Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 6.a Aula: Transformada de Fourier

Série de Fourier Decomposição de Sinais em Componentes Senoidais: Uma técnica muito importante na área de processamento de sinais é a análise de Fourier, que foi criada por J. B. J. Fourier. De acordo com essa técnica, qualquer sinal periódico pode ser descrito como a soma de diversos sinais senoidais. Considere um sinal periódico denominado onda dente-de-serra. É possível mostrar matematicamente que essa onda pode ser descrita como uma soma de um número infinito de componentes senoidais. 2

Série de Fourier Na figura a seguir, são mostradas as três primeiras componentes senoidais que formam o sinal. Note que a frequência da onda dente-de-serra é de 1 Hz. A primeira componente senoidal tem 1 Hz, e é denominada fundamental ou primeira harmônica. A segunda componente tem o dobro da frequência (2 Hz), é denominada segunda harmônica. A terceira componente tem o triplo (3 Hz) da frequência, e é denominada terceira harmônica, e assim por diante. 3

Série de Fourier Figura 1 4

Série de Fourier Embora sinais periódicos em geral tenham um número infinito de harmônicas, a partir de certa frequência as amplitudes dessas harmônicas tornam-se muito baixas, e podem ser desprezadas. Também é importante observar que, embora não seja o caso do exemplo da Figura anterior, as componentes senoidais podem ter uma fase diferente de zero, sendo deslocadas em relação a uma senóide com fase zero. A representação de um sinal periódico como uma soma de componentes senoidais é denominada série de Fourier. 5

Espectro de Frequencia A descrição de sinais por meio de componentes de frequências dá origem ao conceito de espectro de frequência. Nesse caso, primeiramente o sinal original é decomposto em componentes senoidais em função da frequência. O espectro de amplitude do sinal, então, é um gráfico das amplitudes das componentes senoidais em função da frequência da componente. A Figura a seguir ilustra o espectro de amplitude do sinal dente-de-serra mostrado anteriormente. 6

Espectro de Frequencia do Sinal Dente de Serra Figura 2 7

Representacao Matemática da Série de Fourier Segundo Fourier, para uma função periódica dada por , com período , a função pode ser expresa pela Equação1. (1) 8

Representacao Matemática da Série de Fourier A Equação 1 pode ser rescrita na forma da Equacão 2, que é conhecida como a Série de Fourier. Portanto, um sinal periódico com período pode ser expresso como uma soma de senóides com período T e suas harmônicas: (2) Os valores dos coeficientes e podem ser determinados pelas Equações 3 e 4, respectivamente. (3) (4) 9

Série de Fourier com coeficientes complexos Pode-se representar um sinal periódico , por meio de uma série de Fourier complexa. A ideia básica é escrever a série de Fourier em qualquer uma das formas complexas dada pela Equação 5. (5) 10

Série de Fourier com coeficientes complexos Deve-se ter em mente a fórmula de Euler, representada pela Equação 6. (6) Para esse caso, os coeficientes de Fourier complexos da função são dados pela Equação 7. (7) 11

Condições para a existência de uma série de Fourier Para construir a série de Fourier de uma função , devem-se satisfazer as seguintes condições: A série deve ser uniformemente convergente para ; As funções envolvidas nos cálculos devem ser absolutamente integráveis; A função deve ser seccionalmente diferenciável; Se é uma função periódica, então esta função possui componente e cujos argumentos são frequências múltiplas inteiras da frequência angular do sinal. A função deve possuir um número finito de máximos ou mínimos dentro de qualquer intervalo finito. 12

Exemplo 1: Gerar um sinal na forma de uma onda quadrada, com período . Demonstrar que a série de Fourier é valida para a construção dessa onda quadrada. Solução: A Figura a seguir apresenta o código MATLAB, que gera a onda quadrada de período e suas 1ª, 3ª, 5ª, 7ª e 9ª harmônicas. A Figura 7.4 apresenta os gráficos que demonstram que a série de Fourier é valida para a reconstrução da onda quadrada gerada. 13

