INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL AULA 8 – LIMITES E CONTINUIDADE

Conteúdo Programático Noção intuitiva de limite Definição Unicidade do limite 4. Propriedades básicas 5. Limite de uma função 6. Limites laterais 7. Função contínua FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1 . Vamos colorir de azul metade dessa figura.

IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Vamos colorir de amarelo metade do que restou de branco. Vamos colorir de vermelho metade do que restou de branco.

IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Continuando esse processo podemos notar que a região colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se aproximando de 1. Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1. Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.

Vamos observar o gráfico da função f(x) = x + 2 definida nos reais. 2,3 2,9 2,99 ... 3,01 3,4 3,9 4 f(x) 4,3 4,9 4,99 5,01 5,4 5,9 6

Note que à medida que os valores de x se aproximam de 3 (pela esquerda e pela direita), a função f(x) se aproxima de 5. Podemos escrever: Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5.

DEFINIÇÃO DE LIMITE Seja f(x) uma função e a é um número real. Podemos escrever e dizemos que o limite da função f(x), quando x se aproxima de um determinado número “a”, é o número real L, se, e somente se, os números reais da imagem da função permanecem próximos de L, para os infinitos valores de x próximos de “a”.

UNICIDADE DO LIMITE TEOREMA Se e então L1 = L2 . Ou seja, uma função não pode se aproximar de dois números diferentes quando x se aproxima de a.

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO Determine o limite da f(x) quando x se aproxima de 1.

PROPRIEDADES BÁSICAS Suponha: , e c uma constante.

PROPRIEDADES BÁSICAS

Limites Laterais Considerando o exemplo dado no início da aula: f(x) = x + 2 O limite da f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos por:

Limites Laterais O limite da f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos por: Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais.

DEFINIÇÃO DE LIMITES LATERAIS Limite lateral à direita Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c). Então, o limite de f(x) em a pela direita é o número L, e escrevemos:

LIMITES LATERAIS Limite lateral à esquerda Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c). Então, o limite de f(x) em a pela esquerda é o número L, e escrevemos:

LIMITES LATERAIS TEOREMA O limite existe e é igual ao número L se, e somente se, os limites laterais de f(x) em a existirem e forem iguais a L. Isto é: =

EXEMPLO Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.

EXEMPLO Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.

CONTINUIDADE Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas: Existe Existe f(a) f(a) = Função contínua em um ponto: o ponto deve pertencer ao domínio da função

EXEMPLO A função f(x) = 3x + 2 definida nos reais é contínua, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 5 e a f(1) = 5.

EXEMPLO A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 3 e a f(1) = 7.

EXEMPLO A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função não existe.

EXEMPLO Não podemos afirmar que a função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois x = 1 não pertence ao domínio da função.

EXEMPLO Determine se a função é contínua

EXEMPLO Determine os Limites Laterais e verifique se a função f é contínua 3 7 2

EXEMPLO A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. G é uma função contínua de r? Justifique sua resposta.

RESOLUÇÃO

RESUMINDO Definição Teorema da Unicidade do limite Propriedades básicas Limite de uma função Limites laterais Função contínua