obtidos pelas fórmulas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Dados Emparelhados A estimativa do erro padrão da diferença média entre observações emparelhadas é obtida pela fórmula: Uma vez que o erro padrão da diferença média é calculado com base nas diferenças observadas em amostras emparelhadas, o que implica no desconhecimento da desvio-padrão populacional, e uma vez que os valores de d geralmente podem ser admitidos como tendo distribuição Normal, a distribuição t-Student são apropriadas para testar a hipótese nula de que a média populacional de d,  d é zero. A distribuição t nesse caso terá um número de graus de liberdade igual a: = N – 1.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Dados Emparelhados Assim, a estatística desse teste, para um tamanho amostral inferior a 30 amostras, será dada por: Caso o número de amostras seja maior do que 30 é possível utilizar a distribuição z.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 5 Dez amostras de aço foram submetidas a um tratamento termo químico com o objetivo de aumentar a dureza superficial do material. As durezas foram medidas antes e após o tratamento. Os resultados obtidos são apresentados na tabela abaixo. Assim, com base nos resultados, avaliar ao nível de 95 % de significância, se houve alteração significativa da dureza do material. Note que a questão a ser respondida é se a diferença entre as durezas é 0. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 5 Assim, considerando a definição das Hipóteses H 0 :  d = 0 HB H 1 :  d ≠ 0 HB Conclusão: Como t cal é menor do que o parâmetro de controle, t , aceita-se, ao nível de 1% de significância, a hipótese de nulidade. Calculando t cal Logo, conclui-se que não houve alteração da dureza do material Calculando agora o valor do parâmetro de controle, t  0

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados Se os dados não são emparelhados, não faz sentido calcular a diferença entre os pares de dados da amostra. Assim, a análise deverá ser realizada considerando a diferença estatística entre as médias que caracterizam as amostras. Supondo dessa forma, que os desvios-padrão das populações são conhecidos e iguais a  1 e  2, e assumindo como válida a seguinte hipótese de nulidade: H 0 :  1 –  2 =  Pode-se, devido às propriedades da média de uma diferença de variáveis aleatórias, mostrar que:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Assumindo também que as populações são infinitas, os desvios-padrão das médias são expressos pelas equações: Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados Lembrando que não há emparelhamento entre as amostras, as mesmas devem ser descorrelacionadas (independentes). Logo, devido às propriedades da variância de variáveis aleatórias independentes, tem-se:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Assumindo agora que as v.a. x 1 e x 2 sejam normalmente distribuídas, o teorema das combinações lineares de v.a independentes e normais assegura que a v.a. terá também distribuição normal. Assim, tomando a distribuição normal reduzida de teremos: Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Nesse teste específico, a hipótese nula é rejeitada se, onde é o valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores fora do intervalo é igual a , ou seja: Se a média amostral,, ficar “próximo” a  , logo a hipótese H 0 será aceita; Se a média amostral,, ficar “longe” de , logo a hipótese H 0 será rejeitada Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 6 Em um laboratório de pesquisa, dois operadores estão sendo treinados para extrair amostras de um material de ensaio. Verificou-se que a variabilidade das amostras retiradas pelos dois operadores é praticamente constante, independentes da massa das mesmas e pode ser expressa por um desvio-padrão de 5 g. Por desconfiar-se que os dois operadores estão extraindo amostras com pesos significativamente diferentes, dois conjuntos amostrais, de tamanhos e pesos médios, respectivamente, iguais a 10 e 20 e 184,6 e 188,9 g, foram extraídos para verificar se há diferença entre os operadores. Assim, com base nas informações verificar, a um nível de significância de 1%, se as amostras são iguais. Note que a questão a ser respondida é se a diferença entre as massas é 0. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 6 Assim, considerando a definição das Hipóteses H 0 :  1 =  2 H 1 :  1 ≠  2 Do enunciado verifica-se: i) as médias das amostras 1 e 2 são respectivamente iguais a 184,6 e 188,9g, ii) os desvios-padrão são iguais a 5g e iii) que as amostras possuem tamanhos iguais a 10 e 20. Assim, podemos calcular o valor de Z cal Conclusão: Como, aceita-se, ao nível de significância de 1%, a hipótese de nulidade, ou seja: as amostras possuem o mesmo peso. Calculando agora o valor do parâmetro de controle, z 