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Gráfico da onda quadrada e suas harmônicas Figura 3 15

Transformada de Fourier A análise no domínio da frequência, por meio da Transformada de Fourier, é uma ferramenta de propósito geral usada por uma ampla variedade de aplicações e procedimentos em muitos diferentes campos de aplicação como medicina, ótica, física, engenharia elétrica e mecânica. A Transformada de Fourier define que qualquer forma de onda periódica no domínio do tempo, pode ser representada por uma soma ponderada de senos e cossenos. A mesma forma de onda pode então ser representada no domínio da frequência, como um par de valores de amplitude e fase para cada componente de frequência. 16

Transformada de Fourier O processo fundamental comum a todas as técnicas de análise espectral é a conversão de uma representação no domínio do tempo, por exemplo, um sinal de corrente elétrica, em uma representação no domínio da frequência. Isto pode ser conseguido por meio da utilização da Transformada de Fourier . Por exemplo, a eletroencefalografia (EEG) é o estudo do registro gráfico das correntes elétricas desenvolvidas no cérebro, realizado por meio de sensores aplicados no couro cabeludo, na superfície encefálica, ou até mesmo dentro da substância encefálica. 17

Sinal do EEG Figura 4 – Sinal EEG capurado de um ser humano 18

Sinal do EEG após Aplicacao da Transformada de Fourier Sinal natural (a) Sinal filtrado (b) Figura 5 19

Transformada de Fourier Independente da forma como o EEG é obtido, este representa a superposição dos campos elétricos do volume condutor, produzido por uma variedade de geradores de correntes neurais ativos, que podem ser registrados com a ajuda de um amplificador de instrumentação, eletrodos com gel condutores apropriados, filtros e demais circuitos associados. A amplitude do EEG registrada na superfície do cérebro ou córtex está entre a e sua banda de frequência é de zero a 150 Hz. O sinal de EEG no domínio do tempo é transformado para o domínio da frequência, por meio do algoritmo da transformada rápida de Fourier - FFT. A análise espectral decompõe o sinal de EEG em suas componentes de frequência, neste caso chamadas de harmônicas. 20

Transformada de Fourier Figura 6 Figura 7 21

Diagnóstico de falhas através de análise de vibrações Desbalanceamento - Exemplo 2º caso – Massas a 90º Massas no disco: Sinal coletado com eixo a 20 hz: Massa 1 Surge pico no espectro a 20 hz Surge pico no espectro a 20 hz Massa 2 Tempo Freqüência 22

Diagnóstico de falhas através de análise de vibrações Desbalanceamento - Exemplo Comparando os espectros dos 3 sinais coletados a 20hz (1200 rpm): Massas opostas Massas a 90º Massas lado a lado 23

Diagnóstico de falhas através de análise de vibrações Desalinhamento angular – exemplo nº 1 Sinal característico de desalinhamento angular com rotação de eixo 25Hz: 1x RPM 2x RPM 3x RPM 24

Transformada Contínua de Fourier Embora a série de Fourier tenha sido desenvolvida para a representação de sinais periódicos, é possível representar também sinais não periódicos, usando uma técnica, denominada Transformada de Fourier. Na verdade, a série de Fourier é um caso especial da Transformada de Fourier, que é capaz de representar tanto sinais periódicos como sinais não periódicos como uma soma de infinitas componentes senoidais. Quando o sinal é não periódico, é possível demonstrar que ele pode ser escrito como uma soma de componentes senoidais em todas as frequências do espectro. A transformada de Fourier transforma, portanto um sinal no domínio do tempo em um sinal no domínio da frequência. 25

Definição Matemática A transformada contínua de Fourier de é representada pela Equação 8. Geralmente, os matemáticos utilizam a notação para indicar a transformada contínua de Fourier. (8) A transformada inversa IFFT de é determinada pela Equação 9. (9) 26

