Matemática Básica Gráficos de Funções Reais

Como construir um Gráfico y x y = f(x) x3x3 y 3 x 2 x4x4 x 1 x 5 y4y4 y2y2 y1y1 y5y5 xy = f(x) x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 x3x3 y3y3 x4x4 y4y4 x5x5 y5y5 TabelaPlotagem

Denomina-se função constante toda função cuja lei é do tipo f(x) = b, em que b  IR. O gráfico é sempre uma reta horizontal que passa por (0, b). Função constante

Função de 1º Grau Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo: Onde:  a = taxa de variação da função(coeficiente angular);  b = ponto onde a reta toca o Eixo Y(coeficiente linear); R X Y b

Retas  Coeficiente angular da reta R:  Obs.:  Retas horizontais: a = 0  Retas verticais: Não tem a X R Y

Retas  Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular  A equação abaixo é a equação na forma ponto – coeficiente angular que passa pelo ponto (x 1, y 1 ) e tem coeficiente angular a.

Retas  Exemplo 1  Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular - 3/2.  x 1 = 2  y 1 = 3  a = -3/2

Retas  Exemplo 2  Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P 1 (-2, -1) e P 2 (3, 4).  x 1 = -2  y 1 = -1  x 2 = 3  y 2 = 4  a = ?

Propriedades da Reta  É definida por um polinômio de 1° grau;  Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto; a  O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento da função:  a < 0  a < 0  função decrescente;  a > 0  a > 0  função crescente;

Propriedades da Reta Só tocam o eixo X uma vez. Se a < 0, a função decresce. Se a > 0, a função cresce.

Raízes da Função de 1º Grau As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.

Denomina-se função polinomial do 1º grau toda função cuja lei é do tipo f(x) = mx + b, em que m, b  IR e m  0. Função do 1.º grau

Coeficiente angular da reta

y – y 1 = m(x – x 1 ) Equação da reta de inclinação “m” que passa por (x 1, y 1 )

Estudo do sinal da função do 1.º grau

Exercícios 1) Dada a função y = 2x + 3 determine: a) O gráfico b) A interseção com o eixo x e com o eixo y. 2) O custo de um determinado produto é de R$10,00 fixo mais R$2,00 por unidade. Determine: a) A equação que expressa o custo em função da quantidade. b) O gráfico. 3) Dado o gráfico determine a sua respectiva função. a) b)

Função de 2º Grau Uma função de 2º grau, também chamada de função QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo: Desde que a ≠ 0;

Propriedades da Parábola  É definida por um polinômio de 2 o grau;  Pode possuir:  Duas raízes reais e distintas;  Duas raízes reais e iguais;  Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X). a  O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função:  a < 0  a < 0  concavidade para baixo;  a > 0  a > 0  concavidade para cima;

Propriedades da Parábola Podem ter três tipos de raízes. Se a < 0, a concavidade é para baixo. Se a > 0, a concavidade é para cima.

Raizes da Função de 2º Grau Para encontrar as raízes de funções de 2o Grau, resolvemos a equação: Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:

Vértice da Parábola Se a > 0,Se a < 0,

Exercícios 1) Determine as raízes, o vértice e o gráfico das seguintes funções : a) y = x ² - 6x + 8 b) y = – x ² + 4x – 4 c) y = 2 x ² + 4x + 5 2) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h = – t² + 6 t, determine a altura máxima atingida pela bola.

Função polinomial do 2.º grau (ou função quadrática) é toda função cuja lei é da forma f(x) = ax 2 + bx + c, em que a, b, c  IR e a  0. Função do 2.º grau (quadrática)

Coordenadas do vértice

Crescimento e decrescimento da função quadrática

 > 0  = 0  < 0 a > 0 a < 0 Estudo do sinal da função do 2.º grau

Imagem da função quadrática

Denominamos função definida por partes toda função definida com a aplicação de fórmulas diferentes a diferentes partes do domínio. Função definida por partes

Função por Partes y = x p/ x 2

Exercício Determine o gráfico da função:

Função definida por partes

Definição de módulo de um número real

Denominamos função exponencial toda função f: IR  IR do tipo f(x) = a x, definida para todo número real x, com a > 0 e a  1. Função exponencial

 O gráfico da função f(x) = a x passa pelo ponto (0,1).  A função é crescente se a > 1.  A função é decrescente se 0 < a < 1.  O domínio é IR;  O conjunto-imagem é IR* + (reais positivos). Função exponencial

b > 0 a > 0 e a  1 Condições de existência Nomenclatura b  logaritmando a  base do logaritmo x  logaritmo Definição de logaritmo

Propriedades operacionais dos logaritmos

Mudança de base

Seja a função exponencial f: IR  IR* + definida por y = a x, com a > 0 e a  1. A sua inversa é chamada de função logarítmica e é indicada por y = log a x. Função logarítmica

 A função f(x) = log a x passa pelo ponto (1,0).  A função é crescente se a > 1.  A função é decrescente se 0 < a < 1.  O domínio é IR* + (Reais positivos).  O conjunto imagem é IR. Função logarítmica