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados Se admitirmos agora situações em que os desvios-padrão das populações não são conhecidos, mas iguais (  1 =  2 =  e continuarmos assumindo como válida a seguinte hipótese de nulidade: H 0 :  1 –  2 =  Como os desvios-padrão são desconhecidos, devemos substituir os seus valores “reais” por sua estimativas amostrais. No caso específico, o valor da variância de, s p,é expressa como:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados Assim, lembrando que os desvios-padrão das populações não são conhecidos, devemos usar nesse teste de hipóteses a distribuição t- student relacionada com a estimativa de s p e com N 1 +N 2 – 2 graus de liberdade. Ou seja, devemos comparar o parâmetro: com t a/2,, onde a é o nível de significância do teste e é o número de graus de liberdade (N 1 – N 2 -2)

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 6 Os dados abaixo referem-se a cinco ensaios realizados com dois tipos de concretos distintos. Ao nível de significância de 5%, avaliar se há evidência de que o concreto 1 seja mais resistente do que o concreto 2 ? Note que a questão a ser respondida é se a resistência do concreto 1 é maior do que a resistência do concreto 2. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 6 Assim, considerando a definição das Hipóteses Conclusão: Como t cal é menor do que o parâmetro de controle, t  , aceita-se, ao nível de 5% de significância, a hipótese de nulidade. Calculando t cal Logo, não há evidências estatísticas que os materiais sejam diferentes Calculando agora o valor do parâmetro de controle, t  (Note que o teste é Uni-caldal)

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados Uma outra possibilidade de trabalhar os dados consiste em admitir situações em que os desvios-padrão das populações são diferentes e desconhecidos. Nesses casos, devemos recorrer a métodos aproximados. Se as amostras forem suficientemente grandes ( estimativas das variâncias já convergiram para os seus valores verdadeiros ), uma aproximação razoável consiste em estimar as variâncias amostrais e substituí-las na expressão

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias Independentes – Não-Emparelhados Caso se deseje maior precisão ou as amostras não sejam grandes, pode- se trabalhar com a mesma estatística tcal, fazendo-se a comparação com o valor critico t,  devidamente corrigido. Geralmente tal correção é realizada utilizando o método de Aspin-Welch, que sugere tomar o valor de t crítico com o número de graus de liberdade dado por:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 6 Um conjunto de ensaios de resistência a compressão de blocos de concreto fabricado com uma nova composição de cimento foi ensaiada com o objetivo de avaliar se a resistência do material melhorou com essa nova liga. Os resultados dos ensaios são mostrados na tabela abaixo. Ao nível de significância de 5%, avaliar se há evidência de que a composição nova gere um material mais resistente do que a antiga 2 ? Note que a questão a ser respondida é se a resistência do cimento novo (1) é maior do que a do cimento antigo (2). Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 6 Assim, considerando a definição das Hipóteses Conclusão: Como t cal é maior do que o parâmetro de controle, t  , rejeita-se, ao nível de 5% de significância, a hipótese de nulidade. Calculando t cal Logo, há evidências estatísticas que concreto novo seja mais resistente Calculando agora o valor do parâmetro de controle, t  (Note que o teste é Uni-caldal)

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Comparação de médias (admitindo variâncias desconhecidas)

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias Dadas duas amostras extraídas de duas distribuições independentes e normalmente distribuidas, a questão é: Os dados da amostra A estão mais espalhados do que os dados da amostra B ? A B Em outras palavras: As variâncias das Amostras A e B são iguais ?