Exercício 1: Dada a funcao . Determine a transformada contínua de Fourier da função. A seguir determine a transformada inversa para retornar a função original. Solucao: A Figura 5 apresenta o código MATLAB (Toolbox Symbolic Math), que determina a transformada contínua de Fourier (linha 3). A linha 4 calcula a transformada inversa. Os resultados são apresentados na janela do Command Windows 27

A Figura 6 apresenta o gráfico da transformada de Fourier da funcao . 28

EXERCÍCIOS COM O MATLAB Nesta seção, veremos algumas funções extras do Matlab. Primeiramente, consideremos o seguinte trecho de programa a seguir. Analise atentamente o programa abaixo (consulte o help para as funções que você não conhece): Abrir: File New Script Digitar o programa 29

Execute o programa. A linha 1 cria o vetor do tempo de amostragem Execute o programa. A linha 1 cria o vetor do tempo de amostragem. A linha 2 cria uma função senoidal (qual é a freqüência?). A linha três faz com que a janela com o gráfico seja colocada à frente de todas as outras. A linha 4 plota uma senóide, como mostrado abaixo: 30

O comando pause, na linha 5, causa uma pausa no programa O comando pause, na linha 5, causa uma pausa no programa. Para continuar o programa, o usuário deve pressionar <Enter>. A linha 6 utiliza o comando randn (utilize o help para aprender sobre este comando). Este comando gera uma seqüência de números aleatórios com distribuição normal, com uma linha e tantas colunas quanto for o comprimento do vetor t. O comando lenght(t) fornece o número de elementos de t. Observe a plotagem do sinal de ruído: 31

Para continuar o programa, mais uma vez o usuário deve pressionar <Enter>. Em seguida, a linha 9 calcula uma nova variável y_noise, que é o sinal senoidal mais o ruído. Observe o resultado: Sinal senoidal + ruído 32

Exercício 2: Dada a funcao , conhecida como função densidade de Cauchy. Determine a transformada contínua de Fourier da função. A seguir determine a transformada inversa para retornar a função original. Esboce o gráfico. Solucao: 33

Gráfico da transformada contínua de Fourier da função densidade de Cauchy. Figura 9 34

Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist - Shannon Para que se possa avançar um pouco mais em direção às aplicações práticas das transformadas de Fourier, é necessário que seja apresentado um pouco de teoria que aborda os sistemas amostrados e suas propriedades. O teorema de Nyquist-Shannon  demonstra que para que seja preservada toda a informação contida nesse sinal, é necessário que o sinal seja amostrado em períodos equi-espaçados no tempo de tal forma que a frequência de amostragem seja maior ou igual a duas vezes a frequência máxima fc do sinal. 35

Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist - Shannon Suponhamos que o espectro de um sinal, que queremos amostrar, seja contínuo no tempo e tenha banda limitada e cuja frequência máxima seja Fc, conforme pode-se observar na Figura 10. Figura 10 - Espectro de um sinal cuja banda está limitada 36

Sistemas Amostrados - Teorema de Nyquist - Shannon Se o sinal for amostrado com uma frequência de amostragem igual a duas vezes a máxima frequência do sinal (Fs = 2 * Fc), o espectro resultante pode ser visto na Figura 11. Figura 11: Espectro do sinal amostrado com Fs = 2 * Fc 37

Figura 12: Espectro decorrente de aliasing Repare que o espectro acaba sendo reproduzido infinitamente a cada múltiplo inteiro de Fs. Na Figura 12 pode-se observar o efeito chamado de aliasing, que ocorre quando a frequência de amostragem não obedece ao critério de Nyquist-Shannon e há uma sobreposição dos espectros do sinal. A consequência imediata disso é uma distorção do conteúdo espectral. Nesse caso a frequência de amostragem é   Fs < 2 * Fc. Aliasing, Figura 12: Espectro decorrente de aliasing 38

