© 2000 Paulo Adeodato Avaliação de Desempenho de Sistemas Geração de Valores Aleatórios Paulo Adeodato Departamento de Informática Universidade Federal de Pernambuco

© 2000 Paulo Adeodato Conteúdo * Introdução * Transformação Inversa * Rejeição * Composição * Convolução * Caracterização

© 2000 Paulo Adeodato Geração de Valores Aleatórios * Técnicas Gerais * Para uma determinada distribuição podem ser aplicáveis apenas algumas destas técnicas

© 2000 Paulo Adeodato Transformação Inversa u = F(x) ~ U(0, 1) x = F -1 (u) * Usado quando F -1 puder ser determinada analitica ou empiricamente.

© 2000 Paulo Adeodato Prova * Seja y = g(x), tal que x = g -1 (Y). F Y (y) = P(Y < y) = P(x < g -1 (Y)) = F X (g -1 (Y)) * Se g(x) = F(x), ou y = F(x) F(x) = F(F -1 (Y)) = y E: f (x) = dF/dy = 1 Isto é, x é uniformemente distribuído entre 0 e 1.

© 2000 Paulo Adeodato Exemplo 28.1 * Para valores distribuídos exponencialmente: * fdpf (x) = e - x * FDAF(x) = 1 - e - x = u ou, x=(-1/ ) ln(1-u) ou, x i =(-1/ ) ln(1-u i )  Gere u i e calcule x i u = ~ U(0, 1)  1- u = ~ U(0, 1) * x=(-1/ ) ln(u)

© 2000 Paulo Adeodato Exemplo 28.2-a * Probabilidade (trimodal) do tamanho dos pacotes TamanhoProbabilidade 64 Bytes0,7 128 Bytes0,1 512 Bytes0,2 * A FDA para esta distribuição é: * A função inversa é:

© 2000 Paulo Adeodato Exemplo 28.2-b * Gere u ~ U(O, 1) u < 0,7  Tamanho = 64 0,7 < u < 0,8  Tamanho = 128 0,8 < u  Tamanho = 512 * Nota: A FDA é contínua pela direita  é utilizado o valor à direita da descontinuidade  A função inversa é continua pela esquerda  u = 0,7  x = 64

© 2000 Paulo Adeodato Aplicações da Técnica da Transformação Inversa * DistribuiçãoFDA F(x)Inversa Exponencial1 – e -x/a -a ln(u) Valor extremo Geométrica Logística Pareto1 – x -a 1/u 1/a Weibull

© 2000 Paulo Adeodato Rejeição * Pode ser utilizada se existir uma fdp g(x) tal que cg(x) maximize a fdp f(x)  cg(x) > f (x)  x. * Passos: 1. Gere x com fdp g(x). 2. Gere y uniforme em [0,cg(x)]. 3. Se y < f (x), então retorne x. Caso contrário, repita a partir do passo 1.  Continue rejeitando os valores aleatórios x e y até que y < f(x)

© 2000 Paulo Adeodato Exemplo 28.3-a * Função densidade Beta(2,4): f (x) = 20x(1 - x) 3 0 < x < 1 * Esta função está limitada por um retângulo de altura 2,11  c = 2,11 e g(x) = 1, 0 < x < 1

© 2000 Paulo Adeodato Exemplo 28.3-b * Passos: 1. Gere x uniformemente em [0;1]. 2. Gere y uniformemente em [0;2, Se y < 20x(1 - x) 3, então retorne x. Caso contrário repita a partir do passo 1 Os passos 1 e 2 geram um ponto (x,y) uniformemente distribuído dentro do retângulo. Se o ponto ficar acima da fdp beta, então o passo 3 rejeita x. * Eficiência = depende do quão próximo cg(x) envolve f(x). Quanto maior a área entre cg(x) e f(x)  Maior o percentual de pontos (x,y) gerados nos passos 1 e 2 que são rejeitados. * Se a geração de g(x) for complexa, este método pode não ser eficiente.

© 2000 Paulo Adeodato Composição-1 * Pode ser usada se a FDA F(x) = Soma com pesos de n outras FDAs. equação Onde, pi > 0, - 2-., i = i P,1 e F i s são funções distribuição. * n FDAs são compostas para formar a FDA desejada Daí o nome da técnica. * A FDA desejada é decomposta em diversas outras FDAs. Também chamada de decomposição.

© 2000 Paulo Adeodato Composição-2 * Pode também ser usada se a fdp f(x) for uma soma de n outras fdps: equação * Passos: 1. Gere um valor inteiro aleatório I tal que: Pr(I = i) = p i Isto pode ser feito facilmente utilizando-se o método da transformação inversa. 2. Gere x com a i-ésima fdp f i (x) e retorne

© 2000 Paulo Adeodato Exemplo 28.4 * Com a = 2: * Composição de duas fdps exponenciais 1. Gere u l ~ U(0, 1) e u 2 2. Se u l < 0,5, retorne x = -a ln(u 2 ); caso contrário retorne x = a ln(u 2 ); * Variáveis de Laplace podem ser geradas mais eficientemente usando a transformação inversa.

© 2000 Paulo Adeodato Convolução * Soma de n variáveis: x = y 1 + y y n * Gere n variáveis aleatórias y i s e some-as * Para somas de duas variáveis, a fdp de x = convolução das fdps de y 1 e y 2, daí o nome, embora não seja usada nenhuma convolução na geração * Se a fdp ou FDA = Soma  Composição Variável x = Soma  Convolução

© 2000 Paulo Adeodato Exemplos de Convolução-1

© 2000 Paulo Adeodato Caracterização-1 * Use características especiais das distribuições  Caracterização * Tempos entre chegadas distribuídos exponencialmente  Número de chegadas de Poisson  Gere variáveis exponenciais continuamente até que as suas somas excedam T, retorne o número de variáveis geradas como o valor de Poisson. * O a-ésimo menor valor numa seqüência de a + b + 1 V.A. uniformes U(0,1) tem uma distribuição Beta(a,b). * A fração entre duas variáveis normais unitária é uma variável de Cauchy(0,1).

© 2000 Paulo Adeodato Caracterização-2 * Uma variável qui-quadrado com um número par de graus de liberdade  2 ( ) é o mesmo que uma variável gama  (2, /2). * Se x 1 + x 2 forem duas variáveis gama  (a,b) e  (a,c), respectivamente, a fração x 1 /(x 1 + x 2 ) é uma variável beta  (b,c). * Se x for uma variável normal unitária, e  +  x é uma variável lognormal( ,  )

© 2000 Paulo Adeodato Resumo

Exercício 28.1 * Uma variável aleatória tem a seguinte densidade triangular: f(x) = min(x,2 - x) 0 < x < 2 * Desenvolva algoritmos para gerar esta variável usando cada um dos seguintes métodos: 1. Transformação inversa 2. Rejeição 3. Composição 4. Convolução

© 2000 Paulo Adeodato Referências Bibliográficas * Raj Jain (1991) The Art of Computer Systems Performance Analysis: Techniques for Experimental Design, Measurement and Modeling John Wiley & Sons Capítulo 28