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias Se as variâncias das duas distribuições normais são realmente iguais, espera-se que as variâncias das duas amostras sejam aproximadamente igual também. Por outro lado, se as duas amostras têm uma diferença significativa entre as suas variâncias, pode-se suspeitar que as duas populações normais também têm variações diferentes. Essa linha de pensamento claramente conduz a um teste baseado na comparação das duas variâncias amostrais.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O Teste F Assim, admitamos que duas distribuições normais A ~ N (  1,  2 1 ) e B ~ N (  2,  2 2 ). O teste de hipótese pode ser formulado como segue: Consideraremos provisoriamente que a relação entre as duas variâncias amostrais como o teste estatístico F. Lembrando também que a variância amostral, s²,para qualquer distribuição é estimada por:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O Teste F Vamos então definir uma nova variável aleatória F, obtida pela relação entre os estimadores da variância, s 1 2 e s 2 2, ou seja: Ressalta-se aqui que s 1 e s 2 são v.a. Logo F também será uma v.a. com características próprias. Note também que F é um candidato atraente como uma estatística de teste, pois naturalmente, tenderíamos a rejeitar H 0 se o valor de F for muito diferente de 1.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O Teste F Lembrando de estudos anteriores que a distribuição estatística da variância amostral, s 2, está relacionada ao tamanho da amostra, n, a variância populacional,  2, e a distribuição de  2, ou seja: Assim, utilizando o sub-indice 1 como identificador da primeira amostra e o sub-indice 2 como o identificador da segunda amostra, podemos escrever:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O teste F Assim, F assumirá uma distribuição de probabilidade específica conhecida como Distribuição F de Snedecor (ou Fisher-Snedecor). George W. Snedecor ( ) Ronald Aylmer Fisher (1890 – 1962) José Maria Pompeu Memória ( ) Nasce em Fortaleza, Ceará, no dia 26 de setembro de 1917 C. R. Rao (1920 – )

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O teste F Características da Distribuição F É contínua e sempre positiva com valores no intervalo (0, +  ). É identificada por dois parâmetros, que são os graus de liberdade do numerador e do denominador, respectivamente, 1 e 2. Sua forma final depende dos graus de liberdade 1 e 2, conforme ilustrado na transparência seguinte.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O teste F

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O teste F 

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4 - Comparação de Variâncias – O teste F Note que se a hipótese de nulidade  1 2 =  2 2 a distribuição F 1, 2 tomará a seguinte forma: Assim, rejeita-se a hipótese de nulidade se :

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 7 Um experimento foi conduzido para determinar se o fluxo de água em uma tubo experimental, x, é tão uniforme como em um tubo padrão, y. Com base dos dados obtidos do experimento são apresentados a seguir: s x 2 = 5,2, n x = 25, s y 2 = 3,8, n y = 25. Determine, a um nível de significância de 1 %, se a uniformidade do fluxo no tubo y é tão alta quanto a do fluxo no tubo x. Note que a questão a ser respondida é se a variabilidade da vazão no y é igual a observada no tubo y. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 6 Assim, considerando a definição das Hipóteses Conclusão: Como F cal é menor do que o parâmetro de controle, F     , não existem evidências, ao nível de 1% de significância, para rejeitar a hipótese de nulidade. Calculando F cal Logo, não há evidências estatísticas que as vazões não sejam homogêneas Calculando agora o valor do parâmetro de controle, F      (Note que o teste é Uni-caldal)

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 4.1 – Aplicação ao teste de uma VarianciaF Podemos usar a distribuição F pode ser utilizada de forma alternativa para a realização do teste para verificar se a variância obtida em uma amostra, s 2, é igual a um valor específico,  0 2. Para tanto, basta supor que o valor testado, s 0 2 seja a variância de uma segunda população hipotética, obtida com exatidão por meio de uma amostra infinitamente grande, e usar como variável de teste F cal Cujo valor será comparada à F crit, obtido considerando 1 = n - 1 e 2 = ∞