Para completar a ilustração dos efeitos decorrentes das relações entre a frequência máxima do sinal e a frequência de amostragem, observe na Figura 13, quando Fs >> 2 * Fc. Na prática, utiliza-se quando possível, uma frequência de amostragem mínima entre oito e dez vezes a máxima frequência do sinal. Figura 13: Espectro resultante de uma amostragem do sinal muito maior que Fc. 39

Figura 14: Representação usual do espectro de um sinal amostrado Para fechar esse assunto, ainda precisamos apresentar a forma mais comum de se apresentar o espectro de um sinal amostrado. O gráfico mostra as frequências entre "zero" (0) e a frequência de amostragem Fs. Fica subentendido que esse espectro é repetido a cada Fs para cada lado do gráfico apresentado. Confira essa representação na Figura14. Figura 14: Representação usual do espectro de um sinal amostrado 40

Exercício 2 no Matlab. Considere os três trechos de programa a seguir Exercício 2 no Matlab. Considere os três trechos de programa a seguir. Um exemplo do Teorema da Amostragem de Nyquist/Shannon. Analise o programa (consulte o help para as funções que você não conhece): 41

EXERCÍCIOS COM O MATLAB 42

EXERCÍCIOS COM O MATLAB 43

EXERCÍCIOS COM O MATLAB 44

Série Discreta de Fourier Considere uma sequência x[n] que é periódica de período N: x[n] = x[n + k.N], qualquer k inteiro. Da análise de Fourier, sabemos que funções periódicas podem ser sintetizadas como uma combinação linear de exponenciais complexas cujas frequências são múltiplas (ou harmônicas) da frequência fundamental (no caso 2π/N). Da periodicidade no domínio da frequência da transformada de Fourier discreta no tempo, concluímos que existe um número finito de harmônicos: as frequências {(2π/N)k, k = 0, 1, 2, ...., N-1} 45

Série Discreta de Fourier Assim, a sequência periódica x[n] pode ser expressa como: onde {X[k], k = 0, ±1, ....} são chamados de coeficientes da série discreta de Fourier: 46

Série Discreta de Fourier x[n] é a seqüência discreta no domínio do tempo que descreve os valores amostrados da variável contínua x(t) e N é o número de amostras da seqüência da entrada. Observe que X[k] também é uma sequência periódica com período fundamental igual a N. Ou seja, X[k + N] = X[k] As equações anteriores são a representação discreta em série de Fourier de sequências periódicas. 47

de Análise: de Síntese: Série Discreta de Fourier Equação Equação Por conveniência de notação, podemos chamar: Assim, temos: Equação de Análise:   Equação de Síntese: 48

Série Discreta de Fourier Exemplo: Encontre a representação em série discreta de Fourier da sequência:   x[n] = {...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, ....} O período fundamental da sequência é N = 4. Por convencao sabe-se que: Assim: 49

Série Discreta de Fourier Agora: Assim: 50

Série Discreta de Fourier no MATLAB é chamada de Matriz DFS NO MATLAB. No MATLAB criar a funcao X[k] , onde : Criando uma funcao no MATLAB: File > New >Function 51

Digite os argumentos da funcao e a salve como dfs; Esta funcao ficara na biblioteca do MATLAB e poderá ser utilizada quando for chamada.

Exercício: Calcule a série discreta de Fourier da sequência:   x[n] = {...0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, ....}, onde N=4. Solucao:

Série Discreta de Fourier Inversa no MATLAB A inversa é chamada de Matriz IDFS NO MATLAB. No MATLAB criar a funcao x[n] , onde : Criando uma funcao no MATLAB: File > New >Function

Digite os argumentos da funcao e a salve como idfs; Esta funcao ficara na biblioteca do MATLAB e poderá ser utilizada quando for chamada.

Exercício: Calcule a série discreta inversa de Fourier da sequência:   Sabendo-se que: Xk=[6 -2+2j -2 -2-2j] e N=4. Solucao:

Exemplo: Considere uma sequência representando uma onda quadrada periódica apresentada na Figura a seguir. Calcule a série discreta de Fourier para 20 amostras (N=20) e 40 amostras. Considere L=5 o número de amostras iguais a 1.

