Tópicos Especiais em Computação I Pesquisa Operacional Introdução ao Simplex Prof. Fabio Henrique N. Abe Fabio.henrique.abe@gmail.comd

Método Simplex Desenvolvido por George Dantzig em 1947 É um procedimento Algébrico que utiliza conceitos Geométricos Requisitos para uso: Precisa ser um problema de Maximização; Todas as restrições funcionais devem ser na forma ≤; Todas as variáveis devem possui restrições de não-negatividade; Todos os lados direitos devem ser não-negativos.

Método Simplex Maximizar Z = 3x1 + 5x2 (1) x1 ≤ 4 (2) 2x2 ≤ 12

Método Simplex

Método Simplex Conceito 1 O Simplex se concentra apenas em soluções FPE. Conceito 2 O Simplex é um Algoritmo Iterativo. Conceito 3 Sempre que possível o Simplex opta pela origem. Conceito 4 O Simplex opta por buscar sempre uma solução melhor adjacente à solução atual Conceito 5 A solução adjacente escolhida é aquela que tem a maior taxa de crescimento em Z Conceito 6 O Simplex verifica se as duas soluções adjacentes possuem taxa de crescimento positiva, caso contrário, a solução atual é a ótima

Configurando o Simplex Maximizar Z = 3x1 + 5x2 (1) x1 ≤ 4 (2) 2x2 ≤ 12 (3) 3x1 + 2x2 ≤ 18 (4) xi ≥ 0 , para i = 1,2 Forma Original do Modelo Maximizar Z - 3x1 - 5x2 = 0 (1) x1 + x3 = 4 (2) 2x2 + x4 = 12 (3) 3x1 + 2x2 + x5 = 18 (4) xi ≥ 0, p/ i = 1,2,3,4,5 Forma Aumentada do Modelo

Configurando o Simplex x3, x4 e x5 recebem o nome de variáveis de folga; Se a variável de folga for igual a zero na solução atual, então essa solução está no limite de restrição para a restrição funcional correspondente; Se a variável de folga possui um valor maior que zero, significa que a solução está no lado viável da restrição funcional correspondente; Se a variável de folga possui um valor menor que zero, significa que a solução está no lado inviável da restrição funcional correspondente;

Simplex Revisão de Termos Conhecidos: Solução: Solução em Ponto Extremo: Solução Inviável: Solução Viável: Solução Viável em Ponto Extremo:

Simplex Solução Aumentada Solução para as variáveis de decisão originais, acrescidas dos valores das ariáveis de folga; Solução Básica Solução em ponto extremo aumentada; Solução Básica Viável Solução FPE aumentada

Simplex Maximizar Z - 3x1 - 5x2 = 0 (1) x1 + x3 = 4 (2) 2x2 + x4 = 12 (4) xi ≥ 0, para i = 1,2,3,4,5 5 Variáveis 3 Equações Funcionais 2 Graus de Liberdade 2 Variáveis não básicas 3 Variáveis básicas Variáveis não básicas são configuradas em zero Os valores das variáveis básicas são obtidos como a solução simultânea das equações O conjunto de variáveis básicas é conhecido como base Se as variáveis básicas satisfazerem as restrições de não-negatividade, então a solução básica é uma solução básica viável.

Simplex Método Gráfico: Busca por soluções FPE adjacentes. Método Algébrico: Duas soluções básicas viáveis são adjacentes se todas exceto uma de suas variáveis não básicas forem iguais.

Método Tubular Método Gráfico: Busca por soluções FPE adjacentes. Método Algébrico: Duas soluções básicas viáveis são adjacentes se todas exceto uma de suas variáveis não básicas forem iguais.

Exercício Simplex Maximizar Z - 3x1 - 5x2 = 0 Sujeito q x1 + x3 = 4 3x1 + 2x2 + x5 = 18 xi ≥ 0, para i = 1,2,3,4,5 Solução no Livro

Exercício Simplex Maximizar Z = 10x1 + 12x2 Sujeito a x1 + x2 ≤ 100 xi ≥ 0, para i = 1, 2

Exercício Simplex Maximizar Z = 10x1 + 12x2 Sujeito a x1 + x2 ≤ 100 xi ≥ 0, para i = 1, 2 Solução em: https://youtu.be/uendv1Khpcw