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 8 Uma amostra de dez elementos extraída de uma população supostamente normal forneceu variância igual a Esse resultado é suficiente para podermos concluir, ao nível de significância de 5%, que a variância dessa população é inferior a 25 ? Note que a questão a ser respondida é se a variabilidade da população é inferior a 25. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas: Conclusão: Como F cal é menor do que o parâmetro de controle, F  ∞   , não existem evidências, ao nível de 5% de significância, para rejeitar a hipótese da variância ser inferior a 25.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 9 Verificar se há diferença nas variâncias de duas populações com distribuição normal conhecendo as medidas estatísticas registradas na tabela seguinte e extraídas dessas populações, considerando o nível de significância  =5%. Conclusão: Como F cal é maior do que o parâmetro de controle, F  1  , existem evidências, ao nível de 5% de significância, de que a diferença entre as variâncias é significativa.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 5 - Comparação de Proporções Consideremos que de uma população se retiram duas amostras de dois tipos distintos, de tamanhos N A e N B respectivamente. Em cada uma destas amostras existem respectivamente n A e n B indivíduos com determinada característica de interesse. As proporções amostrais de cada um dos tipos são respectivamente: que, sob o pressuposto de as amostras serem de grande dimensão, se distribuem de uma forma aproximadamente normal.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 5 - Comparação de Proporções Pretende-se testar se as duas proporções são iguais, utilizando-se as seguintes hipóteses: Com base na construção da hipótese de nulidade, a variável de teste será a diferença entre as freqüências relativas das duas amostras disponíveis, p’ A – p’ B. Considerando que, se n A ·p´ A ≥ 5, n A · (1-p’ A ) ≥ 5, n B · p´ B ≥ 5 e n B · (1-p’ B ) ≥ 5, as distribuições por amostragem de p’ A e p’ B poderão ser aproximadas por distribuições normais com médias p A e p B e variâncias

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 5 - Comparação de Proporções Nessas condições, sendo independentes as duas amostras, resultará que a distribuição da variável de teste p’ A – p’ B, também será normal, com média p A – p B e variância

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 5 - Comparação de Proporções Como conseqüência a estatística do teste é: que, sob o pressuposto das amostras serem de grande dimensão, segue uma distribuição normal padronizada, ou seja, z ~ Ν (0; 1). A região crítica e a região de aceitação são definidas do modo habitual. O intervalo de confiança 1−α para a diferença entre duas proporções é:

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural 5 - Comparação de Proporções

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 10 Uma empresa dispõe de duas linhas de engarrafamento, de concepção diferente, que enchem garrafas com a capacidade de 1 litro. Num processo de controle de qualidade, recolheram-se uma amostra de cada uma das linhas, cada uma de 100 garrafas, cuja capacidade foi rigorosamente medida. Na amostra A registaram-se 8 garrafas com capacidade inferior a 95 cl, e na amostra B registaram-se 2 garrafas com capacidade inferior a 95 cl. Pretende-se verificar se as proporções das garrafas com capacidade abaixo da admitida é idêntica em ambas as linhas.

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 10 Note que a questão a ser respondida é se proporção de garrafas envazadas de forma deficiente nas duas linhas são iguais. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas: Conclusão: Como z cal é maior do que o parâmetro de controle, z  , existem evidências, ao nível de 5% de significância, para rejeitar a hipótese de proporções iguais As proporções de garrafas envazadas de forma deficiente são p A = 0,08 e p B = 0,02

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 10 Em uma pesquisa de opinião, 32 dentre 80 homens e 26 dentre 50 mulheres declararam apreciar certa revista. Ao nível de 5% de significância, os homens e as mulheres apreciam igualmente a revista ?

Testes de Hipóteses Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Ciências Mecânicas Programa de Pós-Graduação em Integridade Estrutural Exemplo 11 Note que a questão a ser respondida é se proporção de apreciadores da revista seja o mesmo entre homens e mulheres. Isso caracteriza as seguintes condições hipotéticas: Conclusão: Como |z cal | é menor do que o parâmetro de controle, |z  | , existem evidências, ao nível de 5% de significância, para aceitar a hipótese de proporções iguais As proporções de garrafas envazadas de forma deficiente são p H = 0,4 e p M = 0,52