Solucao para N=20 (amostras) :

Solucao:

Solucao para N=40 (amostras):

Solucao:

Transformada Discreta de Fourier (DFT) A transformada discreta de Fourier (DFT) é equivalente à transformada de Fourier, porém é aplicada a sinais do tempo discretizados, ou amostrados. É a principal ferramenta que se utiliza em processamento digital de sinais. Essa transformada revela o espectro do sinal discretizado, mostrando as senóides que compõem o sinal original, com suas amplitudes e fases. A principal diferença com relação à transformada de Fourier original é que o espectro é composto pelo mesmo número de frequências discretas, que o número de amostras ao qual foi aplicada a transformada. Essas frequências são chamadas de raias. São como "janelinhas" que mostram o nível de sinal, se é que há algum, dentro dos seus limites. 62

Transformada Discreta de Fourier (DFT) A Figura 15 apresenta uma forma de onda quadrada discreta, com 32 amostras, destacadas como pontos vermelhos. As 32 amostras correspondem a 2 ciclos completos da onda. Figura 15 – Onda quadrada amostrada 63

Transformada Discreta de Fourier (DFT) Na Figura 16 pode-se observar o  espectro (DFT) correspondente as primeiras 16 amostras (1 ciclo) no seu valor absoluto para simplificar a visualização. Observe que nesse caso, Fs = 16  * Fc. O espectro revela 16 raias no total, espelhadas em torno de Fs/2. Figura 16: Espectro da onda quadrada calculada com 16 amostras 64

Se for calculada a transformada discreta de Fourier (DFT) sobre a mesma onda amostrada, porém com 32 amostras, ou seja 2 ciclos completos da onda, obtém-se o espectro ilustrado na Figura 17. Repare que a distribuição das frequências se manteve, mas o espectro possui mais raias. São 32 ao todo. Figura 17: Espectro absoluto da onda quadrada calculada com 2 ciclos (32 amostras) 65

Transformada Discreta de Fourier (DFT) Suponha que se tenha um conjunto de N amostras de um sinal, no domínio do tempo, proveniente de um dispositivo de aquisição de dados, aplicando-se a DFT para essas amostras, o resultado obtido também possui N amostras, mas agora a informação está contida no domínio da frequência. Se o sinal foi amostrado a uma taxa fs , então o intervalo entre as amostras é , que pode ser determinada pela Equação 10. A resolução de frequência ou passo de frequência é dado pela Equação 11. (10) (11) Conclusão:  quanto mais amostras forem utilizadas para calcular a DFT, maior a resolução em frequência do resultado obtido. 66

Exercício 3: Dado um sinal periódico , amostrado a 4 Hz. Calcule o espectro usando um período simples. Solucao: Logo: Portanto, o sinal tem 1 ciclo ou 1 período em 1 segundo. A frequência de amostragem , implica que em 1 segundo tem-se 4 amostragens, logo o intervalo entre amostras será 67

Solucao: 68

Transformada Discreta de Fourier A DFT de uma sequência de N-pontos é dada por: Note que X[k] também é uma sequência de N-pontos, ou seja, ela não é definida fora do intervalo de 0 ≤ k ≤ N– 1. A IDFT é dada por: 69

Transformada Discreta de Fourier Como antes: Assim, temos: 70

Transformada Discreta de Fourier Podemos também representar a Transformada através da relação de Euler: 71

Transformada Discreta de Fourier Algumas considerações adicionais que devemos fazer quando calculamos uma DFT: Deverá ser respeitado o critério de Nyquist-Shannon; O sinal, a ser transformado, deverá ser de banda de frequências limitada; A transformada discreta de Fourier, pressupõe que o sinal amostrado é necessariamente periódico. 72

