Sistemas de Controlo: Realimentação Objectivos gerais Estabilidade de entrada limitada /saída limitada Critério de Routh-Hurwitz Realimentação Rejeição de perturbações Sensibilidade à variação de parâmetros Erro em regime permanente

Sistemas de Controlo Objectivos Gerais: Bom seguimento do sinal de referência Boa rejeição dos efeitos das perturbações Rapidez de resposta Estabilidade Pequena sensibilidade à variação de parâmetros Robustez de estabilidade

Estabilidade O sistema é estável (de entrada limitada/saída limitada) sse a toda a entrada limitada corresponder uma saída limitada SLIT causal estável: nº polos nº zeros Todos os polos têm parte real negativa (SPCE) Um sistema estável permanece em repouso a menos que lhe seja aplicada uma entrada ou perturbação exterior, e regressa à situação de repouso após terminada a perturbação.

Estabilidade Exemplo: resposta ao escalão unitário resposta estacionária regime transitório

Estabilidade Sistema estável Sistema instável Polo em (SPCE) Regime transitório tende para zero Sistema estável Polo em (SPCE) Regime transitório tende para infinito Sistema instável Polo em (SPCD)

Estabilidade Estabilidade Instabilidade Todos os polos de no SPCE Regime transitório tende para zero Estabilidade Existe pelo menos 1 polo de no SPCD Regime transitório tende para infinito Instabilidade Regime transitório é um sinal limitado Estabilidade marginal ou crítica Todos os polos sobre o eixo são simples Polos de no SPCE e sobre o eixo imaginário Instabilidade Pelo menos um dos polos sobre o eixo é múltiplo Regime transitório é um sinal ilimitado

Critério de Routh-Hurwitz Estabelece a localização das raízes de um polinómio relativamente ao eixo imaginário Teste de Hurwitz Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que: ; , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal. Se 1 ou 2 não se verificar, então tem raízes no SPCD ou sobre o eixo imaginário Se 1 e 2 se verificarem, então nada se pode concluir sobre a localização das raízes de

Critério de Routh-Hurwitz Teste de Hurwitz Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que: ; , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal. Exemplos – não satisfaz a condição 2 Têm pelo menos uma raíz no SPCD ou sobre o eixo imaginário – não satisfaz a condição 1 Critério de Routh – satisfaz ambas as condições – nada se pode concluir

Critério de Routh-Hurwitz Matriz de Routh 1º passo: 1ª linha: 2ª linha:

Critério de Routh-Hurwitz Matriz de Routh coluna pivot 2º passo: Critério de Routh: O número de raízes no SPCD é igual ao número de trocas de sinal nos coeficientes na coluna pivot. Se o teste de Hurwitz for verificado e não houver trocas de sinal na coluna pivot, então as raízes situam-se todas no SPCE

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Não há trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot todas as raízes no SPCE

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I Propriedade: Os coeficientes de uma linha da matriz de Routh podem ser multiplicados ou divididos por uma constante positiva sem alterar os sinais da coluna pivot dividir por 2

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo II O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Duas trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot duas raízes no SPCD As restantes três raízes situam-se no SPCE

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares (zero na coluna pivot) O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Um zero na coluna pivot Determinar a estrutura da matriz quando

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares Se os elementos da coluna pivot situados imediatamente antes e depois do zero têm o mesmo sinal, então existe um par de raízes imaginárias puras. Se os sinais forem opostos, então existe uma raíz no SPCD. tem 2 raízes no SPCD e 3 raízes no SPCE existe uma raíz no SPCD existe mais uma raíz no SPCD

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares (linha de zeros) O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Linha de zeros Indica a existência de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares (linha de zeros) 2º passo: a linha de zeros é substituída pelos coeficientes de Linha de zeros dQ(s)/ds 1º passo: construir o polinómio auxiliar a partir dos coeficientes da linha anterior à linha de zeros

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares (linha de zeros) Se, a partir da linha de zeros, não houver trocas de sinal na coluna pivot, então existem raízes sobre o eixo imaginário. Caso contrário, o número de trocas de sinal indica o número de raízes no SPCD. Como não existem trocas de sinal na coluna pivot, conclui-se que a linha de zeros corresponde a raízes sobre o eixo imaginário. dQ(s)/ds Como é de grau 4, existem 2 pares de raízes sobre o eixo imaginário. Como é de grau 5, existe ainda 1 raiz no SPCE. As raízes de são também raízes de .

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo Para que valores de é o sistema estável? Matriz de Routh: Sistema estável:

Sistemas de Controlo Objectivos Gerais: Bom seguimento do sinal de referência Boa rejeição dos efeitos das perturbações Rapidez de resposta Estabilidade Pequena sensibilidade à variação de parâmetros Robustez de estabilidade

Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção Não é possível atenuar o efeito de sobre cadeia aberta O efeito de sobre é tanto menor quanto maior for o ganho cadeia fechada

Rejeição de perturbações exemplo saída sem perturbação perturbação saída com perturbação

Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção + ruído nos sensores ruído nos sensores Impossivel, sem qualquer outra restrição, obter simultaneamente um bom seguimento da referência e uma boa rejeição do ruído Na prática, a ocupação espectral dos sinais de referência e de ruído é normalmente diferente

Sistemas de Controlo Objectivos Gerais: Bom seguimento do sinal de referência Boa rejeição dos efeitos das perturbações Rapidez de resposta Estabilidade Pequena sensibilidade à variação de parâmetros Robustez de estabilidade

Sensibilidade à variação de parâmetros Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s): Quanto maior KGH, menor a sensibilidade da função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros no sistema a controlar, G(s) (cadeia de acção). Quanto maior KGH, maior a sensibilidade da função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros na cadeia de rectroacção.

Sistemas de Controlo Objectivos Gerais: Bom seguimento do sinal de referência Boa rejeição dos efeitos das perturbações Rapidez de resposta Estabilidade Pequena sensibilidade à variação de parâmetros Robustez de estabilidade

Erro em regime estacionário Sinal de erro: Sistema (em cadeia fechada com retroacção unitária) de tipo N – sistema cuja função de transferência em cadeia aberta tem N polos na origem. Erro em regime estacionário: TVF:

Erro em regime estacionário escalão - erro estático de posição sinais de teste rampa - erro estático de velocidade parábola - erro estático de aceleração

Erro em regime estacionário Erro estático de posição (coeficiente de erro estático de posição)

Erro em regime estacionário Erro estático de velocidade (coeficiente de erro estático de velocidade)

Erro em regime estacionário Erro estático de aceleração (coeficiente de erro estático de aceleração)

Erro em regime estacionário Tipo 1 2 Erro

Erro em regime estacionário r(t) y(t) t Tipo 0 Tipo1 Tipo 2