Transformada Rápida de Fourier - FFT As transformadas rápidas de Fourier, mais conhecidas por FFT (Fast Fourier Transforms) nada mais são do que algoritmos para computador desenvolvidos especialmente para realizar a transformada discreta de Fourier de forma rápida e eficiente. Existem inúmeras variantes desses algoritmos, cada um otimizando o desempenho para um tipo de resultado diferente, que se espera obter no final 73

Transformada Rápida de Fourier - FFT FFT é o método computacional mais eficiente para implementação da DFT (Discrete Fourier Transform – Transformada Discreta de Fourier). O algoritmo foi desenvolvido por volta de 1960 por dois matemáticos, Cooley e Tukey, e consegue executar a DFT a partir de uma série de pontos amostrados do sinal original (chamados de amostras) sem conhecer a função matemática que os gerou. A única exigência é que seja utilizado um número de amostras do sinal original na forma de uma potência de 2, ou seja, amostras. 74

Transformada Rápida de Fourier - FFT Este algoritmo consegue, a partir de combinações realizadas entre os valores das amostras, gerar o espectro de frequências do sinal original e vice-versa. A principal diferença entre a FFT e a transformada de Fourier é que para aplicar- se a transformada de Fourier é necessário conhecer a função no domínio do tempo para obter-se a função no domínio da frequência, porém quando aplica-se a FFT basta conhecer os pontos que compõe a função no domínio do tempo, para gerar os pontos que compõe a função no domínio da frequência. A FFT é uma ferramenta muito aplicada no processamento digital de sinais, pois na maioria dos casos a função do sinal amostrado é desconhecida. 75

Transformada Rápida de Fourier - FFT Exemplo: Digite o programa a seguir e Analise os resultados: 76

Transformada Rápida de Fourier - FFT 77

Transformada Rápida de Fourier - FFT Observe que, como o sinal x[n] é real, a magnitude da resposta em frequência apresenta uma imagem refletida. Assim, precisamos apenas da primeira metade dela . Para a fase, o padrão também aparece refletido no eixo da freqüência; novamente, só precisamos de metade da plotagem. Para a questão da magnitude podemos fazer: >> half_m = 0:ceil(length(X)/2); >> stem(half_m*fs/length(X), abs(X(half_m + 1)), 'b'); >> ylabel('magnitude'); >> xlabel('frequencia (Hz)'); title('Magnitude da Resposta em Frequencia');   78

Transformada Rápida de Fourier - FFT Programa no MATLAB apenas para a primeira metade gráfico: 79

Transformada Rápida de Fourier - FFT 80

Exercício 4: Gere um sinal senoidal, com frequência de 5 Hz, amplitude de 2 V por 3 segundos. Considere uma amostragem a uma taxa de 60 Hz. Calcule a transformada rápida de Fourier – FFT desse sinal e Esboce o seu gráfico. Solucao: 81

Gráfico da transformada contínua de Fourier do sinal de 5 Hz 82

Exercício 5: Crie um sinal senoidal composto da soma das seguintes funções x1e x2 . O sinal é corrompido por um ruído aleatório (funcao randn do MATLAB). Considere que o sinal é amostrado na frequência de 1000 Hz. Determine a FFT do sinal corrompido e esboce o seu gráfico. Solucao: Uma das aplicações da FFT é localizar os componentes de frequência de um sinal, corrompido por ruído no domínio do tempo. 83

Código MATLAB da solucao do exercício: 84

Gráfico da transformada de Fourier do sinal: 85

Exercício Lista Exercício 1: Crie um sinal composto pela soma de três senóides de frequências distintas (exemplo: 5 Hz, 10 Hz e 20 Hz) cada um com uma amplitude característica (exemplo: 2, 5 e 10) e faça a transformada de Fourier desse sinal. 86

Referencias Bibliograficas http://www.embarcados.com.br/processamento-digital-de-sinais-dsp-parte-2/ 2. DFT/FFT and Convolution Algorithms - Theory and Implementation - C.S. Burrus and T.W. Parks (1984); 3. Discrete-Time Signal Processing - 3rd Edition - Alan V. Oppenheim & Ronald W. Schafer (2011). 87